dans des plans différens

Premier cas, soit AG =,ds (%. a5 ), lin des . elcmens de la courbe parcourue par le premier courant; BH=*fc', un élément de celle du second AB leur distance. Si l’on suppose d’abord les deux courans dans le même plan, et par conséquent parallèles, l’attraction qu’ils exercent l’un sur 1 autre, quand ils sont dans le meme sens ne peut, conformément à ce qui a lieu pour toutes les actions de ce genre que les physiciens ont considérées jusqu’à présent, qu’être proportionnelle aux produits des intensités des parties de courant divisé par une fonction de la distance*

Cette fonction est complètement inconnue; l’analogie, avec toutes les forces connues jusqu’à présent, porterait à la supposer proportionnelle au carre de la distance , mais pour plus de généralité nous la représenterons par une puissance de cette meme quantité. Or, les quantités i et ! qui mar- ‘ .J

quent les intensités absolues des courans, restant les memes dans toute leur étendue, chaque portion infiniment petite considérée comme rectiligne, a une intensité relative proportionnelle à sa . . '

ongueur, ce qui donne pour les deux élcmens que 1 on considère, ids et i'ds'; par conséquent en appelant r la l.gne AB , l’attraction cherchée sera i

il asas

Ii faut maintenant ramener à cette mesuré j l’action qui a lieu lorsque les deux petites portions de courans électriques, toujours perpendiculaires à la ligne qui marque leur distance, ne sont plus dans le même plan. Soit alors y l’angle des deux plans ABH et BAG (fig. a 5 ), et concevons deux plans rectangulaires BF, BE passant par la meme ligne AB, dont le premier forme avec eux les angles » et »' , et le second les angles 90° — « , po° — les angles » et n' auront évidemment entre eux la relation »' — » = y ; la portion de courant AC pourra être remplacée par deux autres courans AM, AN d’une même intensité absolue situés dans les deux plans rectangulaires, et dont les longueurs seront égales aux lignes qui représenteraient les composantes dans ces deux plans d’une force égale à ids , c’est-à-dire ids sin » et ids sin de même BH sera remplacé par deux courans BP, BQ qui auront pour intensité relative i'da sin »' et fds cos On aura ainsi flans le plan BF, les deux courans AM et BP, dont l’attraction mutuelle sera, d’après ce qui précède , itdsdJjàn « .sm j l et Jans le plan BE les d eux

courans AN et BQ,

ii'ds'ds cos ? cos mesure —

dont l’attraction aura pour — ; les courans situés dans

l’un des plans n’auront pas d’action sur ceux de

Vautre plan , d’après ce qui a été démontré que l’action d’une portion infiniment petite de courant , est nulle sur tous les courans situés dans le plan passant par son milieu, et perpendiculaire à sa direction : l’attraction totale sera par conséquent égale à la somme des deux valeurs obtenues dans chaque plan , c’est - à - dire à

ii'dsds' (sin >> wi r ' 4- cos * cos *' ) ii'dsds' cos y

puisque ïi' — y = y.

Telle est la valeur de l’action cherchée , quand les portions infiniment petites de courans électriques que l’on considère , sont toutes deux perpendiculaires à la ligne qui joint leurs milieux. Cette

action est attractive tant que l’on a y < ^ elle est

nulle avec lecosinus de y, quand y=~, comme cela

doit être d’après ce qui a été démontré plus haut, et

telle se change en répulsion quand y >■ parce

que cos y est alors négatif, ce qui est conforme à l’expérience. Enfin , quand y = tt , on trouve que

l’action est exprimée par — — pr— > c’est-à-dire que

c’est une répulsion égale à l’attraction qui a lieu quand on fait y = o. Toute puissance impaire de cos y, mise à la place de ce cosinus, donnerait également ces derniers résultats, mais ne pour-

rait s’accorder avec la loi de légalité entre ies actions exercées par un conducteur sinueux, et par un conducteur rectiligne, dont la formule precedente est, comme on voit, une suite necessaire.

Lorsque les deux petites portions de courans électriques ne sont pas perpendiculaires a la ligne qui en joint les milieux, et que 1 cingles q ue j al nommés a et£ , ont une valeur quelconque, on peut toujours, d’après la même loi, et sans qu il en résulte aucun changement dans l’action dont on cherche la valeur, à la place de chaque portion de courant électrique en substituer deux autres , l’une dirigée suivant la ligne qui en joint les milieux, l’autre perpendiculaire à celte ligne dans le plan qui lui est commun avec la petite portion de courant qu’on décompose ainsi. Ces courans composans sont(fig- 26), pour AG, AN et AM, pour BH, BQ et BP. On aura ainsi deux courans AN et BQ dans la direction de la droite AB , dont les intensités relatives seront i cos a ds, et i' cos Çds'y et deux AM et BP perpendiculaires à cette ligne dans les plansBE et BF, qui forment entre eux l’angle FBE, que nous avons déjà nommé y t

et que nous continuerons de désigner ainsi j leurs intensités relatives seront i sin acls et i' sm Çds' , ces deux dernières portions de courans étant situées l’une à l’égard de l’autre, comme celles dont nous venons de déterminer l’action mu-

tucllc ; nous aurons pour 1*» valeur île leur attrac-

tion

iï si il u sin Sdsds'

Quant aux deux petites portions AN et BQ, il ne pourra y avoir aucune action entre la première et BP, parce que la direction AN est comprise dans le plan élevé perpendiculairement sur le milieu du courant BP. Par la même raison , il n’y aura aucune action entre BQ et AM. Reste à savoir s’il y a une action mutuelle entre deux courans qui, comme AN et BQ, sont dirigés suivant une même droite. 11 est clair que dans ce c.'uv il faudrait ajouter cette action à celle qui s’exerce entre AM et BP; alors si ces deux portions de courans dont les intensités relatives sont ids cos a. et i'ds’ cos £, se trouvaient relevées de manière à devenir parallèles, leur action

. ii'dsds cos a cos S T , ,

serait — . Lorsque les deux cou-

rans reprennent leur situation dans une même droite AB, leur action ne peut être qu’une certaine partie de la précédente, c’est-à-dire qu’on

k , P kii'dsds ' cc.s * cos C

mettre sous la lorme — ,

k étant un» coeliicienl constant; la formule générale devient d’après cela

ii'ds'ds (sin a sin C cos y +k COS * cos C)

Nous avons vu qu’il y a répulsion entre les

parties successives d’uii courant qui parcourt une ligne droite; donc le terme, de la formule qui exprime cette partie de l’action doit être négatif lorsque les deux petits courans AN et BQ sont dirigés dans le même sens, c’est-à-dire lorsque ^ cos cl et cos £ sont de même signe. Or, dans ce cas,

— '—^ n est essentiellement positive , puisque la

distance des deux courans ne peut pas être négative; donc le coefficient k est nécessairement négatif. •

§ 28. Il reste maintenant à déterminer la valeur du coefficient constant k ; mais, comme d&ne peut y parvenir qu’à l’aide d’une transformation de la formule, je crois devoir d’abord expliquer cette transformation.

Soient BM et B'IVf (fig. 27) deux lignes représentant des fils conducteurs, et qui seront en général deux courbes à double courbure ; désignons par s et s les arcs BM et B'M', comptés depuis les points fixes B et B', M/n=£fc, M'rri=ds' seront deux portions infiniment petites de ces conducteurs, et leurs directions seront déterminées par les deux tangentes MT, M'T*. En nommant r la 1 distance MM', r sera évidemment une fonction des' deux variables indépendantes s et s' ; si l’on abaisse des points m et w ! sur MM', les perpendiculaires me , me' , qui pourront être considérées

comme de petits arcs de cercle décrits respectivement des centres M' et M, et qu’on prenne les angles a. et G de manière qu’ils aient leur ouverture tournée du même côté, comme on l’a supposé dans le calcul de la formule, l’angle a étant pris, par exemple entre la direction MT de Mw et le prolongement MK. de M'M, et l’angle G entre la direction M'I' de M'm' et la ligne MM' ellemême, on aura ces deux équations ,

• dr

cos a = -j-,

a dr

COS b = jy-,

parce que le point M' reste fixe quand .s varie seul dans la fonction r, et le point M quand c’est s ' ;

on tire de là cos a cos G z= — ^ X ( i); en dif-

férenciant la valeur de cos G par rapport à s , on trouve

mais quand le point M est transporté en m, et que s devient s -j- ds, l’angle G diminue évidemment. tant que l’angle y des deux plans M'MTjMM’l' est aigu, d’une quantité qui est la projection de l’angle MM'/» sur le plan MM'T' ; et connue cet angle est infiniment petit, on a rlG— — MM'/n cos y , valeur qui s’applique aussi (

au cas où y est un angle obtus, parce qu’alors € augmente avec s ; mais l’angle MM'm a pour me-

, d’où

me

sure Wm =

ds sin

dC

ds

sm « cos y

il suit que sin a sin 6 cos y = — en substituant dans la formule

ii'dsds' sin a sin S cos y -+■ k cos a cos C

(r>î) Xr‘~‘d S*J

ii'dsds?

ii'dsds'

ii'dsds'

ii'dsds'

' ' r* ~ î+k dsds’

Si l’on désigne, conformément à une notation employée dans divers ouvrages, et notamment dans le Traité de Mécanique de M. Poisson ( 1. 1 , art. 171), par dr la différentielle de la distance r relative au déplacement du point M, et par ctr la différentielle de la même distance relative au déplacement du point M',en sorte que ce qui dans

la notation ordinaire est exprimé par Qjr, ds^ le

soit par dr, que ds soit remplacé par dV et dt

que jp ds ' le soit par c£ r, on pourra écrire l’expres-

sion de l’action mutuelle de deux portions infiniment petites de courans sous l’une de ces deux formes :

— ii'r'~ m ~ k c? (r^dr ). . . .(2),

— ii r'~*~ h ddf ( r' + *) /QN

On pourra se servir de celle des deux valeurs qui conviendra mieux au but qu’on se propose dans chaque cas particulier. Pour faire usage de ces formules , on calculera la valeur de r en fonction des six coordonnées des deux points M et M', que ces coordonnées soient trois droites perpendiculaires ou deux droites et un angle , ou deux angles et une droite, et on en déduira par de simples différentiations les valeurs des différentielles partielles de r qui entrent dans la formule qu’on emplôie, en ayant soin de ne faire varier que les trois coordonnées du point M dans les différentiations marquées par le signe d, et que celles du point M' dans les différentiations qu’indique le signe (ï.

Un des avantages de la valeur que nous venons de trouver, consiste à ce qu’on peut n’exécuter que les différentiations relatives au changement de position de l’un des points M ou M' , et se contenter d’indiquer l’autre , ce qui simplifie beaucoup les calculs dans certains cas, comme on le

verra dans la détermination de la valeur du coefficient constant d’après le troisième cas d’équilibre que nous avons décrit dans la première partie, et qui peut s’énoncer ainsi :

Un circuit fermé circulaire ne peut jamais produire de mouvement continu toujours dans le même sens, en agissant sur un conducteur mobile d’une forme quelconque, qui part d’un point de l’axe du cercle, et qui se termine à un autre point du même axe, lorsque le conducteur mobile ne peut que se mouvoir en tournant autour » do cette ligne.

§ a;}. Pour exprimer analytiquement ce théorème, considérons un courant circulaire horizontal dirigé en M' (üg. 28), suivant la tangente M' U, et agissant sur une portion infiniment petite d’un conducteur mobile BM , assujetti à tourner autour de la verticale Az passant par le centre A du cercle dont le courant horizontal parcourt la circonférence, et dont nous nommerons le rayon a; A z étant pris pour axe des z, la verticale MJN sera l’ordonnée z du point M ; prenons pour les deux autres coordonnées de ce point , la distance AN = r, et l’angle XAN = t; en nommant £

l’angle XAM, on aura évidemment

r*=MN I +MN /a =zî-f- — 2 au cos (i' — t),

expression où £ varie seul quand le point u se

déplace, en sorle que

^ aud't' si n ( t' — t )

et que 1 action d’une portion infiniment petite du courant horizontal situé en M', sur une portion infiniment petite du conducteur BM située en M, est représentée par

— aiir‘- m - k dt'd [ r*— u sin ( t ' •—/)].

Si l’on décompose cette force suivant la ligne MO, perpendiculaire au plan AMINK, et qu’on abaisse du point Msur le rayon ANK , la perpendiculaire MK= a sin (Y — /), qui sera évidemment parallèle à MO, ilfaudra, pour avoir la composante suivant MO, multiplier laforce suivant MM', dont nous

venous x de trouver la valeur par ^p, ce qui donnera

— a'ii'dt'r — sin (t' — t) d [r*-'u sin (t' — t)];

en multipliant cette quantité par la distance M Q == u du point M à l’axe AZ, on aura pour le moment de rotation

a*ii’dt'r~ n ~ k u sin (t' — t) d [#•*—*« sin (<' — /)].

Telle est l’action exercée par le petit arc-r/s' du conducteur fixe horizontal, pour fane tourner le petit arc ds du conducteur mobile autour de cet axe ; en l’intégrant relativement aux différentielles

désignées par rf, on aura celte'action telle qu’elle est exercée par le petit arc ds , sur tout le conducteur mobile : or , d’après l’expérience qui prouve que cette action est nulle toutes les fois qu’elle est prise entre deux limites pour lesquelles « = o, quelle que soit d’ailleurs la forme du conducteur mobile et sa position relativement au petit arc ds' situé en M' , c’est-à-dire quelles que soient les valeurs de r et de t en fonctions d eu, qu’il faudrait substituer à r et à t pour intégrer de u — oh u = o, si cette quantité n’était pas une différentielle exacte par rapport aux trois quantités r, t, u, qui varient avec la position du pointM : or, on sait que pour que la valeur d’une intégrale soit ainsi indépendante des relations des variables qui y entrent, et reste toujours la même entre les mêmes limites , il faut qu’elle se présente sous la forme d’une différentielle exacte eDtre ces variables considérées comme indépendantes, ce qui ne peut avoir lieu ici à moins

qu’on n’ait k — i = n — À' ou k= ^-^.Telle est

la relation que l’expérience démontre exister entre k et n; et connue nous avons déjà vu que k est négatif, il en résulte n > i . Si l’on fait n ?=2,

$ 3o. On peut prouver directement par expe-

riencc, que la valeur de n est plus grande que l’unité,' et que , par conséquent, le coefficient k est négatif. Cette expérience consiste à soumettre un cercle à l’action d’un conducteur rectiligne situé dans le même plan. Soit mp (fig. 29, pl.lïl), le conducteur rectiligne, prenons sur ce conducteur un élément quelconque ; si du milieu de cet élément m , on mène deux lignes très rapprochées mac et mbd, elles intercepteront sur le cercle deux portions très petites ab et cd, telles que l’on aura ab l cd :: \am : c/n; de plus, en comparant les angles de cette figure avec ceux que nous avons appelés a , G et y dans la formule des actions électro-dynamiques, on a pour ab,

y = o, G=amp, a. = cab ; pour cd, y'— o, G'—amp= G, a.' =dcf— 1 8o # — a ;

de plus ab est dans le sens du courant et cd en sens contraire ; donc si l’on prend le premier positivement, il faut prendre le second négativement. Cela posé , l’action de ab sur m. sera

if ab ( sin a sin € k cos m cos S)

ma

:rt!t

l’action de cd sera

ii'cd ( sin « sin C — k cos « cos S ) mc n

sir on prend un second élément du conducteur

rectiligne à une distance pm' — mp du pied de la perpendiculaire abaissée du centre du cercle, et si l’on mène des lignes m'd', m'e' qui déterminent sur le cercle deux élémens symétriques par rapport à ab et ccl , on aura pour ces nouveaux élémens les mêmes angles excepté £ qui descendra 180° — £, par conséquent l’action de a' b 1 sera

( sin a sin fi — k cos a. cos fi ) a cm" ’

celle de c'<ï ,

cd ( sin <t sin H -f- cos » c os fi )

cm" *

la somme des forces exercées par les quatre élémens sera

2 sin a sin

L* forme de cette valeur montre que les deux actions des parties antérieures et postérieures sont toujours opposées, mais leurs grandeurs rerelatives varient selon les suppositions que l’on •fait sur re; en effet, on peut les mettre isolément sous la forme

2 sin a sin fl X ■ — . et 2 sin a sin fl X

am n r ~ cm"

Lorsque n=i , les deux valeurs sont égales d’après la proportion ablcd: arn : cm ; si ii> 1 — <? — - ,

7 mc n am a 7

l’aclion de ah est plus grande que code de cd. Si

au Contraire n < i , il en résulte — > — - e t

me * om' 1 ’

ï’action de cr/ l’emporte sur celle de ah.

Pour comparer ces résultats avec l’expérience , on se sert du conducteur asta tique (fig. 3o), composé de deux cercles parcourus en sens contraires; on le suspend dans les coupes y et y', on met le conducteur (fig. 4) dans les coupes i, h, on amène l’un des cercles ëyJ', par exemple, près de la partie rectiligne de hi, et l’on voit que si les courans sont dirigés de la même manière dans le conducteur rectiligne et dans la partie du cercle la plus voisine, le conducteur mobile est attiré , et qu’il est repoussé dans le cas contraire. Ainsi , le genre d’action est toujours déterminé par la partie antérieure du cercle, et nous avons vu que ce phénomène donne «>• i .

5 3 1 . On peut donner à la formule qui exprime l’action mutuelle de deux élémens une forme plus simple , qui sépare les deux intégrations ; en

efi’qt , on a démon tré que cos € = — —, .

ds' f

ou d'r=z — cos C cls'-, en reportant celte valeur dans l’expression — ghr k d{ r k ctr ) , on a

ii r k d ( — r k cos Cds) = ii r k d ( r* cos Cds') ; lorsque l’on calcule l’action d’un courant d’une forme quelconque sur un clément ds 1 , cette der-

niére quantité doit être regardée comme constante; on peut 1a sortir de dessous le signe d, et écrire ii' ds'r k d (r*cos£), le calcul revient alors à déterminer les valeurs de r et de cos C pour un clément quelconque du courant donné, décomposer la force qui s’exerce dans la ligne qui joint deux élémens en trois forces parallèles à des axes rectangulaires pris arbitrairement, intégrer les expressions de chacune de ces forces dans les limites qui conviennent pour chaque cas particulier à la forme et à la position de la courbe suivie par le courant, et réunir les trois systèmes en une seule force, d’après les lois de la Mécanique.

M. Ampère a d’abord déduit de sa formule un résultat remarquable, qu’il a obtenu eu décomposant la force dans la direction même de l’élément ds% ce qui se fait en la multipliant par cos £; on a ainsi ii' ds' r k cos 6 d(r* cos €), dont l’intégrale est

( r* 4 cos* £-f c ) ,

qu’il fout prendre entre les deux limites marquées par les extrémités du conducteur suivi par le courant. Si ce conducteur forme un circuit complètement fermé, les valeurs de r et de cos 6 seront les mêmes aux deux limites , puisque ces limites se trouveront au même point , et l’intégrale se trouvera par conséquent nulle, d’où

il suit que la résultante de toutes les actions exercées par un circuit fermé sur une petite portion de conducteur est toujours perpendiculaire à la direction de cette petite portion; il en doit être de même d’un assemblage quelconque de circuits fermés.

$ 3a. Les calculs ont été étendus à l’action mutuelle d’un conducteur rectiligne indéfini, et d’une très petite portion de courant située d’une manière quelconque dans l’espace, à l’action d’un courant indéfini , sur un conducteur circulaire , de deux courans circulaires l’un sur l’autre, enfin, aux actions exercées par certaines combinaisons de courans circulaires sur un petit courant élémentaire, sur un courant rectiligne indéfini, et sur d’autres systèmes de courans circulaires. Toutes les combinaisons de courans circulaires que l’on a soumises aux calculs, sont des cylindres droits et des surfaces annulaires, qui ont pour axes des lignes planes quelconques. Je me bornerai à donner ici l’extrait de deux Mémoires sur ce sujet, lus à l’Académie des Sciences le 3 février i823 r l’un par M. Savary et l’autre par moi. Je mettrai les difFérens théorèmes dans leur ordre rationnel: les lettres initiales S et D indiqueront de quel Mémoire chacun d’eux est tiré.

i °. L’action d’un conducteur rectiligne indéfini dans les deux sens, sur un petit courant situé

d’une manière quelconque dans l’espace, est perpendiculaire à ce petit courant. (D.)

a". Lorsqu’un courant qui suit une courbe plane quelconque est soumis a 1 action d un courant indéfini dans les deux sens, et se meut autour d’un axe perpendiculaire au plan de la courbe, et à la direction du courant indéfini, le moment des forces qui sollicitent le conducteur est le même dans toutes les positions.... (D. )

3°. Quand un courant électrique suit une courbe symétrique par rapport a un axe, 1 action de celte courbe sur un courant indéfini , parallèle à son plan , et perpendiculaire a 1 axe , est perpendiculaire au courant indéfini. Le cercle jouit de cette propriété , puisqu’il est symétrique par rapport à tous ses diamètres.... (D. )

4*. L’action d’un petit cercle sur un couranl indéfini, parallèle à son plan, est, pour son intensité, indépendante des positions relatives du cercle et du courant : elle est proportionnelle à la surface du cercle , et en raison inverse du carré de la distance. L’angle formé par la direction de cette force avec le plan du cercle est toujours double de l’angle que forme avec le même plan la perpendiculaire abaissée du centre du cercle sur

le conducteur indéfini (D.)

5°. L’action qu’exerce un conducteur rectiligne indéfini, situé dans un plan perpendicu-

laire à celui d’un courant circulaire, pour faire tourner ce courant autour de l’intersection des deux plans, est indépendante de l’inclinaison du conducteur rectiligne sur le plan du courant circulaire , et varie en raison inverse de sa distance au centre de ce dernier courant.... (S.)

6*. Un courant circulaire tend à faire mouvoir un fil conducteur indéfini parallèle à son plan , de manière que chacun des points de ce fil décrive une circonférence tangente au plan du courant circulaire, suivant le diamètre indéfiniment prolongé qui est parallèle au fil. La force varie en raison inverse du carré de la distance du fil au centre du courant circulaire (S.)

Parmi les combinaisons que l’on peut former avec des courans circulaires, la plus simple est celle qui se compose de plusieurs courans circulaires d’égal rayon, situés dans des plans perpendiculaires à la droite qui joint leurs centres. Cet assemblage, est ce que l’on nomme un cylindre êlectro-dymcimique.

7 0 . L’action d’un cylindre électro-dynamique d’un très petit diamètre sur un élément de courant, se réduit à deux forces perpendiculaires à deux plans qui passent tous deux par cet élément, et chacun par l’une des extrémités de l’axe du cylindre. Chaque force est en raison inverse du carré de la distance de l’élément à l’une de^xtré-

mités de l’axe du cylindre, et proportionnelle au sinus de l’angle que la droite qui joint l’élément et cette extrémité fait avec la direction du même élément. D’où il suit que , si l’on suppose le cylindre électro- dynamique d’une longueur infinie, son action sur un clément de courant électrique ne dépend que de la position respective de l’élément et de l’extrémité du cylindre que l’on considère , mais nullement de la direction de l’axe du cylindre dans l’espace. 11 en est de même de l’action du même cylindre sur un conducteur d’une forme et d’une grandeur quelconque. Cette action ne dépend que de la position de l’extrémité que l’on considère relativement au conducteur , et reste la même, quelle que soit la direction de l’axe du cylindre.... (S.)

8®. L’action d’un cylindre électro-dynamique, sur un conducteur indéfini perpendiculaire à son axe , se réduit à deux forces dirigées dans un même plan perpendiculairement aux lignes qui mesurent les distances du courant indéfini aux deux extrémités du cylindre, et en raison inverse de ces distances... (S. D.)

9 ®. Si dans l’équateur d’une sphère, on conçoit un cercle d’un petit rayon dont le centre se confond avec celui de la sphère , et qu’un cylindre élec jy-dy namique très court soit transporté successivement sur tous les points de la surface, l’axe

du cylindre étant toujours dans le méridien, la tangente de l’angle formé par l’axe du cylindre et le plan tangent à la sphère, est double de la tangente de la latitude du point que l’on considère.... (S.)

io*. L’action mutuelle de deux cylindres électro-dynamiques, peut toujours être représentée par quatre forces, deux attractives et deux répulsives, agissant en raison inverse du carré de la distance, et dirigées suivant les lignes qui joignent les deux extrémités d’un cylindre aux deux extrémités de l’autre.... (S.)

En réunissant plusieurs cercles dans des plans perpendiculaires à une même courbe plane qui réunit tous les centres, on forme des surfaces annulaires électro-dynamiques.

ii°. L’action exercée sur un conducteur indéfini, par une surface annulaire dont l’axe est une courbe plane quelconque symétrique par rapport à un diamètre, est dirigée dans ce diamètre toutes les fois que le courant indéfini passe par un point de cette ligne, et est perpendiculaire au plan de l’axe de la surface.... ( D. )

^3°. Un anneau de petits courans électriques circulaires , est sans action à toute distance sur un conducteur indéfini perpendiculaire au plan de l’anneau.... (D.)

J 3°. Un anneau de courans électriques circu-

laires, est sans action sur un conducteur voltaïque de forme quelconque.

i 4 °. L’action mutuelle de deux cylindres électro-dynamiques peut être représentée par quatre forces dirigées suivant les lignes qui joignent les deux extrémités du premier aux deux extrémités du second , et dont les intensités sont en raison inverse des carrés de ces lignes.

§ 33 . M. Savary a conclu du théorème i 3 °. , un moyen de déterminer la valeur de la constante A, qui reste indéterminée dans la formule; en effet , il a prouvé que ce théorème n’était vrai que sous la relation in -f-i=o. M. Ampère avait

* déduit d’un autre cas d’équilibre ( § 29)

2 k — /Z— 1 =0. Les deux équations fournissent deux systèmes de valeurs

et comme M. Ampère a prouvé par diverses expériences, entre autres par la répulsion des parties d’un même courant, que h est négatif; que d’ailleurs tous les phénomènes s’accordent à montrer que la force décroît avec la distance , les valeurs k = — £ , n = 2 sont seules admissibles. Il suffisait donc de vérifier expérimentalement le théo* rème énoncé pour démontrer que telle était réellement la valeur de k. A cet effet, M. Ampère a fait tourner en hélice un fil de cuivre , revêtu

de soie, sur une autre portion du même fil, de manière que le courant électrique de cette dernière portion, détruisît l’effet des projections longitudinales des spires^de la première; on formait avec cette hélice un anneau circulaire composé de plusieurs tours de la même hélice, et les deux extrémités du fil , tordues ensemble pour se neutraliser mutuellement, se séparaient à une assez grande distance de l’anneau, et communiquaient avec les deux extrémités d’une pile de Yolta. Cet appareil, présenté successivement à des conducteurs de différentes formes, n’a jamais exercé aucune action sur eux, quoique la pile produisît, avec beaucoup d’intensité, tous les autres phénomènes électro-dynamiques.

§ 34- Le théorème 8®. fournit une construction simple pour la résultante des forces que l’on y considère; elle est dirigée suivant le diamètre du cercle qui passe par le pied du courant indéfini et par les deux extrémités du cylindre électro-dynamique.... (S.)

En effet, si l’on décompose une force appliquée au point M, et dirigée suivant MG, en deux autres perpendiculaires aux lignes MB et MA , les composantes seront entre elles comme

cos AMG : cos BMG ou :: sin MGE' : sin MGD ; or, on a dans le triangle EMG ,

ME = MG sin EGM;

dans le triangle MGD , i '•

MD = MG sin îilGD;

donc

■ sin MGE : sin MGD :: MEr-^MP :: MA:MB.

C’est-à-dire que les deux composantes seront en raison inverse des lignes MA et MB, comme l’exige le théorème énoncé. Si l’on prolonge le diamètre MG jusqu’au point N, et que l’on joigne NA , NB , ces lignes seront respectivement perpendiculaires aux droites MA et MB ; d’où résulte une construction plus simple qui a été donnée par M. Ampère : elle consiste à joindre le point M avec les deux extrémités du cylindre,] et par ces deux points mener les perpendiculaires NA et NB; la ligne MN qui passe par le point donné et par le point de rencontre des deux perpendiculaires , est la direction de la résultante.

Lorsque le point M est situé sur la circonférence dont AB est le diamètre, la résultante passe par le point C , milieu de l’axe du cylindre. Cette circonférence limite jouit ainsi de la propriété que , de tous ces points, le fil conducteur n’exerce aucune action pour faire tourner le cylindre autour du milieu de son axe ; en sorte que , si d’un point intérieur quelconque, ce fil repousse la moitié du cylindre dont il est le plus près, il l’attirera de tous les points extérieurs, et réciproquement.

Lorsqu’on suppose que le Kl situé ei* dehors de la circonférence limite repousse la portion du cylindre la plus voisine, ce cylindre se trouve dans un état d’équilibre stable, quand son axe est perpendiculaire au plan qui passe par son milieu et par le fil : car, alors les deux forces perpendiculaires aux lignes qui joignent le pied du fil et les extrémités du cylindre , sont dirigées dans une même ligne. C’est alors seulement qu’en faisant osciller le cylindre supposé horizontal autour de cette position d’équilibre, et plaçant le fil vertical de plus en plus loin du centre de suspension , la force diminue en raison inverse de la distance.

Lorsque cette distance est fort grande par rapport à la longueur du cylindre mobile, si l’on plie le fil indéfini de manière que les deux moitiés s’inclinent également de part et d’autre du plan horizontal en formant un angle dont le sommet se trouve dans ce plan , chacune d’elles exerce évidemment la même action pour faire osciller le cylindre ; et, d’après le calcul de M. Savary, lorsqu’on regarde la longueur de ce cylindre comme infiniment petite relativement à sa distance au sommet de l’angle, l’action totale est à celle du fil vertical et indéfini , dans le rapport de la tangente de la moitié de l’angle d’inclinaison à l’unité.

Enfin, M. Savary a calculé l’action d’un cylin-

dre électrqpdynamique , pour faire tourner un fil conducteur mobile autour d’un axe vertical passant par l’extrémité supérieure de ce fil, dans le cas où le cylindre est très long et où une de ses extrémités se trouve dans l’axe de rotation au niveau de l’extrémité inférieure du conducteur mobile, action qui, d’après ce que nous avons déjà dit, est indépendante de la direction de l’axe du cylindre, et il a trouvé qu’elle est alors en raison inverse du rayon du cercle décrit par cette même extrémité inférieure du conducteur mobile.

En général , l’action du cylindre électro-dynamique sur un conducteur indéfini , tend à faire décrire un cercle à ce dernier. Ce résultat a été obtenu par M. Ampère : soient abaissées les lignes MPetNQ perpendiculaires à AB; MO perpendiculaire à MX et OT tangente au cercle ATB. Faisons

CP==x, PM==^,'CQ=<, QN=w, CA=CB=r, les triangles semblables MPA , ANQ donnent y : x — r :: t-\~r : u, et les triangles semblables B1SQ , BMP y'.x+r :: t — r’.u-,

d’où

(x — r) (*-f- r) = (x+ r) (t — r), xt — rt-\-rx — r * =a :t — rx+rt — r* ; d’où 2 r(x — t)=o,

Cela posé, le triangle MK) donne- ,, ; , ^

MO = \/j' H )^;

à cause de la similitude des triangles MPO et RMN, on a