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expression qui constate que la quantité 4 A€ — B' est positive.
An contraire , C sera négative si A et C sont de signes différents ; car dans ce cas sa partie radicale l'emportera sur sa partie rationnelle, «t la valeur de 4 AG ^- B* sera négative.
Il résulte de là que le signe de C dépend uniquement de celui de Texpression de 4 AG — B\
Il reste à examiner le cas où 4 AG = B' : or, cette relation donnant C' = o , réquadon A'a» -h G'/» = F' est réduite à A' w» = F' et les valeurs précédentes a et p deviennent in£uaies. Il n*est donc plus possible de faire disparidtre à la fois de Téquation (2) les termes en x' et en y'. Mais voici comment on évite cette difficulté :
Mettant dans Téquation (i ) les valeurs j; =:mt'^ nu^ j^ = jb/ 4- mu, on aura la transformée
' ^ I -h(D/H-Eiw)r-h{DOT — Eii)« — F = o;
et faisant comme ci -dessus ,
2(A — G)/wa-hB(iii* — «») =0,
on obtiendra pour m, n^ A' et C les mêmes valeurs qu'on a trouvées précédemment; de sorte que l'équation (6) sera réduite à celle-ci :
(6') A'u^-hCt* -^ (D/w — En)u -f. (D/î + E/w) r — F = o.
Gette opération ne fait que changer la direction des axes; pour déplacer l'origine il faut ici supposer
et l'on aura cette nouvelle transformée
IAV'4-G'/'»-+-(2A'p'-f-D/ii — E;i)m' -H (2G'a'-»- D« + E/îi) r + A'P'*-HG'«'^ -4-(D/ii — E«)p' + {D« + Eiif)a' — F = o,
de laquelle il ne sera pas possible de faire disparaître le terme en t' quand on aura G' = o; car dans cette circonstance a' serait infini. La réduction qui réussit est lorsque l'on a entre a' et ^' les relations
J 2A'p'4-Diw = E/i = o,
^^ j A'P'^-f-G'a'^-f-lD/ii — E/i)p'-4-(D/i + Em)«' — F=o;
c'est-à-dire lorsqu'on transporte l'origine des coordonnées à un point de la courbe ; puisque cette seconde relation n'est autre chose que celle {&) dans laquelle teiu sont changées respectivement en a' et p\ Ainsi, toutes les fois que l'équation (1) sera effectivement celle d'une
i3o GÉOMÉTRIE AI^ALYTIQUE.
courbe , elle pourra être ramenée à la forme
en faisant dans la transformation (7) le coefficient de u' égal à zéro, ainsi que toute la quantité indépendante de u' et de /'; c'est-àdire que les relations précédentes (N) fourniront des valeurs réelles pour a' et ^\ D'ailleurs , c'est ce qu'il est facile de prouver à priori lorsque G' := o , seul cas qu*il s'agit d*examiner en ce moment , et pour lequel l'équation (7') se réduit à
En effets simplifions d'abord la seconde relation (M) en retranchant celle-ci de la première multipliée par ^ ; on aura , à nwse de G' = o, rNM i ^A'p' + D/ii-E/i = o,
^ '' \ A'p'»--(D/H-Eiii)a'-f.F = o;
équations qui donneront nécessairement des valeurs réelles , puisque elles peuvent se résoudre comme celles du premier degré.
Si, en même temps que C'=ro, on avait D/2-4-E/rt = 0, il ne resterait que Tinconnue ^* dans les relations (N')> et alors il pourrait arriver qu^ellesne s'accordassent point pour de certaines valeurs particulières des constantes; mais les mêmes hypothèses réduisent la transformée (6') à
A'i»»-h(D/it — E/i)a = F,
ou , pour abréger, à
A'a»-hD'a = F,
résultai indépendant de la coordonnée t.
On peut conclure de cette discussion» que l'équation générais (i) peut, par des transformations convenables de coordonnées , prendre l'une des trois formes suivantes :
