AX.Q

Si nous faisons Ax^dx^O, ce qui donne Ay=0, nous

aurons :

dS ds \ J du*

On a donc , en intégrant :

Si l'on prend cette intégrale de x=a, à x=6, 6>a, il vient, pour la Surface définie S' :

S' = 2./V\/l+^.dx.

2"" Hewarçue. En coordonnées polaires on a y=rsine,rf««=

donc

S= St /*rsinel/dr'+r»(fe',

S' = 2t / rsine|/rfr' + r'de' .

Différentielle des Solides.

Soit S une fonction de x^y^ et z, si nous changeons x en oc + A^î, S deviendra S + A«S; changeons dans le résultat y en y+A2/? alors S devenant S + AiS, l'expression S + A^S deviendra S+AyS + A,(S + AyS) = S4-AyS + 4,S+A,AyS. («)

Si nous changeons enfin z en z + Az, S devenant alors S-j^AiS ; il est clair que l'expression (^) deviendra :

S + A.S+Ay(S + A»S)+A(S + A.S) + A„Ay(S4A.S) — S + A,S + AyS + Ay aJS 4- AasS + A«aS + A» AyS + A«AyAj5.

Cette expression exprime la variation totale S' de S. Elle se compose de la fonction primitive S « des accroissements partiels

AxS^ AyS; A2S, AsAyS ; AxAsSy A«Ajpb > AyAsby

et de Taccroissement A»AyA»S dû aux accroissements simultanés Lx , by^ Az des trois variables^ dont se compose la fonction S. Désignons par A (T ce dernier accroissement , on aura :

A(r=A,AyA^ ) .

= AjsAyAjpO* /

Soit maintenant S la solidité d'un corps terminé par une Surface dont réquation est F(x,y,z)«0. Nous pourrons considérer S comme une fonction de x^y^z. Si donc nous désignons par Atr l'accroissement de S dû aux accroissements simultanés ^x, ^y, Lz, on aura, par la formule (1)

A0-= A« AyAa;S. (2)

Mais X et y étant les variables indépendantes on pourra poser x = fv,y^^4^Vj 9 et ;p désignant des fonctions arbitraires , et l'on aura par suite jz=^v, cette valeur de z devant être déduite de l'équation

Nous supposerons en conséquence que Xjy,Zj deviennent x-f ax > y+Ay, z+Az, quand v devient v+Ay, On a donc, par la Formule de Taylor :

dS . dS , dx ^ ^ Av ^ dx^ dv

àyU , du . dy

dy dv *

d^ . dx dy ^ dxdy dv dv

A,u; dw , dz ^

AV ^ dz ^ dv ^ ^

.p. d«S . dx dy '■^ dxdy "^ dv dv * ^ dz

dz dv

, d»S . dxdydz , ^

^ docdydz ^ dv* '