Coordonnées regtilignes

L'asymptote est une tangente dont le point de contact M'(x',y') a pour abscisse a/«^, ou pour ordonnée y' =«^, ou, pour coordonnées à la fois x'=5, y = 5.

Soient a l'angle que l'asymptote fait avec l'axe des a; , T le point où elle rencontre cet axe, et R celui où elle rencontre l'axe des y; soit aussi ^ la distance de l'origine à la tangente , on aura d'abord

Ensuite, si dans l'équation de la tangente , qui est

on pose xssO, on a

si l'on fait î;=0, il vient

dx' On a de plus

y' rfx'

dy'

dx'

(oof-y')

daf

De ià on déduit les caractères analytiques suivants pour reconnaître si une courbe a des asymptotes rectilignes. L'équation

y— j/' = a(a:— a/) sera celle d'une asymptote si l'on a :

1"* y fini quand a:' = 5, ou x' fini quand y' = 5.

dy' 2^ a«« ^ fini, quand af^^, ou ^'=5, ou à la fois

3° OR=:î/'— aa/^-j/'— ^x' fini, quand aî'=^, ou

yr=z> ou x'=i,y'=:i.

40 OT = a:' — iL. = x'— -^t- fini, quand a^=è.ou y'»!

d7 ou a;'=l,ç'«5,

^x'-t/' IL. * ox—\f dx ^ ^ ,

5* d==— ==r-. = — =■ fini, quand «'=5, ou

Nous disons qu'une quantité reste finie, quand elle ne prend pas la forme >.

V^ Rem. Si OT reste fini , tandis que OR = i, pour x' = 5, j/' e=5, alors l'asymptote est perpendiculaire à l'axe des x.

Si 0T = 5, et que OR reste fini pour des valeurs infinies de Tune des coordonnées, x',y' ou de toutes les deux, alors Tasymptote est parallèle à l'axe des x.

On pourrait avoir pour les mêmes valeurs de x', j/' que ci-dessus ,

l"" les expressions

OT-è, OR=«0; alors l'asymptote coïncide avec l'axe des x;

2^ les expressions

OT=0, OR = i; dans ce cas Taxe des y est une asymptote;

3* les valeurs