AB. MP MP
siüM (MP— CD) 1 ‘
Réduisant et remplaçant les lignes par leurs valeurs géné
s=(* + i)dz -*>i
d’où l’on tire cette construction très facile :
Sur CD prolongé prendre CE=- CG = - r; sur DE dé^ criro une demi-circonférence et construire
EF
= V ( 4 + £)-»’= VCdP-dc");
d’où
A 2 +B î =A' î -hB' a , AB=A'B'sin0;
A-f- B = k A * -f IV* 4-2 A'JV sinü ,
^ =2 \y A' ii +B ,:£ +2A , B'siu0 -f" 2A'b' sinol .
La construction suivante déterminera les axes, de grandeur et de position : 1 ■ fP'vv || ; .
Par l’extrémité B' (flg. 2) du diamètre donné OB' abaisser une perpendiculaire B'P sur l’autre diamètre OA', et prendre B'D=B'E=OA':=A'; on aura , d’après la propriété du triangle obliquangle,
donc
OE = J' / "A“+B’ 2 +2A'B'sin9 -, ODsr^ A^-j-B' 2 — 2A'B'sin9 ;
A=i(OD+OE).
Des points B' et b\ extrémités du premier diamètre, comme centres, et avec un rayon égal à|(OD+OE), décrivez des
arcs de cercle, qui coupent le second diamètre aux points I, P; K, K' ; joignez B'I, b'Kj B'P, é'K', et les points de rencontre des droites de jonction
seront les foyers do l'ellipse.
II ne restera plus qu’à mener la droite FF', qui passera par le centre O; et prenant sur cette droite
on aura la longueur du grand axe dans sa véritable position.
On déterminera facilement le second axe d’après la position connue du foyer.
SOLUTIONS DEVELOPPEES.
Deuxième manière. — Si l’on partage en deux parties égales l’angle DO E , la bissectrice est dirigée suivant le grand axe de l’ellipse ; ce qu’on peut démontrer de la manière suivante par l’analyse : - -,
Soit
AY-t-BV=:A 2 B 2
l’équation de l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes , et
l’équation d’un diamètre quelcon~::e 3 désignant para 7 , y f , les coordonnées extrêmes du d.u.i.jtre, on trouvera par un calcul facile
V+B 2 . ABa
y Kav+b 2 ’
et pour la longueur de ce demi-diamètre
y i'*' *' * . ' iâsi&iün*
l’our un second demi-diamètre D f , y=a’x t on trouverait
de même
g/rg*
k AV+B 2 *
Si D et D' sont conjugués, ce qui donne la relation
aa
ZJr
la valeur de D' devient, toute réduction faite ,
iv — Ka^^b»
1 *&**•*' •- KA 2 a 2 +B 2
SOLUTIONS DEVELOPPEES.
Cela posé , soit
l’équation d’une droite menée par le point x r , y’, extrémité du diamètre D, perpendiculairement au diamètre D'.
Si l’on prend sur cette perpendiculaire deux distances égales entre elles et à ce second demi-diamètre , de telle sorte qu’on ait
les coordonnées des points extrêmes E et D de ces distances seront données par la combinaison des équations (1) et (2) , et l’on aura
x=x'zh ----IL - ,
J/A 2 n 2 -fB 2 ,i A 2 a
V ~ y ~ Ka^+b 2 ’
le signe supérieur correspondant au point E, l’inférieur au point D. Substituant pour x 1 et y' les valeurs trouvées précédemment, et séparant les valeurs des" coordonnées , on trouvera
AB-fB 2 AB— B 2
I/av+b 2 '
ABa-fA 2 o
yAV-f» 2 ’ KÂV+B 2 '
et les équations des droites OE, OD, seront
Ka 2 «+b 2 > ABa — A 2 a
OE
