CHAPITRE PREMIER. — FORMUUÎS DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

Par une opération géométrique des plus simples consistant à ajouter ou à retrancher deux longueurs, on construira donc immédiatement le moment maximum total en chaque point, et, comme l'intensité des efforts qui résultent de l'action d'un moment fléchissant sur une section de la poutre est indépendante du signe de ce moment, on peut se dispenser de tenir compte du signe du moment maximum total ; on le prend seulement en valeur absolue ; en chaque point de Taxe horizontal on élève une ordonnée mesurant ce moment et on construit ainsi la courbe de la figure 5 S .

Il y a donc un choix à faire entre les deux sommes (X -h X') et (X -f- X") et cela entraîne un certain tâtonnement : l'indécision cesse, grâce à une remarque présentée par M. Bresse ;

i La limite en valeur absolue des moments de flexion, poar un point quelconque de la poutre, est égale à la somme des valeurs absolues que prennent en ce point : 1° le moment de flexion X produit par la charge permanente, 2 e celai des deux moments limites X', X", dont le signe est le même que celui du moment X. »

Cette proposition se démontre comme il suit :

En un point de la poutre, la surcharge d'un certain nombre de travées produit des moments positifs, et la surcharge de toutes les autres travées produit des moments négatifs. L'une de ces surcharges est complémentaire de l'autre, c'està-dire que, si on les suppose coexistantes, toutes les travées se trouvent surchargées simultanément. Cela est évident.

Le moment fléchissant produit par la surcharge générale, est 1* somme algébrique des moments fléchissants produits par deux surcharges complémentaires.

D'un autre côté, tous les moments fléchissants varient proportionnellement k la valeur/) de la charge ou surcharge uniforme par mètre courant.

D'après cela, désignons par p la charge permanente et par p' la surcharge ; la somme X' -+-X" des moments dûs à deux combinaisons complémentaires de surcharge sera égale au moment X dû à la charge permanente, pourvu que l'on

p r multiplie ce moment par le rapport -. D'où la relation :

Ainsi, la connaissance de la courbe de la figure 5 se déduirait immédiatement de la connaissance des deux courbes de la figure 5 t en. multipliant la

somme algébrique de leurs deux ordonnées par le rapport-,. Ou, d'une manière

générale, l'une quelconque des trois courbes peut se déduire de la connaissance des deux autres ; dans la pratique, il vaut mieux les construire toutes les trots directement et se servir de la relation précédente pour procéder à des vérifications.

Quant à la courbe (figure 5 S ) du moment maximum total, elle s'obtient, comme nous l'avons vu en prenant en chaque point comme ordonnée la plus grande des deux sommes (X+X')(X-+-X*).

Hais de la relation (1) on déduit :

La somme X' -t- X" prend le signe de X' ou celui de X", suivant que le premier de ces moments l'emporte sur l'autre en valeur absolue ou lui est inférieur. Donc siX' dépasse X" abstraction faite du signe, X+X' l'emportera de même sur X-f-X", car dans la somme (2) les deux termes ont même signe et sont l'un égal l'autre supérieur aux deux termes de la somme (3), lesquels sont en outre de signes contraires.

Le même raisonnement montre que, si X" dépasse X' en valeur absolue, X •+- X" l'empo rtera sur X -h X'.

Donc, la proposition que nous avons énoncée se trouve démontrée.

Ainsi la construction de la courbe du moment total est bien facile : prenons par exemple la première travée :

Depuis zéro jusqu'à 29 m ,8 (figure 5), le moment fléchissant de la charge permanente est positif, il faudra donc ajouter les ordonnées qui le représentent à celles de la courbe supérieure de la figure 5 S ; depuis 29 m ,8 jusqu'à 40 mètres, c'est-à-dire sur tout le reste de la travée, le moment fléchissant de la charge permanente est négatif, il faudra donc ajouter les ordonnées qui le représentent à celles de la courbe inférieure de la figure 5,.

On opérera de même pour les autres travées ; c'est aux points où la courbe de la charge permanente rencontre l'axe horizontal que correspondent les points de rebroussement que Ton remarque dans la courbe du moment fléchissant total, figure 5 5 .

Distribution des tôles. — La courbe de la figure 5, , donnant en chaque point le moment maximum total, est très-commode pour arrêter la distribution des tôles, ainsi que nous l'avons déjà fait pour une poutre à une seule travée.

11 est admis que, pour une bonne répartition du métal, la hauteur d'une poutre doit être comprise entre -^ et -^ de sa portée.

Dans l'exemple que nous avons choisi, nous pouvons donc prendre une poutre de 4 mètres de hauteur (figure 5 4 ). .

Cette poutre, composée en double T, aura une âme en treillis métallique,

120.120 qu'embrasseront en haut et en bas deux cornières de " .\ " (cette notation indique des cornières dont une branche a œ ,12, l'autre œ ,12 et dont l'épaisseur est m ,01). Sur les deux cornières accolées sont rivées des feuilles de tôle horizontales de m ,40 de largeur et de m ,012 d'épaisseur; le nombre des feuilles de tôle qu'on superpose est variable suivant le moment total qui s'exerce dans chaque section de la poutre.

Il s'agit de calculer le moment d'inertie des diverses portions d'une poutre ainsi composée :

D'abord, on ne tient pas compte de la résistance de l'âme, que l'on considère x>mme destinée surtout à empêcher le flambage de la poutre c'est-à-dire le rapprochement des semelles, haute et basse.

Pour compenser cette erreur, on admet d'ordinaire que la section tout entier* 5 des cornières est située à une distance de l'axe neutre égale à la moitié de la hauteur de la poutre.

Ici la surface de la section d'une cornière est de 0,0023

Et la surface des quatre cornières 0,0092

Leur moment d'inertie est égal à cette surface* multipliée par ( - J ou à 0,0368,

La surlace d'une feuille de tôle de 0*,40 sur 0",012 est de 0,0048

El pour deux feuilles symétriques 0,0096

Le moment d'inertie de ce couple de deux feuilles est donc. • • . 0,0384

ClIAPITRE PREMIER. — FORMULES DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX. 5c

Admettant que le fer travaille à 6 kilogrammes par millimètre carré et prenant la formule connue

dans laquelle on fait

RssO.lO*, 5=2-,

et I égal au moment d'inertie des 4 cornières ou d'une double feuille de tôle, on trouve que les quatre cornières sont capables d'équilibrer par leur résistance moléculaire un moment fléchissant de 110400, et qu'une double feuille de IôIp est capable d'équilibrer un moment de 115200.

Sur la figure 5 5 prenons à l'échelle une ordonnée égale à 110400, et prolongeons la successivement de longueurs égales à 115200 jusqu'à ce que nous ayons dépassé le plus haut sommet de la courbe. Menons les horizontales aux extrémités de ces ordonnées successives ; nous trouvons qu'il faut sept feuilles de tôle à la semelle; il en faudrait même huit parce que le plus haut sommet de la courbe dépasse un peu la septième feuille, mais on peut se contenter de sept, parce que le plus haut sommet est à l'aplomb d'une pile, c'est-à-dire en un endroit où l'on doit remplacer l'âme en treillis par une âme pleine.

Si l'on faisait régner les cornières et les sept feuilles sur toute la longueur de la poutre, on serait bien assuré de la résistance ; mais en beaucoup d'endroits on aurait un excédant de métal. Il suffit pour la sécurité que le moment de la résistance moléculaire de la tôle en chaque point soit un peu supérieur au moment total que les forces extérieures sont susceptibles de produire.

Ce qui revient à dire que, théoriquement, le diagramme des moments fléchissants qu'on peut demander au métal, doit envelopper la courbe du moment total en s'en rapprochant le plus possible.

On pou» ra donc interrompre une ou plusieurs feuilles de tôle là où leur présence n'est pas nécessaire et on réalisera de la sorte une économie notable.

L'aspect seul de la figure 5 3 fait nettement comprendre cette méthode :

Les quatres cornières régnent nécessairement sur toute la longueur,

La première feuille de tôle règne aussi sur toute la longueur,

La deuxième feuille est interrompue par des intervalles vides de 2 et de 3 mètres (dans la pratique on ne les ménagerait sans doute pas).

La troisième feuille est interrompue par des intervalles vides de 5 et 6 mètres.

La quatrième par des intervalles de 7, de 10 et 11 mètres.

La cinquième feuille ne règne plus que sur 10 mètres de largeur à l'aplomb des trois piles, la sixième feuille sur 7 mètres, et la septième feuille sur 5 mètres seulement.

Nous ne donnons qu'un exemple théorique ; dans la pratique, le nombre des feuilles de tôle serait trop élevé ; on le réduirait en portant la hauteur de la poutre à 5 mètres, en augmentant un peu les dimensions des cornières et portant la largeur des semelles à m ,50.

Nous espérons que le lecteur, en suivant exactement la méthode que noub venons d'exposer en quelques pages, pourra calculer assez rapidement les dimensions d'une poulre à un nombre quelconque de travées solidaires.

Poutre à deux travées solidaires. La poutre à deux travées solidaires se rencontre assez fréquemment dans la pratique. Les formules se simplifient, et l'équation de fierlot et Glapeyroii ne renferme plus que le moment fléchissant

sur la pile, puisque les moments fléchissants sur les culées sont nuls. Le lecteur traitera facilement ce cas simple en suivant la marche générale; nous rengageons du reste à s'exercer sur quelques exemples : il verra que le problème, en apparence compliqué, peut être assez rapidement résolu en combinant, comme nous l'avons fait, le calcul et le procédé graphique.

Effort tranchant Dans l'exemple que nous avons donné, nous ne nous sommet pas occupé de l'effort tranchant. Cet elfort, variable d'une section à l'autre, ne dépasse pas les £ du poids total d'une travée, c'est-à-dire qu'il ne dépasse pas (f 50.4000)= 125000 kilogrammes.

Or la section des quatre cornières et de la première feuille de tôle, qui régnent sur toute la longueur, est de 18800 millimètres carrés; chaque millimètre carré peut travailler à 6 kilogrammes. C'est donc déjà une résistance de 112800 kilogrammes; la section de l'âme fournira bien au delà du complément. ,

Ainsi que nous l'avons dit après M* Bresse, la considération de l'effort tranchant est secondaire, et la nécessité de s'opposer au Aambage des poutres force à donner à l'âme une rigidité telle qu'elle ne peut manquer de résister à l'effort tranchant.

Cependant, il est toujours facile de construire la courbe du moment tranchant maximum en chaque point : en eflel, à chacune des courbes des moments fléchissants que nous avons tracées, correspond une courbe des efforts tranchants; l'effort tranchant est le dérivé du moment fléchissant.

Donc si le moment fléchissant résulte de l'équation

l'effort tranchant résultera de T= f (x).

Comme la fonction f(x) est une parabole ou une ligne droite, la courbe représentative de l'effort tranchant f (x) sera une droite inclinée sur l'axe de la poutre ou parallèle à cet axe. Dans les deux cas, la courbe est donc très-facile à construire.

On suivra une marche identique à celle que nous avons adoptée pour les moments fléchissants : 1° on fera la courbe des efforts tranchants dus à la charge permanente; 2° on tracera les courbes des efforts tranchants lorsque les travées sont chargées sucessivement ; 3° puis les courbes des efforts tranchants maximums positifs et négatifs; 4° et enfin la courbe de l'effort tranchant maximum total en combinant 1° et 5° comme nous l'avons fait pour les moments.

Il est inutile pour nous d'insister sur cette opération.