B=KI

' H=KD,

1 8 o MANUEL ^

et la proportion (3) devient

p:q :: KixAC :KDxAD.

Si l’on prend K I égal en longueur à la circonférence de la base du cylindre , on aura * KI= 2 îrXAD, OU9T désigne le rapport du diamètre à la circonférence , et alors il vient

P:Q::2’rxADxAC:KDxAD::25rAC:itD.

Or, 2 5T X A C est l’expression de la circonférence décrite du rayon AC. On a donc en ce cas cette proportion d’équilibre :

La puissance est à la résistance comme la . distance du point d’application de la résistance à Taxe du cylindre est à la circonférence que tend à décrire la puissance, et dans ce cas l’équilibre ne dépend pas du rayon du cylindre- ^ CCCXXX. Supposons que le triangle DKI s’enroule autour du cylindre , de sorte que la hauteur D K reste fixe et que la base RI , égale à la circonférence de la' base, s’enveloppe autour d’elle ; alors l’hypothénuse D I s’applique sur le cylindre, suivant une courbe D N K, ou N répond à la i circonférence etayN^^I^^ (/%•.; io5); et lorsque le tour, est achevé, le point I vient en K.

CCCXXXI. Supposons I D prolongée indéfiniment, et que l’on prenne ID = D D D'D" pendant que ID prendra la forme K ND, la droite DD' se courbera suivant la courbe P N' D égale à DND. Il en est de même de D D , etc. La réunion de toutes ces portions *

« DE MÉCANIQUE. . x8t

curvilignes compose une seule courbe , à la- (juelle on a donné le nom hélice cylindrique.

CCCXXXII. Quelque point M de l’hélice que l’on considère , la tangente à la courbe en ce point n’est autre que la droite l'DD'D^ arrivée dans cette position. Or, cette droite, dans toutes ses positions , est également inclinée sur la base; donc les tangentes à l’hélice cylindrique sont partout également inclinées sur la base ou ce qui revient ; elles forment partout le même angle avec l’ax'e du cylindre.

CCCXXXIII. L’hélice peut encore être engendrée d’une autre manière; si le point K se meut d’un mouvement uniforme sur l’arête KDD' pendant que celte arête se meut d’un mouvement nniforme autour de l’axe , le point décrira sur le cylindre une hélice, de même que celle qui est la résultante de l’enveloppement de la droite D I , pourvu que la vitesse de translation verticale soit à la vitesse de rotation comme DK est à la circonférence de la base ; car dans cette courbe, comme dans celle du numéro précédent, le rapport de I B à B C est invariable , quelque part que l’on prenne B. io5.)

CCCXXXIV. On appelle spires les portions d’hélices , telles que RN D , DN' D', etc. Ainsi l’hélice est composée d’une infinité de spires égales , et on nomme pas de l’hélice (hauteur du* • pas de l’hélice) les distances égales KD, DD' , etc ., qu’interceptent sur l’arête du cylindre les spires de l’hélice; les pas d’une même hélice sont égaux entre eux.

4^, Drgiii, by ;

ï82 , ,• MANÜFL '* »

• '^CXXXV. Supposons qu’un triangle DROy tracé dans un plan passant par l’axe du cylindre, se meuve d’un mouvement uniforme le long de l’arête K D D' ; pendant que cette arête tourne uniformément autour de Taxe , chaque point du périmètre du triangle décrira une hélice (CCCXXXIII), et l’ensemble de ces hélices f^orme une surface connue sous le nom de vis trkmgulaire. Toutes ces hélices ont même hauteur de pas , ma^ elles'sont tracées sur des cylindres différèns. Ainsi le point D décrit une Iiélice ayant DK pour hàùteur de jms et AD pour rayon,' tandis .que le point L décrit une hélice ayant pour pas L L'=K D , et elle décrit sur un cylindre d’un rayon G L plus grand que AD; et par conséquent l’hélice L est moins inclinée sur la base que l’hélice D. • '»

' CCCXXXVI. ' Supposons qu’on enlève du' ^ rectangle DMNK le rectafn^e DOK, dé sorte ■qu’ij ne reste que de pentagone KO D M N à angle rentrant DOK ;, si ce pentagone' est assujetti aux mêmes mouvemens de translation et de rotation que nous avons assignés dans le numéro précédent au triangle saillant DOK, il, est évident que le triangle rentrant DOK décrira une 'vis creuse ''qui s’adaptera exactement à là vis; saillante : dans les arts, la Vis creuse .çst-désîgnée sous le nom èiccrou. Si après a^P.i? fait enlr'er une vis dans uiie substance en ' .^onnijnt à la vis un mouvement de rotatiomde droite à gauche , on la retire en imprimant un

. . DE MÉCANIQUE. ’ l83

' mouvèmrat de rotation de gauche à droite , le vide qui reste est l’écrou.

^ CCCXX^VII. La ■vis quadrangulairé est engendrée par le mouvement uniforme et simultané de translation et de rotation d’un rectangle saillant , et l’écrou est produit par un rectangle rentrant. ' ■*

CCCXXXyiU. Soit ST C/^. 107). une vis triangulaire garnie de son écrou* qui est traversée par une barre AB pj^rpendiculàire. à Taxe du cylindre, que nous supposons être vertical ; Fécrou étant pesant , désignons son poids par Q. Admettons d’abord que l’écrou ne touche la vis qu’en un seul point M , par lequel passe l’hélice MNO; or, l’écrou, ne pouvant prendre qu’un mouvement de rotation ,1e point M tendra à glisser le long de l’hélice , et le poids se trouvera posé. sur la tangente .à cette courbe. Si on veut empêcher ce mouvement à , l’aide d’une force P, appliquée perpendiculal-*^ rément à l’extrémité de la harre AB, on a la combinaison du leyier et du plan incliné déjà, décrite (CCCXXV). On a donc : La puissance r P est à la résistance Q /:omme la hauteur du • pas de la vis est à la circonférence que tend à , décrire la puissance P. '

CCCXXXIX. Cette proportion a lieu, quel qùè soit le nombre de points par lesquels l’écrou touche la vis ; en effet, on peut éoncevoirla résistance Q décomposée en autant de résistances partielles parallèles , et la piii.ssance P décoml^osée. en autant de puissances partielles qu’il y a- de

i84 MANUEL 1 ^

points* de contact ; les hélices qui pftôseiU p;^< les points de' contact , diverses de rayon, sont toutes de môme hauteur de pas. Dé’signons les ^ résistances pariielles par q , q" y q" ' , etc, , et les puissances partielles par etc. ; soit h ‘ la hauteur du pas , R la distance du point B à Taxe , et 9 T le rapport du diamètre à la circonférence ;. raisonnant pour chaque hélice comme ci-dessus (CCCXXXVtlI) , on aura cette soUe proportions ^ *

\p''\ q\\h \ 3 9tR ;

d’où Ton tire

oifbien P : Q ;; ù ; -2 a-R. '

CCCXL. Nous avons supposé que l’axe de Q était 'vertical ; il n’y; a rien à changer ùces conclusions lorsque Taxe est incliné; alors il* faut entendre par la résistancè Q une force parallèle à l’axe (CCCXXVIII) , et par P ùne force perpendiculaire à la barre. On se sert ordinairement de la vis pour produire dés pressions; •cet effet est d’autant plus grand que la .barre est plus longue et. que le pas de la' vis est plus petit; soit

on aura. Q

Ji = o“,oo I R=i,o,

. P dt: l OO kil. ,

y *.|do,î».3;i4 i 5,

- : " o>ooi«.. s

6?83oo k-

• DE aiECAMQUE- , \ |8S

' Ainsi , d^ns cette vis , tout corps qui s’oppose au mouvement de l’écrou éprouve la inémç pression que s’il était chargé d’un poids de I • .628300 kilog.

, HiCCCXLI. Lorsque l’extrémité de la barre a )-fait un toi^ entier, l’écrou se meut parallèlement ^ à l’axe du cylindre d’une longueur égalé au pas.* Ainsi ^ dans la vis de l’exemple précédent, le point A doit décrire une circonférence de ^ ,• 6“,283 pour que l’écrou descende ou moule d’un millimètre. Ainsi, l’avantage que donne la machine à la force, dans le cas de l’équilibre, est perdu sur- la vitesse , lorsque la’machinc est en mouvement. Nouvelle vérification du priiijT cipe des vitesses virlu^les. a t

CCCXLU,. On emploie 'aussi la vis à diviser *

. en parties égales ou à mesurer. de^ lignes d’une J extrême petitesse, ou bien à communiquer de très faibles mouvemens de rotation ; dans le premier cas, c’est une vis niierométrique , et' • dans, le deuxième cas , une vis de rappeb Ainsi, en faisant faire un dixième de tour' on décrirai un arc de 60* à ”la barre de là vis (CCCXL)j l’écrou s’élèvera, d’un dixième de ipillimètrfe. Dans les vis de rappel, l’écrou est ' fixé à un plateau ou disque mobile autour d’un' axe; en . , tournant la vis , elle appelle l’écrou , qiii donne au disque un mouvement de rotation. ^

Vis et treuil^ ou Vis sans Jiri'. .

CCCXLIII. MP 108) est un cylindre mobile autour d’ùii axe fixe et revêtu d’un.filct

l86 ^ . VAWÜÉL -

de vis. G&G , qui presse contï% les depts d^uite roue O , montée sur un cylindre V ; la puissance P agît sur la manivelle K , etîa résistsgice Q est attachée à l’extrémité d’une corde qui s’eifrôule autour du t;ylindre *V ; lé plan de la roue dejflh tée est perpendiculaire à l’axe^u cylindre MN. Telle l'a machine dénommée vis. sans fin , parce ql^^lainêine spire rencontrant sùccèssi-j vemeft^outes les dents de la roue , il suffit d’un Bgit nombre, dé spires pour produire un mouvment continu de rotation. : Supposons- qu’il y a équilibre entre la force communiquait un mouvement^ de rotation dans un sens, et la ffirce Q , tendant à' produire un mouvement de irotation dans Un sens apposé ; soit* >

■ R = bras de la manivelle, '^

A =r pas de la vis, , , ^ . - * -

y . rayon de la roue dentée,

R"= rayon du cylindre V, ■' ' > ,

et désignons par T la pression des filets contre les dents , pression qui s’exerce tabgentielleraent à la roue denté.e , on aura ainsi les deux proportions ' y . ■' ; .

P îT II ^ î 2 îtR dans la vis,-

, Dans la première. proportion j I désigne l’action de la vis contre les dents de la roue, et dans la seconde proportion, Lest la réaction des .dents contre la vis. Multipliant ces deux proportions, terme à . terme , il vient

p:q:: ar":2tRR'.. .

DE mIeCAJîIQUE.

Pression *des corps solides les uns vontre les autres ; coin^ ~

^ CCéXLV. Nous avons examiné ci-dessus les ’ » conditions d’équilibre d’ùn corps pesant, renfermé entre deux plans inclinés, et nous avons détér miné les rapports entr^ le poids et les pressions contre les plans. Si le corps interposé, déjà ' soumis à la pesanteur, était encore poussé par d’antres' forces, il est évident que W pressions contre les plans seront augmentées; et i’effi^

■ physiqtie de ces pressions est d’écarter Ifes *plans , d’augmenter l’angle qu’ils forment entre eux. Ces pressions mesurent aussi la résistance * que les plans opposent p l’écartement) ^ *

CCCXLVI. Soient donc S et S' (J^- 109) deux sphères entièrement fixes ; L est une fotce’ qui pousse une troisième sphèré M entre les deux premières et tend à les séparer. Il s’agit .de chercher les conditions de l’équilibre; ef, dans ce cas, les, pressions ont lieu contre les sphères fixes. La direction de la force P est perpendiculaire à là surface de là sphère mobile , et conséquemment passe par le centre M'; pour que l’équilibre soit possible, il faut que l’,pn * puisse décomposer la force P . en deux • autres perpendiculaires aux sphères fixes, et passant par les points de contact'! et >P. Il s’ensuit quc.la force P doit être dans le plan dçs trois centres M, S, S'; telle est la sonie condition d’équilibre , pourvu , que la force P pousse ; si elle tire, l’équilibre est iippossiblo.