JC

MO = v/CO* — r 1 = AT.

Ce dernier résultat montre fjue pour tous les points situés à même distance du point O, les perpendiculaires à la résultante se rencontrent sur l’axe AD du cylindre en ce point, c’est-à-dire «pie le point M tend à décrire un cercle dont le centre est situé stu- l’axe du cylindre, à une -distance du point C, déterminée par la formule

rn__y + ** + ^ -7

ilW’l

’ rtK <:ul k>J i;

ÏÏÏ?

t ,a K jv

Si l’on suppose xz= o, la valeur de CO devient infinie, c’est-à-dire que le point Mtend alors à se mouvoir suivant. la perpendiculaire à AB, menée par le point C; ainsi pour tous les points situés* sur celte perpendiculaire, le mouvement de rotation se change en un mouvement rectiligne , comme si le point M était attiré ou repousse par le milieu du cylindre. Cette concentration apparente des forces au centre du cylindre a encore lien toutes les fois que le pied M' (fig. 33) du courant indéfini est situé sur un des points de la circonférence ATB, car si l’on applique à ce cas la construction qui donne MIN (Gg. 3 1 ), le point N tombe évidemment sur une partie de la circonférence diamétralement opposée à M' ( fig. 33 ), et la direction de la force passe par le centre C, comme ou l’a déjà vu.

§ 35. Si le conducteur indéfini qui se projette en M était assujetti à tourner autour d’un axe parallèle à sa direction, et dont je supposerai, pour simplifier, que la projeotion tombe sur laligne AB, au point F (fig. 3a), la composante de MÎN suivant la direction FM serait détruite par le mode de suspensiou, il ne resterait que la composante perpendiculaire à FM ; pour la trouver, il faut

multiplier respectivement les deux forces et

dirigées suivant les perpendiculaires à MA

et MB, par les cosinus des angles FMA et FMB j

or en faisant FM= b , CF=c, angle MFC=<p, MA =d, MB — et , on a

. b'-t-d'—Cc—aY cos F MA = - — L

a bd ’

COS FMB = — ±-.-~j c+a)a •

a bd ’

et pour les deux composantes ,

A v- ^ A * v b'+dY-tc+ay

* a bd- etA X â MŸ 5

ces deux forces tendant toujours à faire tourner en sens contraires, leur résultante est égale à leur différence, c’est-à-dire, à

A f d'^b'+d'—Çc—gy] — d*\b*-\-d'*—(c+à)^ )

en mettant pour d u et d % leurs valeurs

d?—b*-\-(c — a) % — 2 b(c — a ) cosÇ), d , ‘=b*-h(a-l~c)‘ — 2 b(ez-frc) cos (p, cette expression devient

__ 0 \ n [ ?bc + (b' -f c * — a u )cosf)]

(à 3 -f- c* + a* — a bc cos <py — 4 a* (c — b cos ç>y"

Dans cette formule , si l’on suppose c = o , c’est-àdire, si l’axe de rotation passe par le centre du cylindre, on a

aAn

(b* — a*) cos <p (a*+à*)* — 4 a ’à* cos‘ç> ’

qui devient égal à zéro lorsque <p = ^, et qui

change de signe avec le cosinus ; donc le courant indéfini est alors amené dans la position où le rayon vecteur CM est perpendiculaire à AB. Si l’on donne à Cune valeur quelconque, la formule % indique encore une position d’équilibre qui correspond à cos <p= cette position d’équilibre n’existe réellement que dans le cas où l’on a

obc <£*+c* — a *, a 1 — 2bcfa<£.c — b,

ou zbc<C.a* — b * — c*, a*> ù'-f-c*+ 2 ic,

En d’autres termes, le courant indéfini prend une position d’équilibre toutes les fois que les deux extrémités du cylindre sont en dehors du cercle décrit parle point Mj cette position d’équilibre fait avec l’axe du cylindfe un angle d’autant plus grand , que la différence entre a* et (c — b)*, ou est

plus grande. Elle se trouve toujours dans la demicirconférence la plus voisine de A. Si a=c — b, ou c-\-b , cos C — db i , le point M vient se confondre avec le point A. Dans cette position, si l’on approche, et si l’on éloigne successivement le cylindre de l’axe de rotation projeté en F, la force qui sollicite le point M devient positive dans le premier cas, qui donne ibc > ù*-f- c*— a* , négative, dans le

second , qui donne 2 ôc<ô*-j-c* — a*. Nous avons vu que le courant indéfini tournant autour du point F, reste en équilibre lorsque son pied M se confond avec l’extrémité du cylindre A. Cîe résultat est une conséquence de ce que la force qui sollicite le point M, est alors dirigée suivant AB ; il en serait de même si le point M, tombant sur un quelconque M' des points de la circonférence AT'B, était mobile autour d’un axe qui rencontrerait le rayon CM' , par exemple , autour d’un axe qui se projetterait en F', (fig. 33) ; car nous avons vu que pour tout courant indéfini dont le pied tombe sur cette circonférence, la résultante est dirigée dans le rayon, et il est évident qu’une pareille force sera détruite par la résistance de l’axe fixe F’. D’où il suit que si le courant indéfini mobile était en équilibre au point A , l’équilibre ne sera point troublé quand on fera tourner le cylindre AB autour de son centre.

Lorsque a est plus petit que c—b , ou plus grand que of-ù, c’est-à-dire, quand l’une des extrémités du cylindre est en dedans et l’autre en dehors du cercle décrit par le pied du courant indéfini, il n’y a plus de position d’équilibre, le conducteur indéfini tourne continuellement dans le même sens avec une intensité variable, mais qui produit bientôt un mouvement uniforme dans la pratique, à cause de* la résistance des

liquides par lesquels les communications sont établies.

En résumé, l’action d’un cylindre droit, sur un courant indéfini perpendiculaire à son axe, et assujetti à tourner autour d’un point fixe, pris sur l’axe du cylindre , produit un mouvement continu de rotation, lorsque l’une des extrémités du cylindre est en dedans et l’autre en dehors du cercle décrit par le pied du courant indéfini. La meme action amene le courant indéfini dans une position fixe d’équilibre, lorsque les extrémités du cylindre sont toutes deux en dedans ou toutes deux en dehors du même cercle. . . (D. )

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