CCCXII. Les dents étant également espacées
, le nombre des dents sur chaque roue du cylindre est proportionné à la circonférence; ainsi dans le mouvement du système denté , le nombre de tours que fait la première roue est au nombre de tours que fait dans le même temps le dernier cylindre comme le produit des ailes des pignons est au produit des dents des roues. Il faut re- • marquer ici que Ton donne aux dents des pi"
gnons le nom à*ailes, que la première roue n’a pas de dents et que le dernier cylindre n’a pas d’ailes.
CCCXIII. Par conséquent , le temps employé par la première roue à faire ifn tour, est au temps que met le dernier cylindre à faire un tour entier, commq le produit des ailes des pignons est au produit des dents des roues.
CeeXIV. On voit donc comment les roues dentées peuvent être employées à mesurer le temps. Supposons que la première roue mette une heure à faire son tour, et que le produit des ailes soit le douzième des produits des dents ; le dernier cylindre fera donc un tour entier en douze heures. SL donc, dans le prolongement de l'axe de la première roue, on fixe un pivot et sur ce pivot une aiguille , cette roue, en tournant , emportera le pivot avec l’aiguille ; cette aiguille parcourra le cadran entier en une heure , le douzième du cadran en cinq minutes , le soixantième en une minute, ce sera l’aiguille des minutes; si l’on munit également d’une aiguille et d’un cadran le dernier cylindre , cette aiguille mettra une heure à décrire le douzième du cadran , et ce sera l’aiguille des heures. On peut disposer le système de manière à n’avoir besoin que d’un seul cadran pour les deux aiguilles , et c’est ce qu’on voit exécuté dans les montres de poche.
CCCXV. La seule difficulté consiste à se procurer une force motrice qui communique à une
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172 MANUEL
roue une vitesse uniforme de rotation dans un temps donné.
Dans les montres, on y parvient à l’aide de ressorts qui , après avoir été tendus , se détendent uniformément à l’aide d’un mécanisme .que l’on nomme échappement. Nous verrons plus loin comment ou obtient un mouvement uniforme dans les pendules.
CCCXYI. Dans les combinaisons des treuils, les axes des cylindres sont quelquefois à angles .droits 9^3); alors une des roues dentées est remplacée par un cylindre à jour, qu’on appelle lanterne , et dont les deux bases sont réunies par des bâtons également espacés. L’axe AB étant horizontal, la roue M tourne dans un plan vertical, et fait tourner la lanterne M dans un plan horizontal; on rencontre ce genre de mouvement dans les moulins à blé : la roue à aubes qui est dans l’eau , montée sur le même axe que M , communique à celle-ci un mouvement dans un plan vertical , tandis que la lanterne N prend et donne à la meule un mouvement horizontal. {Fig. 97.)
CCCXVII. ( Fig. 98 ). Soient deux cônes droits SAB, SBC ayant le sommet S commun; étant tangens l’un à l’autre, l’un de ces cônes ne peut tourner autour de son axe sans donner à l’autre roue un mouvement de rotation autour de son axe , et le même effet a lieu lorsque les cônes sont tronqués, tels que ABFE,BCDE.
Si donc B C et D I représentent deux roues den-
DE MÉCA\(QÜE. 178 '
lées, le mouvemeDt de rotation de A autour de S B entraîne le mouvement de B C autour de S O.
On voit donc comment il faut disposer les roues dentées , lorsque les deux axes sont dans un même plan. (Voir note S.)
CCCXVIII. ( Fig. 90 ). Un pignon denté M a axe fixe engrène avec les dents d’une barre dentée N, mobile dans une chape, la barre soulève un poids Q. Une manivelle TSK est fixée sur Taxe; telle est la machine qu’on nomme cric, et qui sert à soulever des fardeaux; elle n’est autre chose qu’un treuil simple dont le rayon SK représente celui de la roue; OA est celui du cylindre , auquel est appliquée la ré- ^ sistance Q, qui presse sur les ailes du pignon. ,Oii a donc , par l’équilibre du cric ; la puissance est à la résistance comme le rayon du pignon est au bras K S de la manivelle.
^ CCCXIX. {Fig. 100). Dans le cric composé, la manivelle fait tourner un pignon qui engrène avec une roue, dont l’axe porte un second pignon qui engrène avec les dents de la barre . du cric; dans le cas d’équilibre, la puissance est à la résistance comme le produit des rayons des pignons est au produit du rayon de la roue par le bras de la manivelle.
Soit rayon du premier pignon =: 2
id. de la roue = ■
itl. ' du second pignon = i Bras la manivelle = A
1^4 .MANUEL
on aura puissance , résistance II iX2*4X4
• Ainsi , pour soulever un poids de 400 kilogrammes, il faut employer une force un peu plus grande que == 5 o kilogrammes.
Mais il est facile de s’assurer*, en répétant les raisonnemens du n° CCCVIII, que'^ dans le même intervalle de temps pendant lequel la force parcourt i mètre , la résistance ne s’élève que d’un huitième de mètre.
Combinaison de poulies et de cordes.
CCCXX. ■ La fi^re 10 1 représenté un système dé poulies mobiles M , M', M'^, M’’'; la dernière poulie porte la résistance Q , et est enve- . loppée d’une corde fixée par une extrémité au crochet c'" et par l’autre b la chape de la poulie M' ; celle-ci est aussi enroulée d’une corde fixée en c" à là chape de la poulie M'i Enfin , à la première poulie M est appliquée là puissance P, qu’on peut supposer être un poids P agissant par l’intermédiaire de la poulie fixe F.
Soient c la sous-tendante de l’arc embrassé par la corde dans la poulie M et R le rayon ;
c' la sou^tendante de l’arc embrassé par la corde dans la poulie M' et R' le rayon ;
la sous-tendante dé l’arc embrassé par la corde dans la poulie M" et R” le rayon;
c'” la sous-tendante de l’arc embrassé par la corde dans la ponlie M"'et R'" le rayon;
^ la tension de la cérde qui va de ' M en.M'; . •
DE MÉCANIQUE. l>jS
i )a tension de la corde qui va de M'enM";
t'' la tension de la corde qui va de M" en
Dans le cas de l’équilibre du système , il faut qu’il y ait équilibre dans chaque poulie mobile (CCCII) ; on aura donc
Jt
Multipliant ensuite ces proportions , il vient ;
P:Q::^rrV"^•cc'c"c'".
Ainsi , la puissance est à la résistance comme le produit des rayons des poulies mobiles est au produit des sous-tendantes embrassées par les cordes.
CCCXXI. Lorsque les cordes sont parallèles, les sous-tendantes des arcs deviennent des diamètre»; et , dans ce cas , la proposition énoncée dans le numéro précédent se change en celle-ci : la puissance est à la résistance coinme le produit des rayons des poulies est an produit des diamètres des poulies , ou , comme l’unité est au nombre 2 élevé à une puissance marquée par le nombre des poulies. Car soit r, r', r'', r"* et ces rayons de quatre poulies; alors âr, 2 r y 2 r' sont les diamètres, et l’on a
rr r' 2 r'X, 2 r X 2/" X 2''"' i: i ï-»"'
176 MANUEL
CCCXXII. Conservant la même disposition entre' les poulies , supposons qu’on augmente la force P : l’équilibre sera troublé , le poids P descendra et le poids Q montera. Si la corde I s’allonge d’un mètre , le cordon X se raccourcira d’un demi-mètre , et le centre de la poulie M s’élèvera d’aùtant; le cordon Y se raccourcira donc d'un quart de mètre, et la poulie M' s’élèvera doutant. Poursuivant les mêmes conclusions^^m voit que la résistance Q de i 6 kilogrammes ne s’élève que d’un seizième de mètre pendant que la'puissance P descend d’un mètre. On trouve ici une nouvelle application du principe énoncé connu sous le nom de vitesses virtuelles.
CCCXXIII. Le système des poulies mobiles nécessite un trop grand emplacement , à raison de l’éloignement des poulies et de la multiplicité des cordages; on a cherché à remédier à cet inconvénient à J’aide des moufles : ce nom s’appliqué à des poulies ayant même chape , et montées sur le même axe ou sur des axes différens. La figure 1 02 représente une machine A formée de deux mouflës ; l’une M est fixe , l’autre N est mobile , et chacune réunit deux poulies dans une même chape; dans la machine B , la moufle fixe est composée de trois poulies, tandis que la moufle mobile en a deux ; une seule et même corde enveloppe les deux moufles ; une extrémité est tirée par la puissance P, 1 autre est fixée au crochet I de la moufle fixe en A et de la moufle mobile en B. Les cordons
DE MÉCAMQUÊ. . I77
1 , 2,3,4) n’étant que les parties d’une
mémo corde, sont dans le, cas de l’équilibre partout également tendus , et cette tension est égale à P. Lorsque la disposition des poulies est telle que les cordons sont parallèles, la chape mobile sera soulevée par les cordons 2 , 3 avec un effort égal à 2 P ; le même effort est exerté par, les cordons 4 et 5. Par conséquent, dans la machine A, le poids P tend à soulever la chape inféi’ieure avec un effort total égal à 4 P ; il faut donc , pour détruire cet effet , que la résistance Q soit égale à 4 P • dans la machine B, il faut ajouter la tension du cordon 6 , et l’on doit avoir Q — 5 P.
En général, par ce raisonnement, il est facile de se convaincre que , dans le système de deux moufles à cordons parallèles, pour qu’il y ait équilibre, il faut que la puissance soit à la résistance comme Tunité est au nombre des cordons moins un.
CCCXXIV. Le principe des vitesses vii’tuellcs (voir note 9 ) se vérifie immédiatement sur celte machine.
Combinaison du plan et du treuil; vis.
CCCXXV. Soit SV' un cylindre vertical [Jig. io3), ABC une barre horizontale faisant corps avec le cylindre et rencontrant son axe en A , cette barre pose sur le plan incliné M N, et supporte en B un poids P, posé sur le même plan ; perpendiculairement à celte barre et à
|-8 , MANUEL
son, extrémité C est attachée une corde hori- Bontale CI, qui passe par une poulie de renvoi , et porte à son extrémité le poids Q. Ou . demande quelle est la relation qui doit exister entre les poids P et' Q pour qu’il y ait équilibre.
U est évident que, d’après la nature du système, la barre A,BC ne peut prendre qu’un mouvement de rotation autour de Taxe vertical du cylindre, mouvement qui s’effectue dans un plan horizontal. Si nous décomposons la force . verticale P en deux autres , Tune perpendiculaire au plan et qui sera détruite par sa résistance, et l’autre horizontale, que nous dési- ' gnerons pour M , nous aurons (CCXLI)
B est la base et H la hauteur du,plan. C*est cette force P* qui tend à donner à la barré un mouvement de rotation , qui doit être détruit, dans le cas de l’équilibre, par le mouvement de rotation en sens opposé , que tend à produireda force Q ; on aura donc la seconde proportion
m:q::'ac:ab ( 2 ).
• • > ‘ . '* Multipliant les deux proportions ensemble, on
obtient '
p:q::bxac:Hxab(3).
CCCXXVI. Si plusieurs poids P, P', P'' , etc., étaient distribués le long de la barre à des points B, B', B", etc., ^on aura cette suite de proportions
PîM : : P' : M' : : p" : m'^ : : , etc. , b : h ,
d’où l’on tire
PH
Or, QXAC=MxAB-fM'XAB’ + M"xAB"-f , etc.,
d’où ' " •
QXAC= 5 (PXAB+P’XAB'+P"XAB").
IJ . i ,
CCCXXVII. Soit P =iookil.,
