CIX

d'y, dx*,

Pour le contact du 2* ordre oa a

dy dx

d'y dx*

d'y, dx\

Donc les équations précédentes deviennent :

* *■ rfa: dx« '' '' «te»

En substituant ces valeurs dans l'équation (3) , on obtient :

ce qui est l'équation de la parabole osculatrice du 2*^ ordre.

Cherchons encore Téquation de la parabole osculatrice du 3"" ordre.

Soit y, s=s A + AjX, + A,x,* -^ AgX,' , (3) , cette équation , on déterminera les constantes AjA^, AjjAg, en différentiant

trois fois , puis en posant y^=sy^ X|=x, ^= -i^, -iz — =

aX| ox a Xi

-j-^ , -jj— = -^r-j- ; ce qui lournira les quatre équations CbJC a X| CvX

y = A 4- A,» + A,«* -f- Ajx» , ^=A, + 2A,x+3A,«',

On en tire

j. dy ^ ^,, d'if

^'-dj d:;7** + 5'^-*',

2"* PABT. 45

^ dx ^^ dx* «^ dx»

En substituant ces valeurs dans l'équation (3), on a :

1 d'y 1.2.3* dx»^""*"^)'' c'est l'équation cherchée*

L'on voit y par ces résultats , que l'équation de la parabole osculatrice du n« ordre sera :

Remarque. II devient maintenant facile de construire autant de ternies que l'on veut des formules de Taylor et de Maclaurin.

Constmellon de la Formule de HaelaiiriB.

Soient MP=î/, OP = x, les coordonnées du point M de la courbe y s=fx, étant l'origine des coordonnées. Si nous pre* nous , à partir du point P sur l'axe des x une distance PHs=X|— «, prise sur le prolongement de l'abscisse OP = x, l'ordonnée de la courbe correspondante à l'abscisse x + ar^ — ar = a:i, sera f(xi), soit HM' cette ordonnée » on aura par le Théorème général de Maclaurin :

Par le point M menons une parallèle à Taxe des x, et soit m le point où elle rencontre l'ordonnée HM' = f(X|)^ on aura wM'«f(x,)-f{x).

Menons maintenant au point M de la courbe les paraboles oscu* latrices du 1*', 2°*', 3™', etc. ordre, savoir :

dy , V

n^ g- (-.—)% etc.

Soient Pi ; Pi , Ps , etc. , les points où elles coupent respectivennent l'ordonnée HM', il est clair que l'on aura :

mp,=y,—y,

«^Pf — ys~y> «'c- -1 i d'y , .

donc «I p, — mpi =P« P» =■ f:^ 5^ (*' "" *)' '

»»P.-«»P,=p,p.=»:^72:3^(«.-x)», etc.

On a donc enfin :

pour la construction demandée.

Ckinslmetlon de la Formule de Taylor.

Si nous posons PH — X| — x*»A, Xi^x + A, on aura la Formule de Taylor , savoir :

donc mM' <» mpi + pip, +PtP5 -r etc. ;

c'est la construction cherchée.