PU RÉGULATEUR , EN GÉNÉRAL, DES MACHINES DESTINEES A MESURER LE TEMPS

Le balancier circulaire est généralement employé comme régulateur dans les horloges portatives, ou dans celles qui* sont sujettes à

être changées de place assez fréquemment. L'acier fut le métal qu'on employa d'abord à leur construction ; mais ce métal fut ensuite rejeté, parce qu'on pensa qu'étant attirable par l'aimant, la régularité de la marche de l'horloge pouvait en être altérée. On y substitua le laiton et quelquefois l'or; mais le laiton fut généralement adopté.

Dans toutes les autres horloges fixes , on adopta le pendule pour régulateur. Ici le métal est en quelque sorte indifférent, et la régularité de la marche des horloges dépend en grande partie de la longueur exacte que l'on donne au régulateur.

Dans l'un et dans l'autre cas, les horlogers ont à suivre des règles invariables indiquées par la physique et développées par les sa vans horlogers qui ont écrit sur l'art important dont nous nous occupons. Nous diviserons ce Chapitre en deux paragraphes, dans lesquels nous nous proposons d indiquer ce qu'il est indispensable de connaître.

§ I er . — Du régulateur dans les horloges

portatives.

Ferdinand Berthoud est le premier, et je crois le seul, qui se soit attaché à étudier avec fruit et à décrire avec clarté la solution des divers problêmes nécessaires à atteindre la

Ferfection dans cette partie importante de horlogerie. Ce sera par conséquent ce savant artiste que nous allons prendre pour guide.

I<es premières montres qui furent construis

tes portaient des petits balanciers d'acier trèslégers et sans ressort spiral; aussi marchaientelles d'un mouvement très-irrégulier. Ce fut en 1675 que le célèbre Huyghens imagina le ressort spiral, qu'il appliqua au balancier, et lui fit produire ainsi des vibrations indépendantes de l'échappement; alors on augmenta le diamètre du balancier, et l'on s'aperçut que ses vibration s étaient d'autant plus promptes et moins étendues , que le ressort spiral était plus fort, et qu'au contraire elles étaient plus lentes et plus étendues , que le ressort spiral était plus faible. On conçut dès lors qu'il serait facile d'obtenir une grande justesse dans ces machines , en combinant entre eux les trois élémens qu'on avait sous la main, diamètre et poids du Balancier, force du ressort spiral, afin d'obtenir la plus grande régularité.

Le principe était reconnu , mais l'application n'en était pas aisée , la science n'avait pas encore fait assez de progrès pour donner la solution d'un problême aussi important, et l'on fut long-temps à tâtonner avant d'arriver au but. Sully, Julien le Roy, les deux plus habiles horlogers de la fin et du commencement du dix-huitième siècle, avaient déjà ouvert la voie ; mais il était réservé à l'infatigable et savant Berthoud de porter le flambeau de la science dans une partie essentielle de l'art qu'il exerçait avec tant de perfection. Dans les arts industriels , il ne suffit pas de posséder la science théorique au suprême de-

gré , il faut encore y réunir la pratique, c'està-dire, être artiste, pour pouvoir faire de justes applications de la science. Nous avons* tous les jours des preuves irrécusables de cette Vérité. Berthoud joignait la pratique k la théorie , il n'est donc pas étonnant qu il ait jeté le plus grand jour sur des questions qui jusqu'à lui avaient été irrésolues.

En comparant l'effet du pendule, dont nous* parlerons plus bas, avec le balancier animé par le ressort spiral, il fit ce raisonnement bien simple : « Si l'on fait j dit-il, un balan- » cier auquel une impulsion donnée procure » des oscillations isochrones, et conserve son » mouvement pendant un fort long temps, * on est censé avoir réduit les frottemens et » les résistances dé l'air à la moindre quan- » tité possible, de sorte que ce balancier sera » le meilleur régulateur applicable à une.

» montre : nous allons examiner comment » on peut parvenir à cela. »

Notre cadre ne nous permet pas d'entrer dans tous les détails préparatoires dont il fait précéder la solution de la question principale qui nous occupe. Nous ne pourrions que cc*- s pier tout ce qu'il avance; il sera bien plu»

utile au lecteur intéressé à connaître ces utiles détails , de les lire dans les chapitresxxvn, xxviii, xxx, xxxi et xxxn de YEssaisurFkorr logerie par notre auteur.

Pour arriver de suite à nôtre but, nous po-.

serons, avec Berthoud, quelques principes sur. les forces de mouvement des balanciers.

J>E £ f HORLOGER. 175

h On démontre que- les forcée que tes corps en mouvement emploient à vaincre des obstacles, sont en raison composée de leurs mas* ses, et du carré de leurs vitesses.

» Or comme la force produite dans un corps est égale à l'action qui la cause, il suit de là que la force qui a été employée à procurer un mouvement à un corps est comme le produit de la masse de ce corps par le carré de la vitesse qu'il a acquise. Si nous comparons entre eux deux corps de différentes dimensions, et que nous désignions par des lettres majuscules les parties du grand corps que nous prenons pour exemple, et par des lettres italiques les parties correspondantes du petit corps ; nous indiquerons par À le premier coips ou le premier balancier, par M, sa masse, par Y, sa vitesse, par F, sa* force ; çt de même nous désignerons par a, le second corps ou le second balancier, par m, sa masse, par v, sa vitesse, par^/J sa force ; on aura cette proportion : f\ F : : v* m : V*M; mais comme dans toute proportion géométrique le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, on aura cette équation f V f M = F v % m, qui est générale pour tous les cas qui vont se présenter.

» i tf Si les deux forces sont égales , c'eét-àdire'si Ton suppose que/*— r, on peut les supprimer dans les deux membres de l'équation précédente; car c'est alors diviser les deux membres pair le même nombre, ce qui ne change pas les quotiens. Ainsi , on afcutà

V* M = u» m : ce qui signifie que lorsque les forces de deux balanciers sont égales, les masses multipliées par les carrés de leurs vitesses sont égales. De cette dernière équation on peut en tirer une proportion géométrique, en considérant le premier membre comme le produit des extrêmes, et le second membre comme le produit des moyens ; on aura donc V a : v* : : m : M; c'est-à-dire que lorsque les forces de deux balanciers en mouvement sont égales , les masses sont en raison inverse du carré des vitesses; ou si les masses sont en raison inverse du carré des vitesses , les forces des balanciers sont égales. En effet, par exemple, si la vitesse de A = 1, et celle de a = 2 , le carré de la vitesse de A = 1 , et le carré de la vitesse de a = 4 s si la masse du balancier A = 4 9 ^t celle de a = 1, en mettant ces nombres à la place des lettres de la dernière équation V* M = 1;* m, qui exprime la valeur des forces de chacun des deux balanciers , on aura 1 X 4= 4 X 1 ; parconséquent les deux forces sont égales, puisque 4 = 4* ^ e 9* 1 " prouve évidemment ce que nous avions avancé.

» 2 Si les masses des deux balanciers sont égales , c'est-à-dire s'ils ont le même poids et qu'on ait 7/1 = M , l'équation fondamentale / V a M =Fd' m y devient /Y» = F«», en divisant les deux membres par des quantités égales m = M, d'où l'on tire cette proportion y*: F : 2 v % : Y*; ce qui signifie que si deux balanciers ont des masses égales et sont

mus avec des vitesses inégales, leurs forces sont entre elles comme les carrés de leurs vitesses. Substituons encore une fois les. nombres aux lettres dans la proportion précédente, pour l'intelligence de ceux qui ne sont pas familiarisés avec cette forme de calcul.

Supposons que la vitesse du balancier À, ex-

Ï>rimée par V = i, son carré ou V a = i ; que a vitesse du balancier a, exprimée par 1>=4»

son carré, ou v % = 16; la proportion précédente se transformera en celle-ci; /: F : : 16 : i,xce qui signifie que la force requise pour entretenir le mouvement du balancier a, est à celle requise pour entretenir le mouvement du balancier A, comme 16 est à 1, c'est-àdire que ces forces sont entre elles comme les carrés de leurs vitesses.

» 3° Si les vitesses des deux balanciers sont égales, c'est-à-dire si v = V; la proportion primitive deviendra/* : F : : m : M, et par.

conséquent les forces seront entre elles comme les masses ; par conséquent les actions requises pour entretenir les mouvemens , seront aussi comme les masses ou comme les poids des balanciers.

» 4° En général, si les vitesses et les masses des deux balanciers sont inégales , leurs forces seront entre elles comme le rapport composé du produit des masses par les carrés des vitesses, ce qui est exprimé par la proportion primitive et fondamentale/*: F

» C'est de. ces principes , posés par Ber—

I«j8 BTàNUJSL

fhoud, dont il va se servir pour résoudre tous lés" problêmes relatifs au balancier, et déterminer leurs pesanteurs, leurs diamètres , selon le nombre des vibrations, la force requise pour leur faire parcourir des arcs quelconques., etc.

» Connaissant la masse d'un balancier, sa Vitesse , la force qui le met en mouvement , dans une montre parfaitement construite, long-temps éprouvée, et qui servira de terme de comparaison, on en déduira facilement foutes les conditions requises pour le balancier d'une autre montre, lorsqu'il doit avoir Une masse différente, plus où moins de vitesse, plus ou moins de force pour se mouvoir, etc.

» Pour comparer les vitesses de deux bà-' lanciers , il faut multiplier le nombre de Vibrations pendant un temps donné pat le' diamètre de chaque balancier; lés produite exprimeront les vitesses, en supposant qu'ils décrivent des arcs semblables; mais si cela n'est pas , il faudra faire pour chaque balancier un produit de ces trois choses : i° du nombre de vibrations dans le même temps ; 2° du diamètre ou du rayon du balancier; 3° de l'arc parcouru par le balancier. Des exemples en montreront l'application. *

Berthoud fait observer que les calculs 1 dont' il va s'occuper ne sont relatifs qu'aux échappemens à cylindre, nous ajouterons qu'ils sont relatifs à tous les échappemens à repos ou à vibrations libres, et en général à tous les

DE L HORLOGER. I^g

échappemens qui ne peuvent pas marcher sans ressort spiral. Quant aux montres à roue de rencontre, ces calculs. sont inutiles : tous les ouvriers savent qu'il est facile de proportionner le poids du balancier à la force motrice , quels que soient son diamètre, les arcs qu'il parcourt, etc. Il suffit de faire marcher la montre sans spiral, de manière que l'aiguille des minutes parcoure chaque heure de ja5 à 27 minutes ou qu'elle retarde , par heure, de 33 à 35 minutes. Cependant. Berthoud fait observer que cette quantité de retard doit varier: i° selon les frottemens des pivots; 2. selon la grandeur des balanciers ; .qu'ainsi on. ne peut pas fixer exactement ce, retard, qui doit varier pour chaque montre ; en sorte .que dans ces pièces, auxquelles on voudra porter tous ses soins,. il sera utile dedéterr miner par le même ^calcul, qu'il va indiquer, la pesanteur du balancier, d'après la.çon?naiçsance que l'on ,a de la force du ressort .moteur.

« Pour parvenir exactement, dit Berthoud. , à, proportionner le poids des balanciers do»

montres qui ne marchent pas sans spiral,. à.

la force motrice, j'ai commence par construire un instrument, au moyen duquel je puis déterminer avec la plus grande précision la force .que le grand ressort communique au.rouage.

JÉn .plaçapt.cet iustruuient sur .le carré déjà fusée, de la mime manière.qu'unjetier à égahser, tes fusées, qji estimera la * force du ressort par le degré de j la- branche où le poids

l8b MANUEL

s'arrête pour faire équilibre avec le ressort : c'est eu comparant la force du moteur avec celui d'une montre donnée que nous déterminerons le poids des' balanciers , etc. » On trouvera la description de cet instrument dans le Chapitre des outils qui terminera cet ouvrage.

« Pour trouver les dimensions d'une montre que Von veut composer, il faut se servir, pour terme de comparaison, d'une bonne montre disposée le plus avantageusement possible, et qui soit tellement exécutée, que les frottemens soient réduits à la moindre quantité; en sorte que la force motrice ait la relation requise avec le régulateur, pour que la montre aille le plus juste qu'il est possible. Gela étant , on mesurera le diamètre du balancier, son poids; on comptera le nombre de vibrations qu'il fait par heure, l'étendue de ses vibrations ; on mesurera la force du grand ressort au moyen de l'instrument dont nous venons de parler , et enfin on comptera le temps que met la fusée , ou l'arbre de barillet lorsqu'il n'y a pas de fusée , à faire une révolution.

» J'ai préféré de partir d'après une montre faite exprès et exécutée avec tous les soins * et les perfections dont je suis capable , pour déterminer les dimensions d'une autre différemment composée , par deux raisons , ajoute Berthoud: i° c'est que le calcul en devient plus facile et plus à la portée des ouvriers; a° c'est que les dimensions en sont plus exao-

de l'horloger. i8r

tes qu'on ne pourrait les trouver par le seul cakul; car on ne connaît pas assez les effets des frottemens , pour que la force motrice d'une montre étant donnée , ainsi que le diamètre du balancier, on puisse déterminer exactement son poids, ainsi que les arcs qu'il doit parcourir ; au lieu qu'en comparant avec une montre déjà faite, toutes ces données y entrent, et les dimensions que l'on trouve pour la chose cherchée sont plus précises.

Problême i*\

<« Les dimensions d'une montre de comparaison À , étant données, trouver quelle ooit être la pesanteur ou la masse d'un balancier d'une autre montre a, de laquelle on connaît le diamètre du balancier, et le nombre de vibrations. »

Le calcul décimal étant plus facile à exé-* cuter que celui qui présente des fractions absolues, nous avons transformé les données de Berthoud en fractions décimales.

« Dans la solution du problême dont nous nous occupons , on suppose que dans la montre 0/ l'étendue des arcs et la force motrice sont de même grandeur que ceux de la montre de comparaison A , et l'on demande qu'il y ait même rapport de la force motrice de la montre a, avec son régulateur, qu'il y a entre la force motrice de la montre À , avec son régulateur. »

Yoici les dimensions de la montre de comparaison A, qui est à cylindre comme celle

qu'on veut exécuter. Nous avons placé en regard , sur la même ligne , toutes les données de la montre a. Nous avons mis devant chaque article les lettres qui correspondent à la formule générale pour la facilité de l'opération.

Montre de comparaison À.

M. Poids ou masse du balancier grains. 6,25

v ( Diamètre du balancier lig. 8,5o

* ( yibrations par seconde 5

Etendue des arcs de vibration. .degrés 24°

Fusée en 5 heures, tour 1

F. Ressort moteur fait équilibre à 4 pouces du centre de la fusée à. ...... .. gros 5^5

Montre à exécuter a,

m. Poids ou masse du balancier grains x

{Diamètre du balancier lig. 10,28 Vibrations par seconde 2

Etendue des arcs de vibration degrés 240

Fusée en 5 heures tour 1

f* Ressort moteur fait équilibre à 4 pouces du centre de la fusée à gros 5,75

Puisque les forces des ressorts sont supposées égaies , nous avons à résoudre la seconde proportion V a 2 v % :: m : M; mais m étant l'inconnue que nous cherchons, cette pro-

DE l/ HORLOGER. l83

portion devient V* : v* :i x : M, qui noua

*V a X M donne l'équation à résoudre x ;=

Pour avoir en chiffre» la vitesse du balan-*. cier A, il faut multiplier 8,5o qui exprime le diamètre du balancier par 5 vibrations qu'il fait par seconde, ce qui donne 42,60. Multipliant ce nombre par lui-même afin de l'élever au carré , on aura i8o6,25 pour la valeur de V\

De même pour avoir la valeur de v 9 il faut

multiplier io,i5 par 2 vibrations par seconde,

ce qui donne 20,5o , dont le carré est de

/l2o,5o= v'.En substituant aux lettres, dans

réquation précédente , les nombres que nous

venons de trouver, cette équation devien-

dra x = 4 — -p — - — , équation qu'il suffit

de résoudre par les simples règles de l'arithmétique en multipliant i8o6,a5 par 6,25, et divisant le produit par i20,5o. Le quotient donnera en grains le poids du balancier.

Problâne 2 e .

Si les forces des ressorts n'étaient point égales , alors il faudrait faire entrer cette donnée dans le calcul , et l'on aurait à exécuter l'équation fondamentale ou la proportion qui nous Fa fournie y*: F : : v* m : V* M, dans laquelle on voit que les forces que nous avons négligées,puisque nous les avions supposées égales, deviennent ici un des élémens du

l84 MAlfUEL

calcul, qui s'exécute de la même manière que nous l'avons indiqué pour la solution du premier problême.

Problême 3*.

Dans les deux problêmes précédens nous avons supposé que les deux fusées ou les arbres, de barillet , lorsqu'il n'y a pas de fusée, font chacune un tour. en cinq heures ; mais si la montre à construire devait faire plus ou moins de tours que la montre de comparaison , il faudrait alors , afin de pouvoir comf parer les forces motrices entre elles, les réduire à une même unité , c'est-^-dire à la force qui serait nécessaire pour faire marcher la fusée qui va le plus lentement Ainsi, supposons que la montre a, fût une montre à huit jours , dont la fusée fît son tour en 40 heures , la montre A, l'achevant en 5 heures, on ferait cette proportion : 5 heures exigent 5 gros 75 de force , combien 40 heures exigeronti-ellès de force , et par conséquent 5 : 5,75 : : 40 : x. En exécutant on trouvera que le ressort de la montre a, doit avoir une force de 46 gros placés à 4 pouces du centre de la fusée, et ce nouvel élément serait ajouté à la proportion, qui ne présenterait plus aucune difficulté.

Observation générale.

Ceux des lecteurs qui ont l'habitude du calcul s'apercevront qu il est facile de ce servir de la proportion générale ou de chacune «disproportions que l'auteur en a déduites

de l'horloger. l85

pour trouver l'un des élémens inconnu», les autres ayant été donnés. En voici un exemple. Supposons les mêmes données que nous avons fournies en y comprenant la valeur de m y que nous avons trouvée par le calcul, et qu'on voulût savoir quel est le diamètre qu'on doit' donner au balancier de la montre 4.

Nous nous servirons de la seconde proportion V* : v* : : m: M. Notre inconnue se trouve dans le terme V, puisque c'est le diamètre du balancier, engagé par voie de multiplication, avec le nombre qui exprime les vibrations qu'il fait par seconde , et ensuite le produit élevé au carré : il faut donc faire l'inverse de ce qu'on a fait pour trouver la valeur de v*. L'on aura donc cette équation v* ou

x* = •Z—r ^— — .En exécutant on trou-

ve x* = 620,28; mais ce nombre est le carré de x ; il faut donc en extraire la racine, carrée, que l'on trouve être 24,90, Ce dernier nombre est le produit d'une multiplication dont l'un des facteurs est le diamètre du balancier qu'on cherche, et l'autre facteur est 2 par seconde. En divisant 2^90 par 2, on a 12,4^ pour le diamètre du balancier cherché, qui diffère un peu de io,33 que Berthoud avait supposé.

Notre savant auteur s'aperçut après coup de cette différence , et il exécuta avec encore plus de soin une montre de comparaison A, dont il donna les élémens, qu'il suffira de faire connaître , et qui ne changent rien ni aux prin-

l80 MANUEL

cipes, ni à la forme des calculs déjà donnée Voici ces élémens.

Montre de comparaison A.

M. Poidsou masse du balancier grains. 19,75

a ( Diamètre du balancier lig. io,5o

" \ Vibration par seconde a

Etendue des arcs de vibration degrés 240

Fusée en 4 Heures | fait tour 1

F. Ressort moteur, fait équilibre à 4 pouces du centre de la fusée à. ....... . gros 3

En substituant ces données aux calculs précédent, on trouvera les résultats beaucoup plus justes d'après les expériences multipliées de Berthoud.

Les horlogers ont généralement adopté pour le diamètre du balancier, la même dimension du'diamètre du barillet. Il paraît que c'est d'après Bréguet qu'ils se sont décidés, et c'est à peu près ce qu'avait adopté Berthoud d'après le calcul.

§ II. — Du pendule, ou régulateur des horloges

fixes*

Sans nous arrêter ici à la partie théorique du pendule simple , nous nous bornerons à en donner la définition. On désigne sous le nom de pendule simple un corps lourd , qu'on suppose sphérique, dont la pesanteur est réunie à sou centre de gravité , par conséquent, dans

nette supposition, à son centre de figure; ce corps suspendu à un fil supposé sans pesanteur, peut se mouvoir en décrivant des arcs de cercle, dans un plan vertical qui passe par le point de suspension.

Ce fut Galilée qui conçut le premier l'ingénieuse idée de mesurer le temps par les os* dilations du pendule; mais c'est à Huyghens qu'on doit l'admirable application du pendule aux horloges afin aobtenir la régularité de ces mouvemens. H imagina les moyens de le faire servir de modérateur aux rouages des machines à mesurer le temps ; voici succinctement le précis des lois du pendule :

u On démontre i° que des pendules qui décrivent des arcs quelconques, achèvent leurs vibrations dans des temps qui sont entre eux comme les racines carrées des longueurs des pendules ;

» 2 Que les longueurs des pendules sont entre elles comme les carpes des temps des vibrations dans chacun. Or, plus un pendule est long, plus il reste de temps à faire ses vibrations ; en sorte que si les longueurs de deux pendules sont entre elles comme 4 et 1 , les temps des vibrations seront entre eux comme 2, racine carrée de 4» et i, racine carrée de 1 , de ces longueurs. 11 suit de là que, tandis que le pendule 4 f era une vibration , le pendule 1 en fera deux. Il suit encore de là que, si ces pendules battent pendant le même temps, les nombres des vibrations seront entre eux comme x est à 2 , c'est-à-dire

l88 MANUEL

réciproquement comme les racines cassées des longueurs. »

D'après ces principes , pour la commodité des artistes et afin de leur éviter des calculs que la plupart d'entre eux auraient été incapables de faire, on a cherché à former des tables qui leur indiquent soit la longueur que doit avoir un pendule pour battre dans une heure le nombre de vibrations déterminées par la composition du rouage , soit réciproquement pour connaître le nombre de vibrations que doit/aire battre le rouage, d'après la longueur donnée du pendule.

Pour arriver à la formation de ces tables , il fallait d'abord fixer la longueur du pendule qui bat les secondes, cest-à-dire qui fait 3,6oo vibrations par heure. Le célèbre Huyghens l'avait fixée à 3 pieds 8 Lignes 5o centièmes de ligne du pied de roi. Les académiciens de Mairan et Bouguer, par des expériences exactes et souvent répétées, trouvèrent que la longueur du pendule simple qui bat les secondes à Paris, doit être de 3 pieds 8 lignes 5y centièmes de ligne du pied de roi, c'est-à-dire de 7 centièmes de ligne plus long que la détermination de Huyghens, différence importante quoique très-petite.

Lors de l'établissement du système métrique en France, la commission des aavans géomètres qui fut chargée de ce travail, voulut vérifier les calculs précédens par lesquels un avait déterminé la longueur du pendule

DE l/ HORLOGER. 189

simple battant les secondes à Paris, et s'aperçut qu'il s'était glissé une' erreur dans cette appréciation. La justesse des instrumens, et les perfections qui s'étaient introduites dans les calculs depuis le travail des académiciens, en 1735, leur donna la facilité de rectifier ces opérations, et ils fixèrent la longueur du pendule simple , pour qu'il batte les secondes à Paris, à 3 pieds 8 lignes 55g millièmes de ligne, ce qui présente une différence de 5gmillièmes en plus sur Huyghens, et de 1 1 millièmes de ligne en moins sur les académiciens ; différence très-minime, mais importante pour la science.

Il est bon de rappeler ici que la longueur du pendule qui bat les secondes n'est pas la même, i° pour tous les pays ; il est plus long sous le pôle, et plus court sous l'équateur.

C'est à M. Richer que l'on doit cette observation. C'est à la force centrifuge qui anime le globe terrestre dans sa rotation diurne ,

Su'est due cette variation pour chaque degré e latitude. 2° Pour tous les lieux qui s'élèvent au-dessus du niveau des mers ; car la Ï>esanteur décroît dans tous les lieux qui s'éoignent du centre du globe, où s'exerce l'attraction. Nous sortirions de notre cadre si nous cherchions à donner ici les raisons théoriques de ces vérités ; elles .ont été très-bien développées au mot Pendule du Dictionnaire technologique , tome XVI , par M. Francœur.

Nous engageons le lecteur désireux d'appro-r fondir cette matière, à lire cet excellent article.

La table qui va suivre a été donnée par M. Francœur dans le même volume du Dictionnaire technologique , page 56. Nous la transcrivons de préférence à toutes les autres, parce qu'elle porte les dernières rectifications, et que nous sommes assuré de l'exactitude des calculs de ce savant mathématicien.

Table de la longueur cFun pendule faisant un nombre donné a" oscillations par heure moyenne, dans le vide, et suivant un arc infiniment petit.