THÉORÈMES SUR LES LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES
Tluhwwc, — Le sinus d’un arc est la moitié de la corde qui soutient un arc double.
Théorème, — Le carre du sinus d’un arc plus le carré de son cosinus étant égal au carré du rayon , de sorte que l’on a généralement : sin.^^ A -h cos ^ A==R^
Ces théorèmes sont évidents.
Théorème, — Étant donnés les sinus , cosinus, d un arc, trouver les autres lignes trigonométriques.
Les triangles semblables CPM, CAT, CD S, nous donnent immédiatement
. sin A R.
Tang A = R , sec A=
cos A cos A
. cos A R a
Cot A =R.--; , coscc A
^ sia A
Ces formules nous montrent que cotang A X tang A = R =»
Théorème, — • Étant cîonnés les sinus et cosinus de
^42 TRIGONOM^5TRIF..^
deux arcs A et B , on peut déterminer le sinus et cosinus de la somme ou de la différence de ces arcs
Soit le rayon AC=R, l’arc AB — a, lare BD par
conséquent À B D = « + ^- Des points B et D abaissez » E, D F
perpendiculaires sur A G. Du point D menez DI perpendiculaire sur B C. Enfin . du point I menez I K perpendiculaire et I L parallèle à AC , les triangles semblables B C E , IC K, donnent les
sinacosfr
C B : C I : : B F : I K ou R = cos i : : sin a ; 1 K =
cos a CO 5 1)
CB : CI :: ce: ck. ou r : cos :: cosa : ck== ^
Leur triangle D I L , C B E, qui ont les côtés perpendiculaires
chacun à chacun sont semblables , ce qui donne . ^
COS a sin o
CB: Dl:; CE :DLouR : sin5 :: cosa: DL=-
sîn a sin b
C B : D I : : B E : I L ou R : sin è : : sin « : i l —
- Mais lK+DL=DF = sin (a+J)
Et CK — IL= CF = cüs(«
sin 'a cos b -f sin 6 cos a Donc sin — —
cos rt cos — sin a sin b
Maintenant si l’on prolonge le sinus D I jusqu à ce qu il ren contre la circonférence en M, on aura
BM =BD=3, et MI = ID ==sin 3 Par le point M menez MP perpendiculaire, et ^ ^ ^
à A C ; puisque M I == D 1 , on aura M N == I E
Mais on a .
IK— TN =M P = sin (a— b) et c K -f MN = c P= cos (a — b)
sin a cos b — sin b cos a donc sin {a — ^) == ^
cos [a — 6) =
cos a cos b 4" ^ ^
TiUGOIXOlVIÉTllIE.
Si dans les formules précédentes on fait* = a il vient
siü 2 a
^ siii a cos a
cos^ a — sin » a
Si dans ces dernières on remplace a par - , il vient
ci.. ^ ^ ^ cos 2^ — -sia^a
sin <7 = - iiin — a cos — a cos a
Or , puisque on a tout à la fois cos ^ -L ^ j 2 2
et cos 2 -^a — sin 2 « r cos « il en résulte
eos > -«=-R2 Rcosaetsin--ia = iR:.lRco5^
donc sin - a = K ^ ^ i
2 — Ji 2 — ^ cos a
cosi û == Tî 2
2 — ±i 2 j R cos a
Ces formules donnent les sinus et cosinus de la moitié d’un are en fonction du cosinus de cet arc.
Les formules qui donnent les développements du sinus (a-l-é)
sin Acos B = I Rsin («+*) + i Rsin (a — é) sin Beos A =iRsin(«+*)iRsi„(^i^ cos A cos B = i R cos («—*)+ i R cos (a + b)
=» -R cos (a — *) — ^ R CO» (a -f-*)
COS A cos B
4 44 TRIGOjSOjMÉTRlï:.
si dans ces formules on fait a ~\-h ^ p — & ==f, ccqui
donne b = -, on eu déduira :
siii /» 4- ~ 2 "t" 2 ^ ^
sin P — sin y — ^sin-(p — ?) cos -(/'+?)
wsp + cosq= ■icos^(/> + y)cos-(;j — y)
COS q — cos /?= sin - (p -\- q ) ip ^ )
Euüu , de ces dernières on tire par la division en ayant égard
sin a
à ce que
cos tf
tang a
R Cüs
^ — celles qui ï + a
suivent
tang - (p+>/)
tang - (/»4-y)
sin ^ sin <7
sin P — sin q
sin P — sin y
tang^C/' — y)
cos P — cos q
cos -ip—q)
tang- {p-
sin /; -f- sin y
sin 7; — sin q
cosy — cos/^
cos P -|-cos q
cot~(/?+y)
co s P — cos q
cot - {p-
sin /> -f- sin <7
cos q - — cos P
cos q -f- cos P
tang^ {p
sin P sin q
cos-(/>+y)
sin f/)+y)
sin - (/> + y)
sin 7?
. CO - \p^q)
sin P — sin q
sin - (p -
TKi(iO.\O.VÎlÎTKlli,
CONSXllUCTION DES TABLES DE SINUS , CÔSIN. , ETC.
11 existe quelques arcs dont les lignes Irigonomptriqnes peuvent cire ealcn lees direetement. Ainsi, le eôié de l’hexagone étant égal au rayon, la moitié de ce rayon est le sinus de l'angle de 3oo. Le cote du décagone inscrit est donné par la proportion
ÏÀ •— X
R.i=R2eta;=2-f V'k-
