XX

On voit que si l’instrument était plus parfait, l’erreur moyenne dont la probabilité est serait moindre qu’une minute. On pourrait donner à un instrument de ce genre un tel degré de précision, qù e l’erreur commune, dont la probabilité est fût seulement la cinquième partie d’une minute. Nous disons que ce second instrument serait cinq fois plus précis que le premier. En générai la valeur de l’erreur commune ou moyenne qui serait désignée par h, est telle que , dans un nombre immense d’opérations, il y a autant d’erreurs positives ou négatives qui surpassent h, qu’il y en a de moindres que A, Le rapport de ces deux nombres d’erreurs, les unes plus grandes que h, les autres moindres , approche continuellement de l’unité, à mesure que le nombre des observations augmente. Nous définissons ainsi l’erreur moyenne.

H est facile d’étendre à la recherche des valeurs moyennes la définition mathématique du degré d’approximation.

Considérons que la valeur moyenne A, donnée par un nombre m d’observations, pouvant différer de la quantité, fixe H qui serait donnée par un nombre infini d’observations, la différence ou erreur H— A est vraisemblablement très-petite, si le nombre m est trèsgrand. L’erreur éventuelle H—A est susceptible d’une infinité de valeurs inégalement possibles. Ces erreurs ont des limites vraisemblables , c’est-à-dire qu’il est extrêmement probable que l’erreur commise en plus ou en moins n’excédera pas une certaine quantité. Il existe d’autres limites plus voisines , pour lesquelles la probabilité de l’erreur est seulement en sorte qu’il peut arriver indifféremment, ou que l’erreur excède ces limites, ou qu’elle y soit comprise ’

En général, déterminer le résultat moyen d’un grand nombre

de valeurs particulières, c est mesurer une quantité avec un instrument dont, on peut augmenter la précision, autant qu’on le veut , en augmentant de plus en plus le nombre des valeurs observées.

Il est facile de comparer, selon la règle énoncée dans l’art. VI, la précision d’un résultat moyen A donné par un grand nombre m d’observations, avec celle d’un résultat A' que l’on aurait déduit d’autres observations dont le nombre est m . En effet, suivant cette règle, le carré A* de la valeur moyenne A doit être retranché de la quantité — (a 2, — b z -J— c z -+- d z — —H n z ), qui est la moyenne des carrés ; et après avoir divisé le double du reste par le nombre m, on extrait la racine carrée du quotient : nous désignons cette racine par g.

On calculera de la même manière la quantité g, qui répond au second résultat A' déduit des observations en nombre m'. Cela posé, on démontre rigoureusement par les principes du calcul, que le degré d’approximation dépend entièrement de la quantité désignée par g. Il est d’autant plus grand, que cette quantité g est plus petite. Les .précisions respectives des deux résultats A et. A' sont en raison inverse des nombres g et g. Il faut remarquer que cette comparaison, ne suppose même pas que les observations sont de la même nature : car elle a un objet purement numérique, et les recherches les plus diverses peuvent être envisagées sous ce point de vue commun. .

Pour compléter cette discussion , il faut déterminer quelle probabilité il y a que la quantité cherchée H est comprise entre des limites proposées A D et A — D. A est le ^résultat moyen que l’on a trouvé, H est la valeur fixe que donnerait un nombre infini d’observations, et D est une quantité proposée que l’on ajoute

( xxi J )

à la valeur A ou que Ion en retranche. La table suivante fait connaître la probabilité P dune erreur positive ou négative pi^ grande que D ; et cette quantité D est le produit de g par un facteur proposé 3 .

*> 3 S 59 1 . inr

1,9849 5.. • rhr

2,46130. ....... aoVo

Chacun des nombres de la colonne P fait connaître quelle prohabilité il y a que la valeur exacte H, qui est l'objet de la recherche , est comprise entre les limités A H-g. 3 et A-— g. 3 . A est le résultat moyen d’un grand nombre m de valeurs particulières à b c d.... n ; 3 est un facteur donné ; g est la racine carrée du quotient que l’on trouve en divisant par m le double de la différence de la valeur moyenne, des carrés cf b z c z d a .... /z a au carré A a du résultat moyen. On voit par cette table que fa probabilité d’une erreur plus grande que le produit de g par 0,47708 , c’est-à-dire , plus grande qu’environ la moitié de g, est -i. II y a ï contre 1 ou t sur 2 à parier que l’erreur commise ne surpassera pas le produit de g par 0,47708 , èt il y a autant à parier que l’erreur surpassera ce produit.

La probabilité d’une erreur plus grande que le produit de g par 1,38 5^1 est beaucoup plus petite que la précédente ; elle n’est que /Il .y a ip sur 20 à parier que l’erreur du résultat moyen ne surpassera pas ce second produit.

La probabilité d’une errem* plus grande que la précédente devient extrêmement petite , à mesure que le facteur 3 augmente. Elle n’est

( xxiij )

plus que 2 0 o lorsque d approche de 2. La probabilité tombe ensuite efi dessous de ? 0 0 0 . Enfin, ii y a beaucoup plus de vingt mille à parier contre 1 que .Terreur du résultat moyen sera au-dessous du tripïe de ia valeur trouvée pour g. Ainsi, dans i’exempie cité art. VI , où ion a 6 pour ie résultat moyen, on peut regarder comme certain que cette valeur 6 n’est pas en défaut dune quantité triple de ia fraction 0,082 que ia régie a donnée .pour ia valeur de g.

La grandeur cherchée H est donc comprise entre 6 — 0,246 et 6 -H 0,246.

Pour faciliter f application de ia régie qui sert à calculer ia valeur de g, nous remarquerons que Ton peut retrancher de chacune des

valeurs particulières observées a b c d . rtj une quantité

commune u, et opérer comme si les valeurs particulières étaient a ■—- u b — u c —- u n — u.

On trouvera toujours pour g la même quantité que si ion n’eût rien retranché des valeurs a b c â..... n. Par exemple , si , dans ie caicui qui s’applique aux valeurs suivantes, savoir, 1000 égaies à 2, 2000 égaies à 5 et 1000 égaies à 12, on eût retranché de chacune d’eiies une quantité commune 2, on aurait eu ; 1000. o H— 2000. 3 H— 1000. 10 ou 1 6000 pour la somme des valeurs, et 4 pour ia valeur moyenne A, dont ie carré est 16. Les carrés des valeurs particulières sont 1000 fois o, 2000 fois 9 et 1000 fois 100; ia valeur moyenne de ces carrés est 2p Donc ia différence entre ia valeur moyenne des carrés et ie carré du résultat moyen serait comme précédemment 13 x. Cela aurait lieu de ia même manière, quelle que fût la quantité retranchée u.

De plus , on pourra considérer comme égales entre eiies des valeurs particulières qui différeraient très-peu; et en attribuant ainsi une

( xxiv )

grandeur commune à un certain nombre de ces valeurs particulières on rendra le calcul beaucoup plus facile.

En effet, on a principalement en vue, dans ces recherchés sur la valeur des résultats moyens, de reconnaître si ces résultats sont très-approchés, et de se former une idée juste du degré d’approximation. Il s’agit moins de calculer la valeur entièrement exacte de la probabilité des erreurs, que de prouver que la grandeur cherchée est entre de certaines limites très-voisines, et de comparer le degré de probabilité de cette dernière conclusion à la probabilité qui nous détermine dans les actes les plus importans de la vie. Il n’est donc point nécessaire, en appliquant la règle précédente, d’avoir égard à la différence.très-petite de deux valeurs observées. On peut, sans erreur sensible, lès supposer égaies ; et d’ailleurs, si l’intérêt de la question l’exige, on dirigera le calcul en sorte que les conséquences s’appliquent à fortiori aux valeurs précises qui ont été observées . Les considérations de ce genre méritent toute notre attention, parce qu elles s’étendent à la plupart des questions de l’analyse des probabilités, et qu elles en facilitent beaucoup les applications. Nous en avons déjà fait usage dans la théorie des assurances.

Nous ne pouvons point rapporter ici la démonstration analytique de la règle énoncée dans l’article VI, ce qui exigerait l’emploi des formules mathématiques. On peut regretter qu’une règle usuelle d’une application aussi générale, n’admette point une démonstration plus simple ; mais cela tient à la nature même de la question.

Cette même règle peut être présentée soUs une autre forme qu’il est utile d’indiquer, parce quelle montre ses rapports avec les règles connues. Pour déterminer la quantité désignée par g, on peut prendre la différence entre chaque valeur particulière et le résultat moyen A, élever au carré cette différence , puis ajouter ensemble tous les