AO- AO
— r= — r + Ai'-L, (5)
Al/ Al/ ^ "^
le terme ai/«L disparaissant pour Ay»0.
En ayant égard aux équations (3) et (4) l'équation (5) devient :
^dxdy^ dv' * ^ dv- ^ J cosw
Si nous posons àv^O, dans cette expression , on aura, après la suppression du dénominateur commun dv* :
(•j-j-)dxdy « •dxdy^ dtr ; (a)
^ dxdy' ^ co8« if ' \ /
on aura de plus :
dxdy ces « dxdy ' ^ '
Les expressions d<r , et rr-rr y se nomment respectivement
la différentielle , et la dérivée de la Surface &^{[x^y^z)rsiQy correspondant au point M (x» y, z).
li ne reste plus qu'à chercher l'expression de cosoi en fonction des coordonnées du point M(x,y,j8) de la Surface î[x,y,z)^Q.
Or, le plan tangent en M a cette Surface a pour équation :
On a donc :
cosw =
df Si nous divisons, haut et bas, par (-7-), on aura encore
dz
COSM
Cette valeur fera changer les expressions (a) et (6) en celles-ci :
1" Remarque. Le 1" membre de l'équation (a') peut s'écrire de cette manière
Soil — r- cix « ti , on aura dx
—^dy = du. donc t -r-^dy^u.
dy ^ J dy
II suit de là que Fintégrale partielle de {'-r-T-)dxdyy prise par rapport à y est -j-dx =s w =» dS. On a donc aussi
(MX
-7— dx— S.
dx
Il suit de là que pour obtenir Faire indéfinie S de la Surface donnée il faut intégrer Fexpression (a') d*abord par rapport à y, ajouter une constante arbitraire au résultat obtenu, puis intégrer de nouveau par rapport à x. On pourra aussi intervertir cet ordre d'intégration y et prendre la 1" intégrale partielle par rapport à x, et la subséquente par rapport à y. Cela provient de ce qu'on a généralement
dy = -y dx .
dy ^ dx
Ces deux modes d'opérations seront indiqués par le Symbole
S^/dx/dyV^T+^TI^l
dy' d^ [,rx/. . dz' . dz' ^^ ., = /dy/rfx\/i . îff! .£!l\ "^ ^df^dx^
La formule (c) renferme la règle pour la quadrature indéfinie des Surfaces.
2°** Remarque. Le cylindre qui projette la Surface S sur le plan des xy rencontre ce plan suivant une courbe
qui sera la projection de S sur ce plan.
Soient y^^'^^x, yi«fx, la plus petite, et la plus grande des valeurs de y déduites de Féquation (1) pour la même valeur de x, il est clair que
sera Tintégrale partielle définie de S , dans le sens de y^ prise entre les limites y^ et ^o- Si Ton pose
on aura
y rfyVl+-|^+^=F(«,|x)-F(x,;^)-f(x).
En supposant les axes rectangulaires , les tangentes à la courbe (i), parallèles à Taxe des x seront perpendiculaires à ce dernier axe, et les abscisses XQ'^x^ des points où elles rencontreront cet axe seront évidemment les limites entre lesquelles on devra intégrer dans le sens de x Tîntégrale (2) , pour en déduire l'intégrale définie totale de la Surface S. On aura donc pour cette intégrale définitive
Pour trouver les valeurs de x^, x^ , il est clair qu'il faudra dé-
dv duire de l'équation (1) la valeur de —9 ^i chercher la plus petite
et la plus grande des valeurs de x qui satisfont à l'équat. — a i ,
dx ou à la suivante --— = .
dy
5"* Remarque. Ces procédés généraux pour la quadrature des Surfaces se simplifient dans des cas particuliers, et notamment quand S est une Surface cylindrique ou de révolution.
A. Quadrature des Snrfaees eyllndriqnes.
Si S représente une Surface cylindrique, on pourra la concevoir rapportée à un système d'axes rectangulaires tel , que l'un de ces axes, par exemple, l'axe des y soit parallèle à la génératrice rectiligne de S.
dz Dans ce cas on aura évidemment (-t--)»0, par conséquent les
dy
formules (a') et (6') deviendront :
dxdy dx^
Si Ton veut obtenir une portion S' de la Surface S comprise entre deux Surfaces cylindriques dont les traces sur le plan des Xjjf, ont pour équations
• yo«^ar, yi=?x, y^<y,,
et entre les plans tangents x =« a?^ , x •=» aci de la Surface S , on devra écrire
Les valeurs des limites Xo , Xo devront se déduire de Téquation
dz dz
•T- «= 0, -p- étant tirée de l'équation donnée F(x, z) «= de
ax dx
la Surface S..
B. Quadrature des Snrfaees de révoluUon.
Si nous prenons Taxe des x pour Taxe de révolution ^ et Ys=fx^ pour la courbe génératrice, l'équation de la Surface engendrée par la courbe Y»*fx, tournant autour de Taxe des x, aura pour équation
De cette équation, qui donne z — |/ | Y*— y* } , on déduit
. dz dx / il \ ~y
^ dx^~~7~' ^ dy ^^^^'
par conséquent la formule générale (a^ devient :
Si l'on prend la portion S' de S s'étendant dans le sens des y depuis 2/"=0, jusqu'à y = Y, et dans le sens des x depuis X = Xo , jusqu'à X = X| , on écrira :
Xi Y
Xo
l'"* Remarque. La quadrature des Surfaces de révolution peut être exprimée par une formule qui n'exige qu'une seule intégra* tion. En effel, soit y=a{x la courbe qui en tournant autour de Taxe des Xy engendre la Surface de révolution indéfinie S. Si X devient x+ax. Tare s qui répond à l'ordonnée y, augmentera de AS. Soit AC la corde de cet arc, on pourrar poser
La corde ac engendrera la Surface latérale d'un cône tronqué dont l'aire sera
,r^ [2^y + 2;r(y+Ay)J-Ac
La Surface S, quand x croit de ax, croîtra de AS, et Ton aura AS > AT. On peut donc poser
