CHAPITRE PREMIER. — FORMULES DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

ont trouvé la relation qui lie entre eux les moments fléchissants, s'exerçant sur trois appuis consécutifs ; cette relation est la base fondamentale du calcul des poutres à plusieurs travées.

On commence par supposer la poutre de section constante, et on s'en donne le poids approximatif; d'autre part, la surcharge est connue. Cela permet de calculer en cliaque point le moment fléchissant maximum, et d'en déduire la quantité de matière qui doit entrer dans la section. On opère donc par ce qu'on appelle une règle de fausse position ; régulièrement, on devrait recommencer le calcul avec les dimensions nouvelles qui varient dune section à l'autre, on trouverait de nouvelles dimensions plus' approchées avec lesquelles on se livrerait à un nouveau calcul, et ainsi de suite jusqu'à ce que deux résultats successifs diffèrent peu l'un de l'autre.

Ce procédé pénible n'est pas en usage, on se contente du premier essai, et l'on adopte les dimensions déduites de l'hypothèse d'une section constante.

Au point de vue mathématique, on ne saurait avoir une grande confiance dans une pareille méthode, et il est bien désirable que l'on trouve un jour quelque chose de plus exact.

Hais, au point de vue pratique il n'en est plus de même : € les poutres calculées par cette méthode, dit M. Bresse, se comportent convenablement et résistent bien aux épreuves qu'on leur impose, le fait est constaté par de nombreuses expériences ; donc la méthode de calcul n'est pas mauvaise. »

L'ouvrage le plus complet sur la matière est celui de M. Bresse, qui a donné le moyen de calculer une poutre d'un nombre quelconque de travées, les travées ayant une longueur quelconque. Nous engageons le lecteur qui voudrait épuiser la question à recourir à cet ouvrage.

M. Colignon, dans sa théorie élémentaire des poutres droites, a traité le problème d'une manière plus simple.

Nous tâcherons de le réduire au strict nécessaire, en nous servant des travaux de ces deux ingénieurs.

Théorème do Bertot et Clapejron. — Soit, fig 2, pi. I, trois points d'appui

consécutifs A, B, C, d'une poutre à plusieurs travées. Appelons XX A Xj les moments fléchissants sur chacun de ces trois appuis, / et V les longueurs des travées, p et p' les charges uniformes par mètre courant auxquelles ces travées sont soumises, R la réaction verticale que l'appui A transmet à la travée AB.

En une section M de cette travée, le moment total des forces extérieures qui s'exercent à gauche de cette section comprend trois moments élémentaires :

1° Le moment inconnu X, positif ou négatif,

2° Le moment R# de la réaction de l'appui,

5° Le moment de la surcharge uniforme ( — * px % ] de signe contraire

précédent.

De sorte que l'équation de la déformation démontrée précédemment peu; s écrire :

Intégrons cette équation, elle devient :

au

58 PONTS ET YIADCCS.

Pour déterminer la constante arbitraire, appelons» ? Sangle que fait avec l'toitzon la Jibre aaeutae déformée .au point A:; >la {tangente tougonométrique de <«t

angle est égale à la valeur de -^ qui correspond à 4: =D, donc la constante est

igaleà

El tang?,

et Tequation peut s'écrire

Intégrons-la une seconde fois, elle donne :

(2) W (y - * tang f ) = X J 4- R ^ - ^^

11 y aurait tien une constante arbitraire à ajouter au second membre, mais cette constante est nulle puisque y devient nul f pour,a: = 0.

Lorsque le point variable M arrive en B, la somme les moments .des ibrxes extérieures situées à.gauche delà section devient

etieUe somme est .évidemment équivalente au «moment X i , d'<wà TêguaUrci

(3) *rfrf+Tll — 11*.

Dans réquation^eianifmt^r^i^fon devra faire«nimênie temps ttf:=H),iét il en résultera l'équation nouvelle :

M Btftang?=ï J -un %—%pl A -

'Entre les équations (S) (4), éliminons la réadlion R que nous tirerons par exemple de l'équation (3), eïïectuons les simplifications de calcul et nous arrivons à la relation :

(5) X 4 =— 2X — -j-vmg ? — fpP.

/Appliquons ila [formule (5) "à la IravéeBC enirempbçaîitjXtjper 3L t ,K'pflr!X 1 , I par /', p parp' et y par y', anglede 1 horizon avec la fibre neutre déformée en B, il viendra :

(6) X,=- 2X t - ^ tang f-\fV*.

Mais en revenant en sens inverse nous pouvons appliquer cette même formule (6) à la travée AB en remplaçant X, par X, /' par / et //.par p, et, remarquant que la courbe affectée par la fibre neutre se poursuit d'une manière continue sans rebroussement sur les appuis, nous devrons prendre pour nouvelle valeur de /l'angle opposé au sommet, ^'eit-à-dire^-^'/c'esWà-dire remplacer tang j'