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Le centre de gravité de l’aire d’un triangle se trouve donc sur une droite qui va , du som- • met au milieu de la base opposée, au tiers de cette droite à partir du sommet.

CLXXVII. Problème. Trouver le centre de gravité d’une pyramide triangulaire.

Solution. Figure Soit SÂBC une pyramide triangulaire de densité uniforme , S étant le sommet et ABC la base; soit mené

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tin plan parallèle à la base , et coupant la pyramide suivant la section P E F semblable à la base ABC J les centres de gravité de ces deux triangles et le sommet de cette pyramide sont trois points situés sur la même droite; en effet , les milieux H, L des deux droites parallèles D F et A C sont situés sur la même droite S RLl Donc les deux droites H E , B L sont dans le même plan S B L ; or H E contient le centre de gravité du triangle D EF, et la droite BL contient le centre de gravité du triangle ABC.

Par conséquent , ces deux centres de gravité et le sommet S sont dans le plan BLS : on démontrera de la même manière qu’il se trouve dans le plan SN C; O, N étant les milieux des droites DE, AB; par conséquent le centre de gravité se trouve dans l’intersection des deux plans. Il se trouve donc sur une même droite Li G G' ; G , G' étant les centres de gravité des deux triangles ; donc toutes les tranches parallèles à la base ont leurs centres de gravité situés sur une même droite, qui va du sommet au centre de gravité de la base. Or, on peut remplacer toutes les pesanteurs qui agissent sur les molécules de la tranche DEF par son poids appliqué à ce centre de gravité , et il en est de môme de toute autre tranche. Donc toutes les pesanteurs qui agissent sur toutes les molécules de la pyramide peuvent être représentées par leurs poids appliqués au centre de gravité; donc toutes les pesanteurs dont les molécules de la pyramide sont animées , peuvent être remplacées par un

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MANUEL

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système de poids appliqué aux centres de gravité particuliers, c’est-à-dire sur la droite SG. Or, lorsque tous les points d’application des forces ])arallèles sont sur une même droite , le centre des forces parallèles est aussi sur cette droite (CXLVII) ; donc le centre de gravité de la pyramide est sur la droite S G. On démontrerait de même que le centre de gravité doit être sur la droite CI, qui va d’un autre sommet au centre de gravité de la base opposée. Il est donc à l’intersection V des deux droites SG et Cl; on voit , d’ailleurs , que les deux droites S G et G I sont dans un même plan S CN. En général , les quatre droites qui vont des quatre sommets aux centres de gravité des faces opposées, passent toutes par le même point V.

Si je mène la droite I G, elle sera parallèle à C S ; car NI est le tiers de NS , et N G est le tiers de NC; donc les droites sont coupées proportionnellement, et I G est parallèle à SC. Les deux triangles S C V, V I G sont semblables comme ayant les angles égaux chacun à chacun ; on a donc la proportion

ig:sc::vg;sv or iG : SC :: Ni:Ns :: 1 : 3

donc -VG:SV::i:3