II

etc. , etc.

n« = w + wSiH ^j^^— ^Sî2 + etc. + wSi'»-*. (F)

Comme on a S ?* = S <**, on trouve, par des formules qu'on

donne dans les traités du calcul aux différences, l'expression :

S ti- = .2__ i(„p 1 ) + iB.p(nP-i- 1 )

(«p-s l)etc., (G) dans laquelle les B désignent les nombres bernouillens, savoir : Bj=i, B» = ^, B,=S5, etc.,

à Taide de oeUe formule, qui s'arrête quand Texposant de h devient n^tif , on trouve :

Si t=|ii(n— I), pour p=l ,

S'?=i(n l)ii(2n— I), . p=2,

-i (n— I)» . (n— !)• , («—0» n — l S.. == L J.+ L i.+ L X __, pour p=4.

D'après cela on a, par exemple

n + 5 Si + 10 S? H- 10s7» + 5 S^* =

Atfmargiff. La formule (F) , que je r^arde comme neuve, se vérifie d'ailleurs aisément ; car on a :

n + mSî+^-j^St^+etc. -n+S [11114. -^?-4- etc.]

= » +*sVi 4.,)»'sV— Ti

^w + Sî^-'sî^— (n— I)

Je dois cette Remarque à une obl^eanle communication de M' Bienaymé.