CHAPITRE PREMIER. — FORMULES DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

par — tang /, de sorte que l'équation (6) transformée s'écrira ;

(7) X — n f + ^îtang/-ji>P.

Multipliant maintenant l'équation (6) par ï et l'équation (7) par J, et ajoutait nous voyons que •' s'élimine et qu'il nous reste :•

(8) XH-SX^J + n + Xa/' + jpP-h j^ /S =0

C'est la relation entre les moments fléchissants sur trois points d'appui consé cutifs, découverte par Bertot et Clïypeyron.

Calcul des moment» rar les points d'appui successifs. — Soit une

poutre à (m) travées, elle comporte (m-t-i) appuis que nous désignerons par les lettres

Les longueurs Détectives des travées sont et les poids uniformément impartis sur chaque travée sont

PiPf • • « PS-

Les moments successifs sur les points d'appui sont

XqX| Xm;

mais le premier et le dernier X et X m eont nuls, puisque les bouts de la poutre sont simplement posés sur les culées sans aucun encastrement.

Pour déterminer les (m — 1) moments fléchissants inconnus, nous auJ$n* donc (m — 1) équations :

X»-*/s-i + 2Xm-i(/»i-i-h/m). • • = — j p»-i/*j»-i — rpmPm= — K*.

C'est un système de (m — 4) équations du premier degré, que. Ton pourra, s l'on veut, résoudre directement si le nombre m est très-faible. Mais, dès flU£ (m) prend une valeur notable, la résolution du système devient tCQWpJiflufce,, et .0 faut recourir à la méthode de Bezout. ;

Elle consiste, comme on^ait„ à multiplier -chaque -équation par un coefficient indéterminé, à faire la somme de toutes les équations ainsi modifiées, et, dans l'équation (finale migaieà réro les coefficient! 4e tontes lesancoiuuies à l'exception d'une seule.

Ces coefficients égalés i aéco donnent un nouveau système d'équations généra-

lement plus facile à résoudre que le premier. De ce second système, on tire les valeurs des coefficients que Ton porte dans l'équation générale d'où on tire une des inconnues.

Appliquons cette méthode au cas actuel, et multiplions la dernière équation par 1, l'avant-dernière par a ft , la suivante par «, et la première par a m t ; ajoutons membre à membre les équations ainsi obtenues, nous obtiendrons une équation finale, qui nous permettra de déterminer successivement toutes les valeurs de X.

Par exemple pour déterminer X, nous poserons :

«W-! *i + 2a«-3 (/* + / 5 ) + **-» h = a»-5 /» + 2am-4 (/ 5 ■+- **) *+" ««-» ** =

<>* Jm-i+2a 4 (/■-!+ fo-i) + /m-i =

« ft I»-i + 2(Ja-i + 4» =0

Ce système d'équation du premier degré se résout immédiatement; de la dernière équation on tire a ft que l'on porte dans la précédente qui donne a, et ainsi de suite indéfiniment.

Portant les valeurs de a dans l'équation en X ft on aura la valeur de ce moment, et au moyen du groupe (1) on trouvera successivement X, X 5 etc.

Pour compléter le groupe (2), on peut déterminer un coefficient «„! par l'équation

et alors la valeur de X 1 se mettra sous la forme simple

• Kg «»—t •+• K 5 am-s . . . -+- Km— 1 «| + K m

^ "" ow-i /|

Nous connaissons donc tous les moments fléchissants sur les appuis. Reste à déterminer les moments fléchissants en tous les points d'une travée quelconque.

moments fléchissants dans une travée. — Déterminer les moments fléchissants en un point quelconque d'une travée A, k H+i figure 3, planche I.

Soit une section quelconque M située à une distance x de l'origine, le moment fléchissant X dans cette section est équivalent à la somme des moments fléchissants de toutes les forces extérieures comprises à gauche de cette section par exemple. Or, on peut supposer la poutre sciée en A„ pourvu qu'on applique en ce point le moment X„ et une certaine réaction R„ de l'appui sur la travée A, A jrK . Le moment fléchissant X est donc égal à

et lorsque le point H atteint l'appui A^, c'est-à-dire lorsque x=l n + l > l'équation précédente devient :

Entre les équations (1) et (2) éliminons R„ nous trouvons pour X la valeur