PROPRIÉTÉS DES LIGNES DE CONTACT

1** La différence des ordonnées f(x + Ax) — y(x-j-Ax) de denx courbes y ==fx^ Y=f x, qui se touchent, est, dans le t?otsinage du point de contact M (x , y) , d'autant plus petite , que le cotUact est d'un ordre plus élevé.

Démonstration. On a :

A 3C {ix + àX) f{x + A^) — f^ f^ + {Px — fX) 1-

(f[«-i)x— f(— %) -i^!ll+ (f(«)x — ,(»)x) -^ — h etc. (n)

Si fXs=sf,t,^Xy le contact est de l'ordre n-^2, et Foo aura : fx=fac, fx^^f'x, Pa; = y"x, ete. f(«-«>x8=y(»-%; donc réquatîon (a) deviendra :

f(x-f Ax) — f »sia;-t Aac) = fl»-»)« — f (»-»)x) • — r -. +

• 1 *-ifl • . • W 1

( f(«)a; y(«)x) . y:!^^ + etc. , (6)

de plus, on pourra concevoir ax assez petit pour que le 1" terme du i^ membre de cette équation soit plus grand que la sooime de tous les autres.

Si Ton pose, en second lieu, ya: = rn-ix, le contact sera de Tordre n — 1 , et Ton aura :

{x = fx, fo; = y'x , Foc =: f'^x , clc. f(«"i)x = f ^'*-^>x ;

donc Féquation (a) deviendra :

f (« + Ax) — f^i(x+ Ax) « (P»)x — f («)x) • — 1- etc. <c)

Or, dans l'hypolbèse de ax suffisamment petit, on a :

(f.«-Dx-y("-')x). ^ ^^^^^ ^^^ > (f('')x -y<")) . ^-^+ HC. ,

on a donc y pour celle valeur de ax :

ce qu'il fallait démontrer.

Corollaire. Donc si fn^ix représente la courbe osculatrice , celle-ci aura avec la courbe fx , au point M , le contact le plus intime.

2° Si la courbe fX a avec la courbe fx, au point M(x,y), un contact de l'ordre pair 2?, yx coupera fx au point M, et si le contact est de l'ordre itnpair 2y + l , la courbe fX se trouvera du même côté que la courbe fx, et ne la coupera pas au point M .

Démonstration. Si le contact est de l'ordre 2y, on a :

{x = fXy /'x = /x, ... fWx = f^')x; donc

A ac^+* ( \

f (a,+ Aa:)-î>2y(x+Ax) =^-^-^-pj . | f(W)x yWi)x j

+ etc., (1

f (a,^ Ax) - f2^(x - Ax) 1,2^!^+! • î i^^'^^-f^^'^^ j

+ etc. (2

Or 9 AX peut être pris assez petit pour que les signes des premiers Termes des seconds membres de ces deux équations soient ceux de ces membres eux-mêmes^ donc la différence des ordonnées f(x -J- àx) — y2y(x + Ax) qui suivent le point M est de signe contraire avec la différence f(x — ax) — ff^{x — ax) des ordonnées qui précèdent le point M , donc la courbe fr^x coupe la courbe f x au point M.

En second Tieu, si le contact est de Tordre 2y + ^ ^ on a :

f (a: + AX) f,y^,(x + ax) = ^.^^^^^.^ ' | ^'^'^^~ ^^''"^''^ j