CHAPITRE PREMIER. - FORMULES DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

g.\ au contraire, en approchant des appuis, vers ab et cd, il y a extension des libres supérieures et compression des fibres inférieures.

Ainsi, lorsqu'on suit une fibre, telle que bb'e, on trouve d'abord une tensioï. en 6, cette tension va en diminuant et se change en compression, la compression

.a en (e); il y a un élément de la fibre où l'on passe de Fertension à lu compression, cet élément V n'est donc soumis à aucun effort. A ce point de passage correspond un changement dans la courbure des fibres; defcen b', l'extensioc entraîne la forme convexe, et de [b') en (e) la compression entraine la forme concave. Pour la fibre inférieure aa'g, l'effet inverse se produit.

L'axe neutre, que nous admettons toujours être en coïncidence avec la fibre axiale, est donc une courbe mm'/" qui présente un point d'inflexion en m'.

Dans les seclions (a'b 1 ) et (c'd'), il ne s'exerce aucun effort ds tension ou de compression. Ceci nous amène à supposer que la poutre est sciée suivant ces sections neutres, et divisée en trois parties :

l D La partie médiane a'b'c'd', qui résiste comme une poutre simple posée sur deux appuis.

2° Les deux parties latérales a'b'ab, c'd'cd, qui résistent comme dei poutres encastrées à une extrémité ai et libres à l'autre extrémité cd.

Nous savons calculer la résistance de chacune de ces parties ; mais, il faudrait avant tout connaître leurs longueurs respectives, afin de déterminer la position des sections noutres.

Celte détermination ne peu! se faire qu'en recourant à la théorie de la déformalion que nous avons volontairement laissée de côté.

Voici le résultat qu'elle indique : les seclions neutres sont sensiblement situées au quart de la longueur totale de la poulre. On trouve et effet que la distance

fui est. comprise entre -~ et-/, ou entre 0,500. mf et 0,5"7 mf. * \l%

Nous serons donc assurés d'une approximation bien suffisante dans la pratique, si nous admettons que les sections neutres a'V , cd 1 sont au quart de la Ion-' gueur de la pièce à partir de chaque extrémité.

La pièce supportant un poids P placé en son milieu, sa résistance se calculera comme il suit ;

i" Pour la partie médiane, a'b'c'd', nous avons à appliquer les résullats relatifs 6 une poutre reposant sur deux appuis, de longueur -■ et chargée en son milieu d'un poids P;

La plus grande tension fi a lieu dans la section centrale {ta) et sa valeur est

fournie par l'équation

m 2RI - pl

2° Pour les parties extrêmes, telles que ab a'V, il faut les considérer comme

des pièces encastrées en ab et soumises en (a'V) à un effort égal à -, la plus

grande tension R a lieu dans la section extrême (ab) et a encore pour valeur, celle qu'on déduit de l'équation

SRI ^ PJ

La seule différence est que le moment des forces extérieures a changé de signe ; sa valeur absolue est restée la même.

Ce résultat nous apprend qu'une poutre absolument encastrée à chaque extrémité est capable de résister, sans plus de fatigue, à un poids double de celui qu'elle supporte lorsqu'elle est simplement posée sur deux appuis.

C'est un principe général bien facile à retenir.

L'encastrement s'obtient dans la pratique soit en boulonnant les abouts de la pièce sur les supports A et B, soit en surchargeant ces abouts au moyen de poids assez puissants pour empêcher tout mouvement de bascule.

Si Ton se proposait de trouver une forme d'égale résistance pour une poutre encastrée à ses deux extrémités, il n'y aurait qu'à combiner ensemble les formes d'égale résistance calculées pour les pièces encastrées seulement à un bout et pour les pièces reposant simplement sur d< ux appuis.

Cisaillement. — En combinant les deux formes d' égale résistance, nous obtenons des sections nulles à l'emplacement des sections neutres a'V et c'd', ce qui est évidemment absurde dans la pratique.

Ce résultat vient de ce que nous avons tenu compte seulement de la résistance à la flexion : en général, c'est elle qui donne les efforts les plus considérables, et, du moment qu'une pièce est assez forte pour résister à la flexion, elle est d'ordinaire beaucoup plus forte qu'il ne faut pour résister au cisaillement.

Cependant, le phénomène du cisaillement ne doit jamais être perdu de vue, notamment dans les pièces d'égale résistance.

Ainsi, une pièce, reposant simplement sur deux appuis et chargée d'un poids

P en son milieu, est soumise à ses extrémités à des efforts de cisaillement

égaux à 5 ; il faut donc que la section transversale en cet endroit soit calculée

de manière à ne point se couper sous cet effort.

De même, pour la pièce encastrée dont nous nous occupions tout à l'heure,

il existe dans les sections neutres a'V et c'd' des efforts de cisaillement

p égaux à 5 ; les sections neutres ne sauraient donc être nulles, et elles doivent

être au moins assez fortes pour ne pas se couper sous cet effort de cisaillement.

Résistance des pièces soumises a des charges uniformément répartie»

sur toute ieur longueur. — Nous venons d'étudier la résistance des pièces soumises à une charge unique P, placée de manière à produire la plus grande tension possible. iNous allons reprendre rapidement les calculs en supposant les pièces soumises à des charges uniformément réparties et d'une valeur égale à p