AV

AV dv

En multipliant ces trois équations y on aura pour produit un résultat de la forme

AO" AX-AV'Az dx*dy*dz .„.

AJ/5 AV» dv^ ^ * ^ ^

En comparant les équations (3) et (5) , on en déduit : d»S . dxdydz dxdydz

^ dxdydz^ dv^ di/«

On appelle différentielle du solide ou volume S, l'expression dodans laquelle se change AO*, quand on pose Av^di/ssO. Donc réquation précédente donnera , pour cette expression :

!'• Remarqm. Le premier membre de Téquation (a) peut s'écrire ainsi :

Donc, en intégrant par rapport à z, on aura

en int^ranl ce résultat par rapport à y on aura

dS ^

die ' et enfin , en intégrant ce nouveau résultat par rapport à x , on aura S. Ces trois int^rations consécutives nécessaires pour obtenir S seront indiquées par le symbole

S= r dx r dy f dz ^ CCf dxdydz.

Celte formule renferme la règle pour la cubature indéfinie des solides.

2"* Remarque. Cherchons la cubature définie du Solide entier S y terminé par la Surface

F(x,y,2) = 0. (fi)

Soit Zo la plus petite, z^ la plus grande des valeurs de z tirées de l'équation (fi) , et soient

on aura , pour l'intégrale définie dans le sens des z :

%^ J dx J dy fdz.

Si nous coupons le solide S par un plan x=>Xy parallèle au plan des yz^ il en résultera une Section qui aura pour équation F(x,j/,z)=0, (v) X étant regardé comme constant. Les tangentes à cette Section parallèles à Taxe des z détermineront évidemment les limites y^^yi de Tintégration définie de S dans le sens des y. Pour obtenir ces limites, il faudra déduire de l'équation (y), X étant constant, la valeur de — -, et en tirer les va-

leurs de z qui rendent cette expression égale à 5. En substituant ces valeurs dans l'équation (7) , on en déduira pour y des valeurs correspondanles , fonctions de x, telles que yo = %x, yi=Çx, qui seront les limites cherchées, et l'on aura :

dx I dz.

yo Zo

Soit f(x,y) «0 (J*) l'équation de la courbe suivant laquelle le solide entier se projette sur le plan des xy. Leé tangentes à la courbe (J*), parallèles à Taxe des y, rencontreront Taxe des ac en des points dont les abscisses seront x = Xj, , x= x^ . Il est clair, « en même temps , que l'intégration dans le sens des a; devra s'effectuer entre les limites Xo > ^i •

Pour déterminer ces limites il faudra chercher par l'équation (9)

dti la valeur de --2- \\ est clair que x^ et x^ seront les valeurs de x dx

propres à rendre -t^ = 5. On a donc délSnitivement pour la cubadx

ture définie

dx f dy J dz.

«0 Vo ^0

Différentielle des Solides de révolntleii.

L'expression de do* devient plus simple quand le solide est terminé par une Surface de révolution.

Supposons que le solide S soit engendré par l'aire d'une courbe {(xyy) = Oy située dans le plan des x,y et tournant autour de Taxe des x. Le point M (x , y) décrira un cercle dont l'aire sera ^y*. Gomme x varie arbitrairement nous pouvons poser xssç y, f désignant une fonction quelconque y en sorte que x devient x-}-Ax quand v devient v+ av. On pourra donc considérer S comme une fonction de y, et désigner par a a* l'accroissement de S correspondant à l'accroissemenl av. On aura donc :

A(r do-

— = .- f- AvP.

AV dv

Mais en désignant par G le cylindre qui a pour base rcy^ et pour hauteur x^ et par a G son accroissement correspondant à av, on aura :

A G A X dx

Mais on a manifestement

A<r < AC .

De plus 9 les deux rapports ~ , deviennent égaux pour

^ysaO^ on pourra donc poser :

A<r AC . . p A^ Av

ou ^ + Av-P-;ry«(~ + A^-Q)±A«^-R

dx

ai'

De cette équation on tire enfin

dtr dx

— --=^t/'-T- ou d<r^^f€ifdx.

dv dv ^

De cette équation on déduit par l'intégration

S = T / y*dx.

C'est la cubature indéfinie du solide S. Si l'on veut en déduire la cubature finie ou la portion S' du solide S comprise entre les plans ««•«, xea/3, a<</3, il faudra écrire :

S' = jr / î/*dx.

et

La valeur de y devra se tirer de l'équation donnée