IA HK?. FM HK

HB HB 2 1 ° U HM"~HB’

et le problème revient à déterminer sur la droite HI donnée un point M tel que — soit égal à un rapport donné.

Le problème a deux solutions.

457. Mener la normale, et par l’extrémité de cette longueur donnée comme centre , et avec un rayon égal au demi-paramètre, décrire une circonférence; puis, par le point de contact mener une tangente à cette circonférence : l’axe sera déterminé , ainsi que le foyer, qui se trouve au point milieu de la distance des pieds de la tangente et de la normale. — Deux solutions.

Démontrer la propriété de la sous-normale.

460. Première manière. — Soit supposé la zone ABCD (fig. 56) partagée en un certain nombre n de zones équivalentes par des plans parallèles aux deux bases et équidistants. Si l’on prend ce nombre n assez grand , on pourra considérer chacune de ces zones comme un cylindre , dont le centre de gravité sera au milieu de la hauteur. Soit donc h la hauteur de chacune de ces petites zones et H la hauteur totale de la zone proposée dans la sphère de rayon B. Il est évident d’abord que, le centre de gravité de chaque petite zone se trouvant sur le rayon OR, perpendiculaire aux deux bases de la zone proposée , le centre de gravité de la zone totale se trouvera sur ce même rayon. Il suffira donc de déterminer sa distance au plan de l’une ou de l’autre des deux bases , de la base inférieure par exemple

Soit x cette distance inconnue : le moment de la zone par rapport au plan de la base inférieure sera 2irRHx, et les zones parallèles auront pour moments,

2ttRa|,

de sorte que, d’après le théorème des moments , on aura, pour déterminer x , la relation

2irRH*= 2 ttRA \ -f 2 ttRA^....;

et enfin, *= L ^+ 3 + 5 + 7 ' .

Or , d’après la formule connue de la somme des termes d’une progression par différence , on a

1— {— 3-|— 5 —{—7—}— (en nombre n)=n a ;