IL

Om-reconnaît d’abord que, pour un même genre d’observations, le résultat moyen est connu d’autant plus exactement, que le nombre des valeurs qui formentda. sommeî totale est plus grand. Il est évident que si l/on -emploie^ dans le calcul de la durée moyenne de la.vie, quatre* mille-, valeurs* particulière, xette. durée rsera déterminée: avec plus de? précision/qpe: si j l’on emploie seulement deux mille : valeurs ou trois irafteaMais squelletest la mesure de ces difierens degrés de précision s etî quelleirelâtionsy)a*tdlsenürede nombre :qui l’exprime et le nombredes valeurs qui ont seèsrij à calculer le résultat moyen? :

Avant de résoudfe^cette question, nous ferons remarquer quei l’on 5

peut acquérir une connaissance assez exacte de la précision du résultat, sans recourir aux théories mathématiques. II suffit, par exemple , de diviser en deux parties l’ensemble des valeurs observées dont le nombre est supposé très-grand, et de prendre pour chacune de ces parties la valeur -du résultat moyen ; car si ces deux valeurs diffèrent extrêmement peu l’une de Fautre, on est fondé à regarder chacune d’elles comme très-précise. iRien n’est plus propre que ce genre d’épreuves à mettre en évidence l’exactitude des résultats statistiques, et il est presque inutile de présenter au lecteur des conséquences qui ne sont pas vérifiées par ces comparaisons des valeurs moyennes.

Pour appliquer avec fruit cette première remarque, il faut remonter au principe dont elle est déduite, et concevoir bien distinctement que la répétition et la variété des observations suffisent pour découvrir les rapports constans des effets dont la cause est ignorée. Cette conclusion dont nous allons citer un exemple numérique très-simple, s’applique aux objets les plus divers, et; il n’y a point, dans la matière que nous traitons, de notion plus générale et plus importante.

Si l’on suppose qu’une urne contient un nombre inconnu de boules blanches et un nombre ‘différent de boules noires, on pourra déterminer par l’expérience le rapport inconnu de ces deux nombres. Il faut pour cela répéter un très-grand nombre d’épreuves-, dont chacune consisté à extraire une boule daôi’urne proposée, et -à l’y replacer après avoir marqué sa couleur. On comptera combien il est arrivé de fois qu’une boule blanche est sortie , et combien il est arrivé de fois qu’une boule noire est sortie. Le rapport de ces deux nombres, qui sont désignés par m et n , pourra d abord différer beaucoup du rapport des nombres inconnus Al et N ; mais le quo-

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tient variable £ approchera continuellement du quotient fixe ** Ainsi, en supposant que ie nombre des épreuves qui ont été faites est très-grand, et désignant par m et n les nombres respectifs des boules blanches ou noires sorties de l’urne, le rapport \ différera extrêmement peu du rapport : la différence ^ — 2. peut être ou positive ou négative, et cela est fortuit; mais la valeur effective de cette différence sera une fraction décimale extrêmement petite, et cela arrive nécessairement.

Supposons maintenant qu après avoir achevé ce nombre d’épreuves, que nous indiquons par r, on renouvelle une opération du même genre, et que le nombre des épreuves qui forment cette seconde opération soit r ou un autre nombre très-grand r. Le rapport ÿ des nombres respectifs des boules blanches ou noires sorties pendant cette seconde opération, diffère aussi extrêmement peu du rapport fixe ™ : ainsi les quotiens ÿ sont 1 un et l’autre très-voisins du quotient ~ Les quantités dont — et ^ diffèrent entre elles et diffèrent de ^, diminuent’ indéfiniment et sans limite à mesure que les nombres r et r augmentent, c’est-à-dire que les nombres r et r des épreuves pourraient être rendus assez grands pour qu’il n’y eût aucune différence appréciable entre les rapports déduits de l’une et de l’autre opération.

La vérité de ces conséquences s’ofife d’eiîe-même ; la raison seule les suggère : mais l’analyse mathématique des modernes les a pleinement confirmées. Elle détermine jusqu’où il faut porter ie nombre des épreuves pour que l’on puisse/dans la pratique, être assuré qu’une seconde opération analogue donnerait sensiblement le même résultat; L’analyse dont il s’agit mesure exactement la probabilité de ce résultat, c’est-à-dire quelle exprime en nombres combien il est probable que la valeur moyenne calculée est comprise entré des limites données ; elle prouve aussi qu’il y a une limite des plus grandes

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erreurs possibles. Ces considérations s’étendent à tous les genres de recherches ; et i’on voit que ia persévérance, ou ia multiplicité des observations, supplée en quelque sorte à ia connaissance des causes, et quelle suffit pour découvrir les lois auxquelles les effets naturels sont assujettis. Les sciences philosophiques doivent ce progrès à Jacques Bernouiii et aux grands géomètres qui iui ont succédé.

On pourrait appliquer ces principes à la recherche de ia durée des générations humaines , question qui intéresse à-ia-fois f histoire naturelle de l’homme et la chronologie, et qui n’a point encore été réduite au calcul. Il faut d’abord remarquer que la durée des générations n’est point celle de la vie moyenne. Ces deux intervalles, que plusieurs écrivains politiques n’ont pas distingués, dépendent de conditions très-différentes ; iis ne sont point composés des mêmes élémens, et ne sont pas soumis de la même manière à l’influence des lois civiles. On voit, par exemple, que la loi qui règle l’âge où le mariage peut être contracté, concourt directement à déterminer ia durée des générations. On voit aussi qu’il est nécessaire de considérer séparément la durée des générations pour lés deux sexes, pour les premiers nés, pour les successions royales.

Pour déterminer la. durée commune des générations viriles, c’est-à-dire , la valeur moyenne de l’intervalle de temps qui s’écoule depuis la naissance du père jusqu’à la naissance d’un de ses fils, il faudrait se procurer la connaissance d’un grand nombre de valeurs particulières exprimant cet intervalle, comme 3 mille ou 4 mille. On saurait donc, pour chacun de ces cas particuliers, quel âge le père avait atteint lorsque le fils est né. On formerait la somme de tous ces âges, et on la diviserait par 4 °°° î fe- quotient serait la valeur moyenne cherchée.

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H est évident qu’il ne faudrait pas restreindre l’énumération aux seuls premiers nés ; car le résultat.exprimerait alors la durée moyenne des générations des premiers nés seulement , et cet intervalle est plus court que la durée .commune qui est l’objet de la question • faudrait, ; au contraire, admettre indistinctement et sans aucun choix dans l’énumération, l^es,premiers, les seconds , les troisièmes fils, Sec., et ne point se borner à des conditions ou professions spéciales, afin que, par la variété et la multiplicité des observations, on représentât sensiblement l’état de la société commune. Cela pose, de résultat moyen exprimerait la valeur approchée de l’intervalle dont il s’agit, iVdais -jd iresterait à déterminer le degré d’approximation. On ignorerait encore si la valeur trouvée est très-voisine de celle que l’on cherche , ou de combien elle peut en différer. La détermination de ces limites est importante dans toute recherche ; lorsqu’elles ne sont point connues, on ne peut se former quuneidée très-vague de fa précision du résultat-Mous donnerons, dans les articles suivans, une régie facile pour mesurer cette;précision.

Un des moyens les plus simples de vérifier les nombres que fournissent des observations mukipliéesj consiste , comme nous lavons dit, à diviser fortuitement la série de ces observations en diverses parties, et à comparer les valeurs que l’on déduit séparément de chacune de ces parties. L’emploi de ces règles suppose évidemment que ia composition de l’urne ne change point pendant toute da durée des expériences. On pourrait sans doute appliquer ces règles au cas où .des changent ens surviendraient dans fa nature des causes, et fou peut meme connaitreainsi i’effetde ces changemens. Mais il est nécessaire , dans-ce : > cas, ? de considérer séparément les intervalles dans lesquels la cause demeure constante, et de multiplier: les observations

relatives à chacun de ces intervalles. Les sources les plus communes (Je-l’erreur et de l’incertitude des conséquences que plusieurs écrivains déduisent des recherches statistiques j sont, i.? l’inexactitude des observations primitives recueillies par des moyens très-divers et non - comparables ; z.° le trop petit; nombre dès 7 observations, ce qui ne permet point de les- diviser en séries, et de former séparément le résultat- de chaque séries y.° J altération, ou progressive , ou irrégulière, quelles causes ont subie pendant la durée dès observations.

Jusqu’ici nous n’avons point considéré les conséquences mathématiques , mais seulement, celles que présente un premier examen; Il faut maintenant approfondir la question, et montrer comment elle peut être résolue par les théories analytiques. SL le nombre des valeurs observées est très-grand, et si, après les avoir ajoutées ensemble, on divise la somme par ie-nombre, le quotient est une valeur moyenne très-approchée ; il est certain que le degré d’approximation est d’autant plus grande que ion a employé un plus grand membre de valeurs particulières: On voit, de plits-, que sfces valeurs particulières s'Ottttfèspeu différentes les unes des autres, on est fondé à regarder le résultat comme plus exactement connu que si elles étaient très-inégales. Ainsi le degré d’approximation ne dépend pas seulement du nombre des quantités que l’on a réunies, il dépend encore du plus ou moins de diversité de ces quantités ; il sagit de se former une idée exacte dé ce degré d’approximation, et dé montrer que la précision du résultat est une quantité mesurable que l’on peut toujours exprimer en nombres. Nèus énoncerons d’abord la règle qui doit être suivie pour trouver-cette mesure numérique de la précision.

Désignons par a b c d . . . . . . n les valeurs particulières dont on a déduit • lë résultat moyen, et par A ce résultat ; m exprime le

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nombre des valeurs , et on le suppose très-grand. La valeur moyenne

A est égaie à la somme a -4- b -H c . -\-n, divisée par ie nombre

m. On prendra ie carré de chacune des valeurs particulières; puis ajoutant ensemble tous ces carrés a % —\-b z -\-c x -\-d z ......

on divisera ieur somme par ie nombre ni, ce qui donnera un quotient B , qui représente ia valeur moyenne des carrés. On retranchera de B ie carré A 2, de la valeur moyenne, et bon divisera le double du reste par ie nombre m . Extrayant ia racine carrée du quotient, on trouvera une quantité que nous désignons par g, et qui sert à mesurer ie degré de bapproximation. Pius ia valeur de g est petite, pius ia moyenne calculée A est voisine de ia valeur exacte que l’on cherche.

Les résultats précédens sont exprimés comme ii suit :

Pour citer un exemple de inapplication de cette régie, nous supposerons que bon a trouvé 4°°° valeurs particulières , savoir : i ooo égaies à ,2 ;

2000 égaies à 5 ; et 1000 égaies à 12.

En générai, les quantités observées sont toutes inégales ; et eiies ne se réduisent point, comme ies précédentes, à un petit nombre- de valeurs différentes ; mais nous n’avons ici en vue que d’indiquer ia marche du calcul.

La somme des valeurs observées est 1000. 2 -4- 2.000. 5 -4- 1000. 12 ou 24000 , et cette somme divisée par 4.00 o, qui est ie nombre des quantités , donne 6 pour ia valeur moyenne. La somme des carrés des valeurs est 1000. 4 H- 2000. 25 4—1000. 144 9 U

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ip 8000. Divisant cette somme par 4000, on a 45 ?t pour iamoyenne des carrés. On en retranche ie carré 3 6 de la valeur moyenne, ii reste On divise 2y par 4 000 > ensuite on extrait ia racine carrée du quotient ou --- * : cette racine est ; en

effectuant l’opération, on a 0,08216 ou à très-peu près 82 millièmes. C’est cette fraction qui fait connaître le degré d’approximation du résultat moyen,

Pour expliquer ie vrai sens de cette proposition, ii est nécessaire de rappeler ie principe qui sert de fondement au calcul des quantités moyennes. Supposons donc que i’on ait ajouté ensemble un grand nombre de valeurs observées , et que ï’on ait divisé ia somme par ie nombre m , ce qui donne ia quantité A pour la valeur moyenne ; nous avons déjà remarqué que i’orn trouverait presque exactement cette même valeur A, en employant un très-grand nombre d’autres observations. En générai, si ï’on excepte des cas particuliers et abstraits que nous n’avons point à considérer, ia valeur moyenne ainsi déduite d’un nombre immense d’observations ne change point; eïie a une grandeur déterminée H; et i’on peut dire que ie résultat moyen d’un nombre infini d’observations est une quantité fixe où il n’entre pius rien de contingent, et qui a un rapport certain avec ia nature des faits observés. C’est cette quantité fixe H que nous avons en vue, comme ie véritable objet de la recherche. On iui compare chacune des valeurs particulières , et ï’on appelle erreur ou écart ia différence entre cette valeur particulière et la valeur fixe H, qui serait ie résultat moyen d’un nombre infini d’observations.

Le nombre que nous avons désigné par m , qui est celui des valeurs observées, ne peut-être infini; mais ii est très-grand ; en sorte que ia valeur moyenne A, donnée par ce nombre m d observations, nest

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point la grandeur fixe H qui résulterait d’unénombre infini. Elle en diffère en plus ou en moins d’une quantité H—A qui est très-petite. Cette différence H — A, que nous désignons par D, est, à proprement parler, l’erreur de la valeur moyenne A. Cela posé, il est extrêmement probable que l’erreur D sera fort petite, si le nombre m est très-grand ; et toutefois il n’est pas entièrement impossible que cette erreur D soit assez grande. Elle est susceptible d’une infinité de valeurs différentes, qui peuvent toutes avoir lieu, mais qui sont très-inégalement possibles. Or, nous déterminerons quelle probabilité il y a que l’erreur D de la valeur moyenne A ne surpassera pas une limite donnée E , abstraction faite du signe , c’est-à-dire, sera comprise entre —H E et — E.

On sait que la probabilité d’un événement s’estime par la comparaison du nombre des chances qui amènent cet événement, au nombre total des chances également possibles. Ainsi, lorsqu’on a placé dans une urne des boules de différentes sortes, en nombre total M, savoir, un nombre m d’une première sorte , un nombre n d’une seconde sorte, un nombre p d’une troisième, &c., la probabilité de la sortie d’une houle de la première espèce est celle de la sortie d’une boule de la seconde espèce est ainsi de suite, M désignant le nombre total m -4- n H-* p &c. C’est sous cette forme unique que se présente la solution de toutes les questions de l’analyse des probabilités. Quelque composé que soit un événement, lorsqu’il est exactement défini, on peut en mesurer la probabilité, parce que l’on parvient à prouver quelle équivaut à celle de retirer une houle d’une espèce déterminée, en puisant dans une urne qui contient seulement un nombre m de boules de cette espèce sur un nombre total M de boules de differentes espèces. La fraction ^ est

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ia mesure de la probabilité cherchée. Tout i art de ia recherche consiste à déduire des conditions énoncées ia valeur de cette fraction Mais ii arrive souvent que cette déduction mathématique est un problème difficile, dont ia solution exige une connaissance approfondie de ia science du calcul.

Cette notion de la probabilité s’applique aux erreurs de mesure auxquelles on est exposé dans l’usage des instrumens.

En effet, quelque précis que soit un instrument donné, par exemple celui dont on se sert pour mesurer un angle, on ne trouve point par une première opération la valeur exacte de cet angle, mais seulement une valeur approchée. L’erreur est vraisemblablement très - petite ; toutefois il n’est pas impossible quelle soit assez grande ; il est seulement très-probable que l’erreur positive ou négative n’excède pas une certaine limite, comme trois minutes de degré ; et cela a lieu même pour des instrumens assez imparfaits. Une erreur moindre, comme celle d’une minute en plus ou en moins, est beaucoup plus probable. L’instrument pourrait être tel , que ia valeur moyenne de l’erreur à laquelle on est exposé à chaque opération fût une minute. Dans ce cas, il est aussi probable qu’on 5e trompera de plus d’une minute, qu’il est probable qu’on se trompera de moins d’une minute. Alors la fraction exprime quelle probabilité il y a que ia grandeur exacte de l’angle est comprise entre la valeur que donne l’instrument, augmentée d’une minute, et celte même valeur , diminuée d’une minute. Cette erreur d’une minute, dont la probabilité est L est en quelque sorte moyenne et commune, cest-a-dire que, dans l’usage infiniment répété de l’instrument dont il s agit, il arrivera autant de fois qu’on se trompera de moins d’une minute, qu il arrivera de fois qu’on se trompera de plus dune minute.