MÊME PLAN
La géométrie est une science qui a pour objet la mesure de V étendue.
étendue a trois dimensions , longueur , largeur et hauteur.
La ligne est une longueur sans largeur. ^
Les extrémités d’une ligne s’appellent points ; le point n'a donc pas d'étendue.
La ligne droite et le plus court chemin d’un point à un autre.
Toute ligne qui n’est ni droite ni composée de lignes droites , est une ligne courbe.
Ainsi {^Fig. i), AB est une ligne droite, A CD B une ligne brisée ou composée de lignes droites, et AEB est une ligne courbe.
Al A N 11 r, L
On distingue , parmi les lignes droites , la i verticale y qui est la direction du fil à plomb.
Surface est ce qui a longueur et largeur, sans hauteur ou épaisseur.
Le plan est une surface, sur laquelle prenant deux points à volonté, et les joignant par ;| une ligne droite, cette ligne est toute entière a dans la surface. ‘
On appelle plari horizontal celui qui est perpendiculaire à la ligne verticale ; la horizontale est une ligne tracée en entier dans un plan horizontal; deux lignes horizontales suffisent pour déterminer un plan horizontal.
Toute surface qui n’est ni plane , ni composée de surfaces planes , est une surface courbe.
Solide ou corps, est ce qui réunit les trois dimensions de l’étendue.
Angles. — Lorsque deux lignes droites [Fig. 'a), AB , AC , se rencontrent , la quantité plus ou moins grande dont elles sont écartées l’une de l’autre , quant à leur position, s’appelle angle ; le point de rencontre ou d’intersection A est le sommet de l’angle ; les lignes AB, A C , en sônt les cotés.
Lorsque la ligne droite [Fig. 3 ) AB rencontre Tine autre droite CD, de telle sorte
ÛE PERSPECTIVE.
^'que les angles adjacens BAC, B AD, soient égaux entre eux , chacun de ces angles s’appelle un angle droit; et la ligne AB est dite perpendiculaire sur CD.
Tout angle ( Fig. 4 ) , B A C , plus petit qu’un angle droit , est un angle aigu ; tout angle plus grand, DEF, est un angle obtus.
Parallèles. — Deux lignes droites concoiirrantes ( Fig. 5 ) ,' AB , AC , font avec une ligne droite D E qui les coupe toutes deux , des angles inégaux dans le même sens, BDE, DEC.
Deux lignes droites ( Fig. 6 ) , F G , H K , qui, coupées par une troisième MN, située dans le même plan , font avec celle-ci des angles ,^GM N, MNK, égaux dans le même sens, ne se rencontrent pas à quelque distance qu’on les suppose prolongées : elles sont dites parallèles.
Deux lignes droites , parallèles à une troisième , sont parallèles entre elles.
Polygones. — Figure plane est un plan terminé de toutes parts par des lignes.
Si les lignes sont droites {Fig^ 7), l’espace qu’elles renferment s’appelle^i7«/c rectiligne ou polygone , et les lignes elles-mêmes prises en-
/l4 MANUEL
semble forment, le contour ou périmètre du polygone.
Triangle, — Le polygone de trois côtés est le plus simple de tous , il s’appelle triangle ; celui de quatre côtés s’appelle quadrilatère; celui de cinq pentagone ; celui de six hexa^ gone , etc, etc.
On appelle triangle équilatéral ( Fig, 8 ) , celui qui a ses trois côtés égaux; triangle isocèle ( Fig. 9 ) , celui dont deux côtés seulement sont égaux; triangle scalène [Fig. lo), celui qui a les trois côtés inégaux.
Le triangle rectangle ( Fig, 1 1 ) , est celui qui a un angle droit, BAC; le côté , BC , opposé à l’angle droit, s’appelle hjpothénuse.
Quadrilatère. — Parmi les quadrilatères on distingue le carré [Fig, 12), qui a les côtés égaux et les angles droits ;
Le rectangle ( Fig. 1 3 ) , qui a les angles droits sans avoir les côtés égaux ;
Le parallélogramme ( Fig. 1 4 ) > qui a les côtés opposés égaux et parallèles ;
Le losange ( Fig. i5 ) , dont les côtés sont égaux , sans que les angles soient droits ;
Enfin le trapèze ( Fig. i5 ) , dont deux côtés seulement sont parallèles.
Diagonale. — On appelle diagonale , dans un quadrilatère, la ligne qui joint les sommets de * deux angles opposés.
Dans un polygone on appelle aussi diagonale la ligne qui joint les sommets de deux angles non adjacens.
Polygone équilatéral est celui dont tous les côtés sont égaux; polygone équiangle , celui dont tous les angles sont égaux.
Deux polygones sont équilatéraux entre eux, lorsqu’ils ont les côtés égaux chacun à chacun, et placés dans le meme ordre , c’està-dire , lorsqu’en suivant leurs contours dans un même sens , le premier côté de l’un est égal au premier côté de l’autre , le second de l’un au second de l’autre , le troisième au troisième , et ainsi de suite. On entend de même ce que signifient deux polygones équiangles entre eux.
Dans, l’un ou l’autre cas , les côtés égaux ou les angles égaux s’appellent côtés , ou angles homologues.
Tout polygone qui est à la fois équiangle et équilatéral, s’appelle polygone régulier.
Deux figures sont égales, lorsque étant appliquées l’une sur l’autre dans le même sens , «lies coïncident dans tous leurs points.
MANUEl,
Deux figures sont semblables y lorsqu’elles ont les angles égaux chacun à chacun , et les côtés homologues proportionnels.
Deux figures égales sont toujours semblables; mais deux figures semblables peuvent être fort inégales.
Deux figures sont équivalentes , lorsque leurs surfaces sont égales. Deux figures peuvent être équivalentes quoique très dissemblables : par exemple , un cercle peut être équivalent à un carré, un triangle à un rectangle , etc. etc.
Triangles semblables, — Nous croyons devoir énoncer ici les différons cas de la similitude des triangles, car c’est sur cette similitude qu’est fondée la science de la perspective , et les figures, en général, peuvent se partager en triangles :
1®. Deux triangles équiangles ont les côtés homologues proportionnels , et sont semblables.
Pour que deux triangles soient semblables , il suffit qu’ils aient deux angles égaux chacun à chacun, car alors le troisième sera égal de part et d’autre, et les deux triangles seront équiangles.
2'’. Deux triangles , qui ont les côtés horno-
logiies proportionnels, sont équiangles et semblables.
3®. Deux triangles qui ont un angle égal, compris entre côtés proportionnels , sont semblables. >
4'’. Deux triangles qui ont les côtés homologues parallèles , ou qui les ont perpendiculaires chacun à chacun , sont semblables.
§. VI. Cercle.
La circonférence du cercle est une ligne courbe dont tous les points sont également distans d’un point intérieur qu’on appelle centre.
Le cercle est l’espace terminé par cette ligne courbe.
On appelle rayon {^Fig. 17) toute ligne droite CA, CE, CD, etc., menée du centre à la circonférence ; toute ligne , comme A B , qui passe par le centre , et qui est terminée de part et d’autre à la circonférence , se nomme diamètre; ainsi tout rayon est un demi-diamètre.
On appelle arc une portion de circonférence telle que FH G. ^
MANÜF.L
La corde ou sous-tendante de l’arc , est la ligne droite FG qui joint ses deux extrémités.
Segment est la surface ou portion de cercle comprise entre l’arc et la corde.
A la meme corde F G répondent toujours deux arcs FHG, FEG, et par conséquent aussi deux segmens ; mais c’est toujours le plus petit dont on entend parler, à moins que l’on n’exprime formellement le contraire.
Secteur est la partie du cercle comprise entre un arc D E et les deux rayons C E , C D , menés aux extrémités de cet arc.
On appelle ligne inscrite dans le cercle { Fig> i8), celle dont les extrémités sont à la circonférence, comme AB ;
Angle inscrit, un angle tel que BAC, dont le sommet est à la circonférence, et qui est formé par deux cordes;
Triangle inscrit, un triangle, tel que BAC, dont les trois angles ont leurs sommets à la circonférence ;
Et, en général, figure inscrite, celle dont tous les angles ont leurs sommets à la circonférence : en même temps on dit que le cercle est circonscrit à cette figure. ^
On appelle {.Fig. 19), une ligne^qui
coupe la circonférence en deux points ; telle est AB : tangente , est une ligne qui n’a qu’un point commun avec la circonférence; telle est CD ; le point commun M s’appelle point de contact.
I Un'^polygone est circonscrit à un cercle , lorsque tous ses côtés sont des tangentes à la circonférence ; dans le meme cas on dit que le cercle est inscrit dans le polygone.
Les arcs servant ordinairement de mesure aux angles on a imaginé à cet effet de diviser la circonférence (i) en 400 parties égales appelées degrés (°) le degré en 100 minutes (') et la minute en 100 secondes (") ; de cette manière, 100®, ou 10000', ou 1000000", représentent le quart de la circonférence ou un angle droit.
j §. VIT. Solides ou corps.
Le prisme est un solide compris sous plusieurs plans parallélogrammes , terminés de part et d’autre par deux plans polygones égaux et parallèles.
(i) Avant l’adoption, du système décimal , la circonférence était divisée en 36o®, le degré en 60', la minute en 60"; ainsi 90” ou 0400' ou 824000''' représentaient le quart de la circonférence ou un angle droit.
MAKUEL
Pour construire ce solide ( Fig. 20 ), soit A B C D E un polygone quelconque ; si dans un plan parallèle à ABC, on mène les lignes F G, GH, HI, etc.... égales et parallèles aux côtés AB, BC, CD, etc. ce qui formera le polygone FGHIK égal à ABCDE; si ensuite on joint d’un plan à l’autre les sommets des angles homologues par les droites AF, BG, CH, etc. les faces ABGF, BCHG, etc. serqnt des parallélogrammes et A B C D E F G H 1 K sera un prisme.
Les polygones égaux et parallèles, ABCDE, F’ G H I K , s’ap])ellcnt les da.çes du prisme ; les autres plans parallélogrammes pris ensemble, constituent la surface latérale ou convexe du pj'isme. Lés droites égales AF, BG, CH, etc. s’appellent les côtés du prisme.
- Un prisme est droit , lorsque les côtés AF, B G, etc. sont perpendiculaires aux plans des bases *, dans tout autre cas le ])risme est oblique.
Un prisme est triangulaire , ciuadrangulaire , polygonal , selon que la base est un triangle, un quadrilatère , un polygone.
Parallélipipède est un prisme {Fig. 21 ) qui ayant pour base un parallélogramme , a toutes ses faces parallélogrammiques.
DE PERSPECTIVE. 5l
Le parallélipipède est rectangle , lorsque toutes ses faces sont des rectangles; c’est un cuhe , lorsque ses six faces rectangulaires sont des carrés.
La pyramide est le solide formé lorsque plusieurs plans triangulaires {^Fig: 22) partent d un meme point S , et sont terminés aux différens côtés d’un meme plan polygonal ABC DE.
Le polygone' A B C D E s’appelle la hase de la pyramide , le point S en est le sommet^ et l’ensemble des triangles A S B , B S C , etc. forme la surface convexe ou latérale de la pyramide.
La pyramide est triangulaire , quadrangulaire y polygonale , suivant que la base est un triangle, un quadrilatère, un polygone.
Une pyramide est régulière, lorsque la base est un polygone régulier et qu’en meme temps la perpendiculaire abaissée du sommet sur le plan de la base, passe par le centre de la base : cette ligne s’appelle alors Vaxe de la pyramide.
La sphère est un solide i^Fig. 9,3) terminé' par une surface courbe dont tous les points sont également distans d’un point intérieur qu’on appelle centre.
On peut imaginer que la sphère est produllc parla révolution du demi-cercle AM B autour
MANUKL
du diamètre AB : caria surface décrite dans ce i' mouvement par la courbe A M B , aura tous ses i points à égale distance du centre C.
Le rayon de la sphère est une ligne droite 1 menée du centre à un point de la surface ; le i diamètre ou axe est une ligne passant par le I centre, et terminée de part et d’autre à la sur- j face.
Tous les rayons de la sphère sont égaux; tous les diamètres sont égaux et doubles du rayon.^
Toute section de la sphère faite par un plan est un cer cle : on appelle grand cercle y la section G qui passe par le centre ; petit cercle , celle P qui n’y passe pas.
On appelle cylindre , le solide ( Fig. 24 ) produit par la révolution d’un rectangle A B CD, qu’on imagine tourner autour du côté immobile AB.
Dans ce mouvement , les côtés AC , BD restant toujours perpendiculaires à AB , décrivent des plans circulaires égaux ACME, BDNF, qu’on appelle les hases du cylindre , et le côté CD en décrit Xde surface convexe.
La ligne immobile AB s’appelle l’axe du cylindre.
On appelle cône le solide (^Fig. 'à5 ) ])roduit^
par la révolution du triangle rectangle SAB, qu’on imagine tourner autour du côté immobile S A.
Dans ce mouvement le côté AB décrit un plan circulaire B M D , qu’on appelle la hase du cône et l’hypothénuse SB en décrit la surface convexe.
Le point S se nomme le sommet du cône , S A Vaxe ou la hauteur , et S B le côté ou X apothème.
Toute section faite perpendiculairement à l’axe est un cercle; toute section faite suivant l’axe est un triangle isocèle double du triangle générateur.
§. VIII. Solutions de problèmes géométriques
