FORMULES D'EULER ET DE PAOLL

Formule généralisée d'Euler.

Soit a une valeur approchée de Tune des racines a de l'équalîon

çx^O; soit IfX une fonction telle que l'on ait ^^5=0; on

pourra poser :

i>x ç)x = #x — yfa; = 0, y— J^ = ^^' 0)

Il est clair que l'on aura 2/ = 0, quand on fera x^^a, et que Xy et par conséquent ¥x (F désignant une fonction quelconque donnée), sera une fonction de y, telle que %y. On a donc, par le théorème de Maclaurin :

Fo; = x{y) = Ao + A^j/ + Ay + A,î/' + etc. (2)

Poura;»âs, on a j/»0, donc Ao=Fa:.

L'équation (1) donne par la différentiation

dy^ »'ag*fr— fy.^x dy i,'a

â^y fx^{{xf—'H'x.fx^i/x + ^xl%('xY-^{x.rx'\

on trouvera , par une nouvelle différentiation :

. d'y. *"a.((ccy — Z(a.Pa.^''a~Z(a.i'^a.1>'cc+ 6(r^)'

Différentions Féquation (2) plusieurs fois de suite , nous trouverons :

Pesons , dans ces équations x = ^« , donc y = , nous obtiendrons :

De ces équations on tire :

rfy

,<py.

etc.

i i^"'-^'(^U«-^^'(iU.-{gU.

Si nous mettons dans ces expressions les valeurs ci-dessus des dérivées

( ^) , ( ^) , etc.,

nous aurons

ra'U iji'a '

' 2.3 * 1,'a * d« '■ /« * d« ^ ^'« ^■' ' On a donc, enûn :

i ^ d Va' ((a)* V*

F..F.+j^(P..r»).!, + ±. 5j^^] I- + ,-^-d^'^7S-di(-?r')i-2:3+^'''- <^)

C'est la formule d'EuIer généralisée.