AT' = AP

Par conséquent, pour mener une tangente à la parabole par un point M' pris sur la courbe, il suffit de tirer une parallèle MfP' à^Y et de prendre AT' = AP' ; la droite M' T' est la tangente demandée, ha. valeur de AT' ne dépendant que de l'abscisse x' du point de tangence , les tangentes à la parabole menées par les extrémités d'une corde m' M' parallèle à j Y, rencontrent l'axe des x au même point T'. La sous-tangente P' T' est double de l'abscisse AP' du point de tangence.

Réciproquement, la relation j'*= npx^ ayant lieu , l'équation (3) détermine une droite qui touche la parabole y^zno^px au point x',/'; en effet, en combinant les deux équations (1) et ( 3) on trouve que les abscisses des points de rencontre de la droite (3) avec la courbe (i) sont égalée à x\ et que les ordonnées sont égales à j^'.

Problème. — Par un point donné mener une tangente à la parabole.

Pour mener une tangente à la parabole j'= 2/?;rpar un point x" , y" donné , on calcule les coordonnées a/ ,>^ du point de tangence . Or la tangente passe par le point x'\y" ^ son équation est donc de la forme

Mais le point .r',7' est sur cette droite et sur la parabole , on a donc

d'où ■

y':=f±.ylf"-^7.px\

Selon que le |>oint x" ,y" est hors de la parabole, ou sur la courbe,

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. i23

ou dans la courbe , y"'^ — i^px" est positif, ou nul, ou négatif ; les valeurs de y* sont réelles et inégales ou imaginaires , de soite que Téqoaiion (a) détermine deux tangentes , ou une seule tangente, ou la question est impossible.

Pour coDstruire la tangente demandée , on calcule l'angle formé par le rayon vecteur H^F avec la tangente M'T' au point x% y de la parabole/-' = 2/7x9 on trouvera

tangFM'rzr:^;

tangM'T'F = ^.

Les angles FM'T^M^T'F sont donc égaux. Cette propriété pouvait

se déduire des relations AT' = AP' = x' , M' F = x' H — », car

FT'= AT' -h AF = x' -t- - » = FM'.

MaisTangle M'T'F = rM'Q' et Tangle M'T'F = rM'F, donc les angles T'M'Q', T'M'F sont égaux.

La tangente /'M'T' divisant Tanglc FM'Q' en deux parties égalas, il est facile de mener par un point donné une tangente à la puraLoJe.

I®. Quand le point donné est sur la courbe, en M' par exemple , on tire une parallèle M'Q' à x X et Ton mène la droite Q'F; la perpendiculaire M'T'àQ'F est la tangente demandée, car les droites M' F, M'Q' étant égales, les angles T'M'Q', T'M'F sont égaux. Réciproquement, la perpendiculaire r'M'T' à Q'F touche la parabole au point M'. En effet, M'F==M'Q', la perpendiculaire r'M'T' pisse donc par le milieu de FQ' ; les distances /w" F , /w"Q' d'un point quelœnqite m' de cette perpendiculaire aux points F,Q' sont donc égales. Or, en tirant une perpendiculaire m" q" à la directrice HK , on a

//j"Q>/ii"7"; donc /n"F>m"7".

Le fUMBt m" est donc hors d£ la parabole. Mais le point M' appartient à Ja coi^rl^e , et tous les autres points de la perpendiculaire sont hors de la parabole ; celte perpendiculaire est donc tangente à la courbe au point M'.

Lorsque le point donné est hors de la parabole , en m" par exemple, il faut construire ie point M' de tangence. Or, la tangente m" M'T étant perpendiculaire sur le milieu de FQ', les obliques /n" F, /n'^Q" sont (gales; Tare de cercle décrit de m** comme centre avec le rayon connu /y/'F, rencontre donc la directrice HK en un point Q' tel , que la parallèle Q'c à Xx coupe la parabole au point M' de tangence. Ainsi, pour mener une tangente à la parabole par un point m" donné hors de la courbe, on décrit un arc de cercle du point m" comme centre avec le rayon m** Y ; cet arc coupe la directrice en deux points Q', Q, par lesquels on tire des parallèles au grand axe X a: 5 ces parallèles coupent la parabole en deux points M', M ; les droites m" M' , w"M sont les tangentes demandées.

Remarque. — Lorsque le point donné est liors de la courbe, sa dis-

124 GÉOMÉTRIE AIMALYTIQUE.

tance 9 au foyer est plus grande que sa distance i* à la directrice ; Tare de cercle déciît de ce point comme centre avec le rajon S coupe donc la directrice en deux points différents; la construction détermine donc deux tangentes. Quand le point donné est sur la parabole, ^ =^, Parc décrit est tangent à la directrice et les deux tangentes se confondent. Enfin, lorsque le point donné est dans la parabole, S<Ci^\ Tare décrit ne rencontre pas la directrice , ce qui indique l'impossibilité du problème.

Bec normalet. — L'équation de la normale M'N' au point ^, 7^ (fig. 38, Pi. Il) de la parabole j' =2/w? (i) est

Pour trouver Pabscisse x du point N' où la normale rencontre Taxe des jr, on fait j= o , l'équation (2) donne

Quand y n'est pas nul , on a

*=/?-f.a/=AN', d'où P'N' = /;.

La sous-normale P'N' est donc une constante/?.

aenuaqne. — L'abscisse AP' = x' d'un point quelconque M' de la parabole est toujours positive ; la plus petite valeur de AN' est donc An' =r p. Lorsque M' approche du sommet A , j/, ^ approchent de zéro; AN' diminue et approche de la constante An' = p. Enfin, lorsque JT^ = o , j est nul ; M' tombe en A , l'abscisse x de N' reste indéterminée dans l'équation (3); ce qui devait avoir lieu, puisque la normale en A se confondant avec Xx , l'abscisse x du point N' commun à la normale et à l'axe Xx, doit rester indéterminée. Ce résultat analytique exprime que j/ diminuant, le point N' de la normale approche d'un certain point fixe n' dont l'abscisse An'=p\ mais quand M' tombe en A, la normale se confond avec l'axe des or, et ces deux droites ne se coupent pas.

Peoblàmb. — Par an point donné mener une normale à la parabole.

Pour mener une normale M'^ N' à la parabole (i) par un point donné x" , y% on cherche les coordonnées ô/ , j' du point M' de rencontré de la normale avec la courbe. La normale passe par le point x" , jr" r son équation est donc

Or le point 2/,^ est sur cette droite et sur la parabole , on a donc

et /»==/?a/, d'où

Quand ^" = o , le point x" , /" est sur l'axe des x , l'équation ( 5 ) donne

(6) r' = o, yz=:±>j^^Jîi''^:j),

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. ia5

La valeur ^ = o détermine la normale x AX. Lorsque x" — p est positif, le point af\ y" est à droite de n' en N' \ les valeurs (6) de^' sont réelles ; Téqnation ( 3 ) détermine deux autres normales N' M' , N'm' Quand x" — /? est nul ou négatif > le point x", r" est en n! ou sur /z'X; les valeurs (6) dey sont nulles ou sont imaginaires. On ne ))eut donc mener que la normale X x.

COXtBMEB BU 8BCM>m BSGlUb.

Les équations des courbes dont nous venons de nous occuper ont été obtenues sous des formes simples , par suite du choix convenable de la position des axes des coordonnées. De même que Téquation du cercle est plus compliquée lorsque le ^centre a une situation quelconque que lorsqu'il est à l'origine des coordonnées , de même il est évident que les équations de Tellipse , de Thyperbole et de la parabole seraient moins simples si les axes étaient pris arbitrairement et faisaien t un angle quelconque. Mais il est important de constater que , dans tons les cas, les équations de ces trois courbes exprimées en coordonnées parallèles à des axes sont du second degré , c*est-à-dire toujours comprises dans la formule générale

(i) Aj' -h Barj -h Cx' -h Dj-f- Ex + F = o;

et que réciproquement une équation du second degré en coordonnées parallèles à des axes ne peut exprimer une autre courbe que Tellipse (dont le cercle est un cas particulier) , l'hyperbole ou la parabole.

Fommlet pour la transfonnatûm des ooordomiées.

Puisque nous avons en vue de conserver le degré de l'équation (i ), il faut nécessairement que les valeurs que nous substituerons pour x et X soient de la forme suivante :

x= mf -H/?a -h a, ^ = /i/ -+- ^« -f- p ;

X et y étant les coordonnées primitives, et r, u les nouvelles coordonnées. Quant aux constantes my n^ py qy ay py elles déterminent la position des nouveaux axes par rapport aux premiers.

Supposons , pour plus de simplicité , que le second système seulement soit oblique et que celui-ci et le premier aient la même origine A (fig. Sg, PL 11)' Soient par exemple AX et AY les axes des coordonnées rectangulaires, et AT, AU les axes des coordonnées obliques; puis désignons par Xy y\e& coordonnées AP , PM du point M, relatives au premier système, et par r, u les coordonnées AK, KM du même point, relatives au second système. Enfin nommons ^ l'angle TAX et Tangle IJAX; on, aura à cause des triangles rectangles ARK, KGM, et en supposant le rayon des Tables = i ,

AR = /cos7, RK=:fsin(p, KG = «cos9, GM = asinô;

AP = AR-»-KG, et PM == RK -h MGj

donc, en substituant, on aura

X = / cos y -t- « cos ô, jr z= t sïn *f -\- Il sin 9,

on bien faisons, pour abréger,

cos f = w , sin f = /i , cos Ô == /? , sin ô = y ,

on aura

x = wt -^ pu , y =1 nt -h qu.

Ainsi, en substituant dans une équation en x et/ les valeurs mêmes de ces variables , on parviendra à une transformée en / et en u qui sera du même degré, et la courbe représentée par cette nouvelle équation sera rapportée à des coordonnées obliques faisant entre elles )*angle 6 — ç.

Si les axes du second système étaient enx-mémes rectangulaires y cet angle — ^ serait égal au quadrant, c*est-à-dire que Ton aurait

0* — 7 = 1008% et par conséquent

= 1 00 H- y , et à cause de sin 100 = R = i cos loo'*' = o, on conclut

sin Ô = cos f et cos ô = — sin q» ; et par suite les valeurs ci-dessus de x Gtàey seraient simplement

X =1 1 cos <p — tt sin f , / = r sin y -h M cos y , ou bien

x = mt — /!« , y z=nt ^ mu.

Dans la même hypothèse, si Ton changeait la position de Torigine, on aurait (yfg^. 4^ » PL II)

x:= me — nu -h OLy y z=i nt -i- mu ■+- p ;

a et p désignent les coordonnées de la nouvelle origine rapportée au système primitif. En effet, soit a l'origine primitive , et A la nouvelle origine ; il est évident que Ton a

ap =: AP -^ ab , /? M = PM -|- A^.

Mais

ab=zay A^=p et ap = x, /? M = >- ; donc

X znmt — nu -\- oLy j = «f -f- /»« -f- p.

Iles coordo n né e» polaires.

Dans bien des cas, il est commode de fixer la position d'un pointa Taide de sa distance à Torigine et de l'angle que cette ligne fait avec celle des x.

Soient AM = r, angle MAP = (p [fig. ^i, PI, II) ; on aura, par la propriété du triangle rectangle ,

AP = rcos(f, PM=:r&in©,

jc = r cos • et / =: r sin y .

Dans ce cas, la ligne AM ou r s'appelle le rayon vecteur du point M, et l'origine A de ce rayon vecteur se nomme le pôle. Lorsque dans l'équation d'une courbe on introduit ces dernières valeurs de x et de y y cette courbe est dite rapportée à des coordonnées polaires.

BMCiW M ttoit ne iM^tqvATLom o#nrfniAi.E bu SEGomiBscaUh

A HfBOX VARZABUBS, VOtTft SA SZMBUFXOATZOïr AU WOfYWOK BBS VO&MUUBS BliftlfflBBliTliS.

Passons maintenant à l'usage des formules que nous venons d'obtenir pour simplifier l'équation générale

(i) A/*H-Barj + Car' -f- Dj -+ Ea: = F.

Si nous transposons d'abord les axes parallèlement à eux-mêmes , on aura

et réquation (i ) deviendra

!A/' + Bx'x' -4- Car'' 4- (2 A p + Ba -h D)/ -4- (îCa -4-Bp-4- E)j:'-|- Ap»-h Ba^ + Ca' -+- Dp H- Ea — F = o.

Or, comme nous pouvons disposer des quantités a et p, qui sont absolument arbitraires, nous supposerons, afin de faire disparaître les termes affectés de x' et de y, que leurs valeurs résultent des équations

2Ap-hBa-f-D=o, 2C3t-f-Bp+E=:o,

et que l'on a, par conséquent,

BD — aAE BE — 2CD

*— 4Af — B»' ^""4AC — B»''

d'où il suit que Téquation (2) est ramenée à cette forme

(3) A/' -+• hx^y -+- Cx'» — F = o.

Il n'est donc pas possible par ce moyen de faire disparaître le rec-^ tangle x'y des coordonnées, puisque le coefficient B est indépendant des quantités a et p ; mais cette transformation réussira , si dans la dernière équation (3), on introduit les valeurs

x' =: mt — /îK , y == nt-h mu , parce qu'alors elle deviendra

Î{Aot' — Bmu -f- C/i') tt' -h [2 (A — C) /w/n- B (/«' — «»)] ut •+• {An' + Bmn-h Cm') t' — F' = o,

et que l'on pourra disposer des quantités m ei n qui ne doivent satisfaire qu'à l'équation

/II' 4- /i» 3= 1 ,

pour égaler à zéro le coefficient de at\ ce qui donnera cette nouvelle relation entre m et /7,

2(A — C)iw/i-hB(/iï» — /î') = o.

Ainsi, l'équation (4) sera ramenée à la forme suivante , (5) A'**'-+-C'r' = F',

en 7 faisant .

I km' 4- Bmn -+- Cn' = A',

^^^ I A/f' -l-Bw/t 4-C/ii»=C'.

Pour avoir des valeurs de A' et de C indépendantes de m et de /i , il faudra déduire celles de ces dernières quantités des équations

Or de la première on tire

Élevant cette valeur au carré , et substituant dans le résultat pour n* sa valeur i — m% on obtiendra, en faisant d'ailleurs

cette équation

de laquelle on tire

2 2\/i-f-4K' 2 2^(c — Ap-4-B^' et y par suite ,

par conséquent ,

V^{C — A)' -h B* 2 sj{C — ky + B»

Maintenant y si l'on combine les équations (M) par voie d'addition et de soustraction y Ton obtiendra

Connaissant donc la somme et la différence de deux quantités , on aura, en supposant A' > C,

A' = ^(A + C) + ^V^(C-hA)^-hBS

Ces dernières expressions prouvent : i^ que A' et C seront toujours des quantités réelles; 2° que A' peut toujours être rendu positif; car si A et C sont tous deux négatifs , il n'y aura qu*à changer tous les signes de Téquation (i) ; si au contraire A et G sont de signes différents, A pourra être pris positivement, et pour lors C sera négatif : d'où l'on voit que la partie radicale de A', qui devient dans ce cas

- V^(C + A)* + B*, l'emportera nécessairement sur la partie ration-

nellei(A — C).

Quant à la quantité C, elle sera positive lorsque A et C étant de

OÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 129

cette natore, on aura