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donc V G =;= =
. Par conséquent le centre de gravité d’uiia pyramide triangulaire se trouve sur une droite qui va d’un sonamet au centre de gravité de la
Di.
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face opposée, au quart de cette ligne, à partir de la base, ou aux trois quarts à partir du sommet.
Autre solution. {Fig,, l\i.) Soit S ABC la pyramide triangulaire; soit D le milieu de 1 arête AB; menez la droite SD, le plan CSD partage la pyramide en deux autres pyramides de masses égales et de volumes égaux ; et on prouvera , par le meme raisonnement que pour le parallélipipède , que le centre de gravité doit se trouver dans ce plan , et par conséquent aussi dans le plan S B H. Il est donc dans leur intersection ; le reste comme ci-dessus.
CLXXVItl. Connaissant les centres de gravité GHI, etc. des corps A, A', A", etc. liés entre eux d’unè manière invariable , trouver le centre de gravité du système de ces corps.
{^Fig. 4^* ) Soient les trois corps A, A^ A", on les suppose fixés de manière à ce que les distances, mutuelles ne puissent point cban-
Première solution. Par la cooàpositiôn "es forces ,
soient V le voliime du corps A D sa densité;
P Son poids , M sa masse ;
y' le volume du corps^A'; D' Sa densité; P' son. poids; M' sa masse;
V" le volume du corps A"; D" sa densité ; , . D'' son pctids , sa masse, etc.
on aura les équations ^
lia MANUEL
M = VD (NoCLXVI.)
M'=rD'
• M‘'=V"D*,etc.
On peut concevoir que toutes les pesanteurs qui agissent sur le corps A ont pour résultante le poids P appliqué au centre de gravité G; on pourra donc remplacer toutes ces pesanteurs' par la force unique P agissant en G. Faisant usage des mêmes considérations pour tous les autres corps y on verra que toutes les pesanteurs peuvent être remplacées par les poids P, P', P" parallèles y etc. Cherchons donc la résultante des deux premières forces P et P' ; à cet effet , il faut partager la droite H G en parties réciproquement proportionnelles au point P et P'. Or, ces poids sont entre eux comme les masses M et M' ; il faut donc partager la droite GH en parties réciproquement proportionnelles aux masses M et M', ou bien encore au produit des volumes par les densités. Soit K le point de partage, alors ce point K sera le centre de gr^ité du système des deux premiers corps.
Joignons le point K au centre de gravité I du troisième corps, au point K est appliqué une force égale à P 4- P', et au. point I une force parallèle. égale à P"; il faut donc partager Kl en parties réciproquement proportionnelles aux forces P P' et ou bien aux masses M -f- M' et M", ou bien encore au volume. V D -f-V' D' et V'' Soit K' le point de partage , il sera alors le centre de gravité des trois corps A, 'A', A'' y on continuerait de raisonner de la mémo
DE 'mécanique. ii 3 '
manière pour trouver le centre de gravité d’un plus grand nombre de corps.
Seconde solution. Par la théorie des momens : (^Fig. 44)- Soit mené un plan quelconque MN; des centres de gravité particuliers G,H,I des corps soient abaissés des perpendiculaires sur le plan.
Désignons par ^ la perpendiculaire G G', par la perpendiculaire H H', par la perpendiculaire II", etc. ;
Et par A la distance cherchée du centre de gravité de tout le système au plan MN. Cette distance est égale à la somme des momens, divisée par la somme des forces (CXXXVII). Nous aurons donc ' - ' . ;
etc.
P-f-P' + P"+; etc.
tT-l — -j- -f., etc.
-| — etc.
I 4" — etc. • ^
etc. *
M-f-M' etc.
+ V"D" «J'hèle.
T D 4- V D' 4- V'' D’ ^ etc. ”
1 1 4 MANUEL
Si l'on prend positivement les distances qui se trouvent d’un côté du plan , il faudra prendre négativement celles qui se trouvent du côté opposé. On trouvera donc la distance du centre de gravité cherchée au plan MK, et le signe de cette distance indique de quel côté*du plan le centre de gravité est situé. Si donc nous menons'uu plan parallèle au plan MK, et qui en ' soit éloigné • de la distance A , le centre de gravité se trouvera dans ce second plan. Menons maintenant ùn troisième plan faisant un angle avec le premier, on trouvera la distance du centre de gravité à ce troisième plan ; et faisant la même construction que pour le premier, on trouvera un quatrième plan parallèle au troisième , qui renfermera encore le centre de gravité. Le centre de gravité sera donc dans l’intersection dû second et du quatrième plan. Menons maiiiténant un cinquième plan , on trouvera sa distance au cinquième plan ; et menant un plan parallèle à celui-ci, le centre de gravité se trouvera à l’intersection des deuxième, quatrième et sixième plans.
CLXXIX. On abrège de beaucoup la solu- • tion précédente en menant de suite trois plans rectangulaires ZAX^^ZAY^ XAY.
^ Soit Z' la distance trouvée dti centre de gravité au plan - - Y A X,
' \ Y' la distance trouvée du centre
' de gravité au plair ZAX,
X^ la distance trouvée du centre '
de gravité au plan Z A Y,
on porte X' de A en B , sur Taxe AX ; au point B, on mène BC parallèle à AY cl égale à Y'; on mène CD parallèle à A Z, égale à Z', et le point D sera le centre de gravité cherché, car il satisfait évidemment aux trois conditions j sa distance au plan X A Y Z , etc....
CLXXX. Si tous les centres de gravité étaient dans un njême plan , il suffirait de*mener deux autres plans perpendiculaires à celui-ci et perpendiculaires entre eux. '
Si tous les centres se trouvent déjà sur une même droite, alors Je centre de gravité se trouvera à l’intersection de la droite avec le deuxième ' plan.
Si tous les corps étaient de même densité, si l’on avait D =I)' = D", alors les poids proportionnels aux masses seraient simplement proportionnels aux volumes
