MESURE DE L’ANGLE DE DEUX PLANS
Proposition VIII. — L’angle de deux plans ou 1 angle dièdre , a pour mesure l’angle formé par les perpendiculaires menées dans les deux faces à im même point de l’arête (fig. i ï4).
TI laut démontrer avant tout que l’angle des perpendiculaires est le même, en quelque point de i’arète qu’il soit formé.
El en effet, dans les faces B AM. BAN, menez les perpendiculaires A M et BP, AN et BQ sur l’aréte AB; les droites AM et ^N seront respectivemen t parallèles à B P, B Q ; donc l’angle M A N — l^BQ. Il faut proir er maintenant que l’ang’e des perpendiculaires varie dans le meme rapport que l’angle des pians. Supposons que le plan BN, en tournant autour de AB , ait pris la position B A G, et que la perpendiculaire A N se soit placée en A G ; comme le plan MAN est perpendiculaire à AB, la ligne A G doit efre compiise dans ce plan; car toutes les perpendiculaires élexees en un rnérne point d’une droite sont situées dans un plan perpendiculaire à la droite. Cela posé, je dis qu’on aura toujours MA B N : MABG ;; MAN : M AG (i> Considérons iecasoùles angles M AN, M AG, ont une commune mesure, et représenlons par m et « les nombres entiers qui expriment combien de fois iis la contiennent , de sorte qu’on ait :
MAN : M AG m \ n.
Portez cettoconnnune mesure dans l’angle M ANantaat qu’elle y est contonne ; cet angle sera partagé en m parties égales, et i angle M A Gen contiendra Menez des plans par l’ar èleAEet par cliacune des divisions A X.AG, A R, de l’angle MA N, de celte
iU
GÉOMÉTRIE
manière l’angle dièdre M AB N sera décomposé en /biparties; or, en prenant l’une de ces parties M A B X, par exemple, et la faisant tourner autour de AB, il est évident que l’angleMAXne quittera point le plan MA N, qu’il ira se placer successivement sur chacun des angles partiels X AY, Y^AG, et que par suite l’angle d’ordre MABX coïncidera lui-même successivement avec chacun de ceux qui composent l’angle dièdre MABN; l’angle dièdre M A B N contient donc m fois l’angle partiel M A BX , et l’angle dièdre M N B G le contient n fois; donc
M A BN : M ABG : /i.
En comparant cette proportion avec la précédente, on conclut :
