FORMULES PARTICULIÈRES D'EULER

!• Si dans la formule (A) nous faisons Fx=x ou F = l, nous en déduirons d'abord la suivante :

2* Posons dans (A) fx = 1 , il vient :

Fx=F«+J-(F'«).y+-^. |-(^)X + jfcx, f ce ax, ^ a a

3" Faisons dans cette dernière Fa;=x ou F==l, nous aurons la formule donnée par Euler :

±.±rl.j!.(l)].lL+etc. (c)

Coroll. \, Posons ^x = x — «, donc ^'« = 1, donc ^'«=»1, la formule (A) deviendra :

Ce qui est la formule de Lagrange. Mais ^x=x— a, donne

^a? — j/fxssso;— tf — yfa;=0 ou a; = a + yfar.

La formule précédente donne la valeur d'une fonction Fx , de la variable x y donnée par celte équation implicite. Si a est une valeur approchée de Tune des racines a de l'équation fXs=zx — a — t/fx = 0, l'équation (d) pour Fx=x ou F = l, savoir s

. o d({aY V' rf«(fa)» • y^ ,

donnera, quand elle est convergente , la racine a par une approximation plus ou moins grande.

CorolL 2. Si dans la formule (A) nous posons ^xsx — ^a , on aura ^'xsl, donc ^'â:=:l, par conséquent cette formule deviendra :

F«-Fe«) + ,.Fe.,.f(i«, + JL . 'AîHê^Sn +

Tarïï d^ + "''• (^

Ce qui est la formule de Laplace, pour le développement d'une fonction Fx^ quand x est donné par l'équation implicite

fx = X — ^a — y fx=0 , OU; ce qui revient au même, par la suivante

ou par une équation de la forme

Donc si ^A est une valeur approchée de Tune des racines a de ['équation

et que la formule qu'on déduit de (/") pour Fx = x, savoir : x = ^a + yJ{^a)+ — . —^^ +

est convergente 9^ elle donnera la racine a avec une approximation plus ou moins grande.

FORMULE GÉNÉRÂUSÉE DE PÂOU.

Si, dans la formule (A) , nous posons -— = A, nous aurons :

Ad(Ad(X.FaTa^)) y^

Cest la formule de Paoli généralisée.