DIVISION DE LA CIRCONFÉRENCE

La circonférence a été divisée en 36o parties égales, appeléefdegrés, le degré en 6o minutes, la minute en 6o secon-

‘‘^Lefdegrés , minutes , secondes , se désignent par les earactè-

Le” clmplémeut d’un angle ou d’un arc est ce qui reste en retranchant cet angle ou cet arc de go», ainsi A étant ““ «"S'ej sn A en est le complément. On voit donc que ce complément Pftre positif ou nUf , suivant que A est plus petit ou plus

Le s'uppffiniênt d’un angle ou d’un arc est ce qui reste en otaiit cet angle^L cet arc de 1 8oo;le supplément de l’arc A est 1 8o A , il peut être aussi positif ou négatif.

notions sur les lignes trigonométriques.

Pour la résolution du triangle on emploie un certain nombre

(i) Exigée seulement pour le bacealaureat mathématiques.

des sciences es-

TRIGONOMÉTRIE

de lignes appelées trigonométriqnes, que Ton désigne par les noms suivants de

Sinus, Secante , Tangente,

Cosinus, Cûsecante, Cotangente.

( Fig. I ). Le sinus de l’arc AM ou de l’angle ACM est la perpendiculaire M P abaissée d’une extrémité de l’arc sur le diamètre qui passe par l’autre extrémité.

Si à l’extrémité du rayon CA, ou même la perpendiculaire AT, jusqu’à la rencontre du rayon CM, prolongé la ligne AT, ainsi terminée s’appelle la tangente, et CT la sécante de l’arc AM, ou de l’angle ACM. Ces trois lignes MP, AT, CT, dé» pendantes de l’arc AM, et toujours déterminées par l’arc AM et le rayon, se désignent ainsi :

M P = siu AM, AT = tang AM, T G = sec AM.

Ayant pris l’arc AD, égal à un cadran, sur des points M et 1) , on mène les lignes M Q D C perpendiculaires au rayon CD, l’une terminée à ce rayon, l’autre terminée au rayon G M prolongée ; les signes M Q. D S et C S seront pareillement les sinns, tangente et sécante de l’arc MD, complément de AM; on les appelle pour abréger, les cosinus , cutangente et cosécante de l’arc AM ; on les désigne ainsi: MQ == cos AM, DS = cos AM, G S = cosec AM ; eu général, A étant un arc ou un angle quelconque on a

Cos A = sin (90^^ — A) , cos A == tang (90^ — A ) , cosec A — sec (900- — A).

Supposons qu’une extrémité de l’arc demeure fixe en A, et que l’extrémité marquée en M parcoure successivement toute l’étendue de la demi-circonférence depuis A jusqu’à B, dans le sens A DP> , en désignant par R le rayon du cercle, on aura

Sin 0= O, tang 0=0, coso = R, seco = R, quand A M =450, alors :

TaUg AMou tan 450== cot 450= R.

Sin 45 = cos 45 = - Pt ^"2

Quand A M = 90.

Sin 90 = R , cos 90 = O, tang 90 est infinie , ce que l’on désigne de la manière suivante, tang 90= 00.

Le complément de 900 étant zéro on a tang. o = cot 90 et cot ü =. tang 90 , donc cot o = 00 et cot 90=0,

-140 TRIGONOMÉTRIE

L*arc augmentant encore, les sinus diminuent, les cosinus augmentent ; si l’on mène M* M parallèle à A B, il est clair (jue les arcs AM, BM', compris entre parallèles seront égaux, ainsi que les perpendiculaires ou sinus M P, ; mais l arc M B

est supplément de A M' , puisque A M' BM' est égale à une demi-circonférence; donc le sinus d’un arc ou d un angle est égal au sinus du supplément de cet arc ou de cet angle. Ainsi

Pou a : ■

Sin A == sin ( 1 8o — A )

Les mêmes arcs AM', AM, qui sont suppléments l’iinde l’autre, et qui ont des sinus égaux, ont aussi les cosinu égaux CP', CP; mais il faut observer que ces cosinus sont dirigés dans des sens différents. Cette différence de situation s’exprime dans le calcul par l’opposition des signes ; de sorte qtie si on regarde comme positifs, ou affectés du signe +, les cosinus moindres que 900 il faudra regarder comme négatils ou atlectés du signe les cosinus des arcs plus grands que 90; 011 aura donc en général :

Cos A = — Cos (180— A)

Ou cos (90 B) = — Cos (90- B)

C’est-à-dire que le cosinus d’un arc ou d un angle plus grand que 900, est égal au cosinus de son supplément pris négativement. ,

Le complément d’un arc plus grand que 90 est negatit, et son

sinus aussi , de sorte que l’on a par exemple .

Sin (—45)=- sin (45)

Quand l’angle est égal à la demi-circonference, son sinus est zéro , et son cosinus est égal au rayon pris négativement.

Sin (180) = O , cos 180 = — K.

Examinons ce que devient la tangente d’un arc plus grand que Qoo.' Suivant la définition, elle doit cire déterminée par le concours des lignes AT, C M'. Ces lignes ne sc rencontrent point dans le sens AT, mais elles se rencontrent dans le sens oppose AV; ce changement de direction produit iin changement de signe. D’ailleurs , si 011 observe que A V est la tangente de l arc A W , supplément de AM' (puisque N A M' est une demi-eirconference), on en conclura que la tangente d uu arc ou d un angle plus grand que 90 est égale à celle de so.i supplément, pns négativement, de ?orte que l’on a tang A = — tang {180-A).

TRIGONOMÉTRIE. ^4J

On a aussi pour la cotang.

Cot A =3 — cot (180— A)

Les tangentes et les cotangeiites sont négatives, ainsi que les cosinus , depuis 90 jusque 180, et dans celte dernière limite on a tang 180 = ü , cot 1 80 = — cot o = — c».

Il est facile d’étendre ces observations au col d’un cas compris entre 180 et 36o. Généralement deux lignes trigonométriques sont toujours perpendiculaires à l’un ou à l’autre diamètre D C F, et A CB si elles sont perpendiculaires à un même diamètre et si elles sont de même nature ; elles auront le même signe si elles sont situées d’un même côté du diamètre, et des signes contraires si elles sont situées de côtés différents.