XI

F' A' rot» » -f- G' sin* ? = —

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. i3i

On a donc

V A' cos' ç -h C sin»

quantité toujours réelle» quelque soit l'angle 7; mais lorsqu'on suppose r infini ^ Téquation

A' cos' 9 -h C sin* ^ = o

montre que la valeur de ^ est imaginaire , puisque l'on en tire

sin ep

i= tangf

cosç ^

Or le rayon vecteur r mesure toujours la distance de Forigine ou du pôle à un point quelconque de la courbe, et dans le cas actuel ce rayon peut prendre toutes les positions possibles autour de ce point; donc la courbe que nous discutons est fermée : c'est celle à laquelle on a donné le nom d'ellipse.

Il est remarquable que les valeurs de r sont égales et de signes contraires; par conséquent, pour chaque valeur de f , toute corde à la courbe, qui passe par l'origine des coordonnées, est coupée en deux parties égales par ce point. Dans ce cas, cette corde se nomme un diamètre, et le point qui la partage ainsi en deux parties égales est le centre de cette courbe.

On obtient les points où elle coupe les axes des t et des « en faisant successivement dans son équation a = o, / = o, et l'on a

= ±y/|', u = ±yjl.

Si F' seulement était négatif, l'équation

A'w»-+-CV = — F'

n'appartiendrait à aucune courbe, cela est évident; mais si F' était nul , on aurait

A'/i»-hC'r»=o,

équation qui se vérifierait en faisant à la fois r == o, m = o, et qui ne représenterait alors qn'un point placé à l'origine même des coordonnées.

Supposons que A! et G' soient de signes diCféreniSi, auquel cas 4 AC — B' est négatif, on a

et, pour l'équation polaire ,

F' (A'cos'f — e'sin*f)r*= F', ou A' cos» f — CT sin» y = --'^

par conséquent I

~\ M cos' ç — C sin' <p

La valeur de rsera dooc positive ou n^ative, réelle ou imaginaire: elle sera réelle tant que, F' étant positif ^ <m aura

A' cos' f > C sin' 9 ou tang' f < ^ i

i32 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE,

ou bien lorsque F% étant négatif , on aura

tang»ç> -,5

et eHe sera imaginaire dans des circonstances contraires. De i*hypothèse r = od on déduit

A'cos' f — C sin' ç =r o, et , par suite ,

tangç = ±y ^•

Donc dans ce cas l'angle 7 a deux valeurs réelles de signes contraires; donc la courbe actuelle a des points situés à Tinfini dans deux sens opposés : c*est l'hyperbole. Cette courbe a , comme l'ellipse» une infinité de diamètres ; car les deux valeurs réelles de r sont égales et de signes contraires , et doivent , pour cette raison , être portées sur fa même ligne à droite et à gauche de l'origine des coordonnées ou du centre de la courbe dont il s'agit.

On obtient les deux sommets réels de cette courbe en faisant dans son équation r = o , ce qui donne

Ces deux sommets sont donc sur Taxe des u à égales distances de Torigine ou du centre. L'hypothèse de u =r o donne

Ainsi l'hyperbole ne rencontre point l'axe des t\ mais en considérant cette dernière expression comme réelle, on a la grandeur du second demi-axe de cette courbe.

Si l'on avait F' = o, l'équation

donnerait lieu *à deux droites placées symétriquement au-dessus et au-dessous de l'axe des r et passant par l'origine.

Enfin, il est aisé de s'assurer que la courbe donnée par l'équation

s'étend seulement à l'infini à droite ou à gauche de l'axe des u' : c'est la parabole.

Il faut remarquer que les trois espèces de courbes que nous venons de reconnaître dans l'équation (i) sont comprises dans la transformée

A' tt'»-f-C' /'»—£' /' = o

qui donne l'ellipse lorsque 4AC — B' est positif, l'hyperbole dan» le cas contraire, et qui comprend la parabole lorsque 4 AC =: B'. Il nous reste à examiner ce que peut représenter l'équation

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. i33

En la résolvant par rapport à m , on trouve

— D'±:v/4A'Fh-D'»

Cette expression étant indépendante de Fabscisse ty et susceptible de deux valeurs y il s'ensuit qu'elle représente deux droites parallèles à l'axe des i et distantes de cet axe , l'une de la quantité

ÏÂ? '

€t l'autre de la quantité

Vroprîété* des oourbec du toond degré déduites de la transformation

des axes.

Tous les systèmes d'axes par rapport auxquels l'équation de l'ellipse conserve la forme kjr* + Bx' = C se nomment axes conjugués. Ces axes sont des diamètres, car d'après l'équation «• j* -|- ^» x' = «' h'' tonte corde parallèle à un des axes conjugués est divisée en deux parties égales par l'autre axe ; leur intersection est le centre. Les parties des axes conjugués comprises dans la courbe sont des diamètres conjugués.

PaoBLiME. — Trouver l'équation de f ellipse rapportée à deux diamètres conjugués quelconques.

La forme générale de l'équation A' u^ + G' r^ = F' peut élre ramenée à la forme symétrique suivante,

(i) fl»j^-|-^'j?» = a'^S

en changeant / en j?, et u en j^, puis faisant

C = -- î A' = -jT- 5 a* b^

2 a étant , comme on sait , le grand axe et 2 b le petit axe. Or, si Ton change seulement la direction des coordonnées et qu'on laisse indéterminé l'angle qu'elles forment entre elles, on aura

j; = 771/ + ^tt , jr = «r -h qH»

Mais on aussi les relations

De la substitution des valeurs de â; et ^ dans l'équation (i), il résulte que

<i'(ii/4- quy -I- b^ (mt -+-/?«)* = a' ô',

ou , en développant et ordonnant,

fl'9»

ut = a» bK

b^pi 4.(3/113 j ^nb^mp

Telle est l'équation de l'ellipse rapportée à des coordonnées quelconques. Si, pour faire disparaître le terme en ut^ on pose

a a' /î^ -f- 2 6* mp = o,

t34 GÉOHÉTaiE AI^ALYTIQUE.

réqaadon précédente se réduira à

et Im courbe 9f»ra rapporté^ à deui^ disimètres ocmjuguéa qoelcoo* quet.

Peobl&kb. — Trou9er la vdUar de ces diamètres. Pour trouver la grandeur de ces diamètres, soit fait ici successivement a = Oy r = o ; on aura ^ en dénotant respectivement par a' et b' les valeurs résultantes de t et de ^,

et réquation de TelUpse sera

Il ne doit y avoir aucun doute sur la possibilité de la transformation actuelle, parce que, à cause des trois équations de condition

m* -+■ rt* = 1 , ^* -I- ly» = I , a^nq -j- b* mp = o ,

entre les qoatre quantités m , a , /i , f , on est le maître de disposer de Tune d'elles et d'obtenir toujours des valeurs réelles pour les autres qu^iftités. En effet, la tfroisième équation de condition pouvant s'écrire ainsi,

a' H- b^ — = o , ou fl* H- ^* cot © cot Ô = o ,

nous montre que quelque valeur qu*on suppose à y , celle de cot sera toujours réelle ; il y a donc une infinité de systèmes de diamètres conjugués dans lesquels l'équation de l'ellipse est absolument semblable à celle relative aux axes. Voyons maintenant si cette même propriété existe lorsque Fangle des nouvelles coordonnées est droit. Dans cette hypothèse ^

et , comme nou^ Tavons déjà dit ^

sin = cos f , cos 9 = — sin ^.

Les deux relations m' + n* =^ i « p^ -^ q^^=i\ rentrent donc Tune dans Paulre, ou , ce qui revient au même, sont identiques. Quant % réquation de condition

elle devient

2 a' sin ^ cos ^ — 2 ^' sin ^ cos y = o ; 0|i , parce que

2 sin f cos f = sin 2^ ,

«ell^ se change en celle-ci ,

(flf* — é*}sin 2^ =: o,

Uiquelle dorme uniquement

sin 2 tp r=: o , ou f = o .

Ce qui nous apprend que les nouveaux axes rectangulaires se confondeptavec les axes primitifs; conséquemment il n'existe qu'un sys-

GtoMÉTRlE ANALYTIQUE, i35

tème de cetle nature dans lequel Téqualîon de l'ellipse puisse avoir la forme (i). Mais si Ton avait a :x bf auquel cas l'ellipse se changerait en cercle, la relation

(a' — 6') sin 2^ =

serait toujours satisfaite, quelle que fût la valeur de f ; donc cette dernière courbe peut être rapportée à une infinité de systèmes d^axes rectao^es par rapport auxquels son équation a la forme

Les relations (2) qui ont lieu entre les quantités a, à^ a^y b' ne sont pas les plus simples qu*il soit possible de trouver. En effety en les multipliant Tune par Tautre, on obtient

Il si Ton élève au carré Téquation de condition

a}nq ■+- b'mp = o, on a

rt' /t'y' -h 2 a} b^ mnpq -H b*m^p^ = o , on

a*n^q^-\- b^m^p^^n — 2 a* b^ mnpq.

Introduisant cette valeur dans le dénominateur de la valeur do a^b'\ ce dénominateur deviendra un carré parfait, et Ton aura, après 4Voir simplifié et extrait la racine carrée des deux membres ,

mq — np Mais

»iq — np = cos ^ sin Ô — sin (p cos^ = sin — y ; donc

a'^'sin(9 — tf)z=:ab, ou ^a'ysin{Q — <p) = 2rtX2^.

Or, si l'on fait attention que a'b^ sin (0 — <p) est Taire d'un parallélogramme dont les côtés faisant Tangle — ff sont a' et b% on conclura de ce résultat que le rectangle construit sur les axes d'une ellipse est équivalent au parallélogramme construit sur les diamètres

conjugués i^g» 34 9 Pi' il)*

Cherchons maintenant une propriété absolument indépendante de l'angle de ces diamètres; car, puisque nous avons les cinq équations

(3) n^- nq -^ b^ mp z=z o y

^^^ '* a^n^-hb^ni^^

on conçoit que les équations (1), (2), (4)i (5) doivent, par le procédé de réliraination, faire connaître les quatre quantités m, a/, /^, 7 et que la substitution de leurs valeurs dans Téquation de condi-

rd6 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

tion (3) doit mettre cette propriété en évidence. Voici une manière fort simple d'eiïectuer ce calcul.

Les équations (i) et ( 4) qui ne renferment que les inconnues m et n peuvent être écrites ainsi :

Or, en traitant /?* et m} comme des inconnues au premier degré ^ puis procédant comme il a été dit en algèbre , on aura

Le second système d*équa(lon$

étant parfaitement semblable au premier système, il suffit pour déterminer /^^ et q^ de changer a' en b' dans les valeurs précédentes de m' et n' ; ainsi Ton a de suite

^ "" b'^ («» — 5'") ' ^' "" 6'^(fl' — b^)

Cela posé, puisque Téquation de condition (3) revient à

a^nq = — b^mpy on a y en la carrant ,

Substituant ici pour a% m', /?% ^' leurs valeurs , et effaçant les dénominateurs, puisqu'ils sont les mêmes dans les deux membres, oi> obtiendra

Développant, réduisant et décomposant en facteurs, on trouvera

puis, supprimant le facteur commun a' — 6% on aura enfin

a'» 4- 6" = rt» + A% ou

£/o/i<7, </ii/ij l'ellipse , la somme des carrés fies diamètres conjugués est égale à la somme des carrés des axes.

Propriétés malogaes de l'hyperbole.

L'équation de cette courbe rapportée à ses axes est , par ce qui précède,

A'tt» — c'/» = r.

En changeant a en ^, / en or , et faisant

cette équation prend la forme

qui est celle que nous avons obtenue précédemment, et qui dérive de réquation analogue de Tcllipse , en / faisant b^ négatif. On doit penser

alors que si , pour l'hyperbole , ob change la direction des coordonnées , on parviendra aux mêmes conséquences que pour l'ellipser Aussi , en faisant le calcul , trouve-t-on d'abord

(fl'/i* — b^m*)t^'^2{a*nq — b^mp) ut

puis 9 pour l'équation de condition ,

fl' nq — b^ mp =r= o ; enfin , pour les valeurs des carrés des demi-diamètres conjugués ,

U ne faut pas croire que ces valeurs soient toutes deux de même signe; car si Ton suppose que la seconde soit négative , ce qui a lieii lorsque à' q^ ^ ^ VS ^^ ^"i*^ 9 ^^ contraire ,

En effet , il résulte de cette hypothèse que

et comme

del*

équation de condition

d -dessus on tire

il s'ensuit

que

OU enfin^

an <^ bm ;

donc alors a!^ est positif et*^^' négatif; donc, en admettant que

l'équation de l'hyperbole rapportée à ses diamètres conjugués deviendra

Ainsi cette courbe a elle-même une infinité de diamètres conjugués, mais elle ne coupera jamais l'axe des u.

En continuant de procéder pour l'hyperbole comme pour l'ellipse , on parviendrait à ces deux conséquences , savoir :

I®. Dans l'hyperbole Ifig, 42, Pi* II) 9 le parallélogramme construit sur les diamètres conjugués est égal a^ rectangle des axes ;

a®. La différence des carrés des diamètres conjugués est égale à celle des carrés des axes.

Pfopriéléf de Ui parabole rapportée à let diamètres oonjugoét.

L'équation de la parabole peut être mise sous la forme

Elle ne peut 'être transformée en une autre de même forme par le simple changement de direction des coordonnées, parce que les équa-

i38 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

lions de condition ramèneraient anx coordonnées primitives; mais, en déplaçant en même temps Porigine , la transformation a Heu comme on va voir.

Soient donc

x=:/nt -i- pu-^ Uy jr z=: nt -^ c/u-k-f^; on aura

et Fcquation précédente deviendra

«•/'-H 2/1711^-+- 7*a»-f- (ap/ï — Km) r ■+- (2^^ — Âp)u

-h P' — akz=o.

Telle est celle de la parabole rapportée » doux axes c]uelconqu|[?s. Pour la ramener à la forme

faisons

n:=0, /iqz=0, 2^q — Kp=iO, f' — aK = 0,

ce qui est permis, puisque les indéterminées sont au nombre de six. L'hypothèse // = o ou sin <p = o satisfait à la seconde équation

nrj = Oy et de la troisième on lire

Il suit de là que tous les diamètres de la parabole sont |>arallèles à son <ixe principal , et que la position de Taxe des u est donnée par réquation

dont le second membre exprime la tangente trigonométrique de l'angle des nouvelles coordonnées ; or la relation

P' — a / • = o ou P' = ^" a

signifie que la nouvelle origine, dont les coordonnées rectangulaires sont a et p , est un des points de la courbe ; et parce que a reste indéterminé, cette nouvelle origine peut être prise partout où Ton voudra sur les branches de la parabole; donc la valeur de l'angle des /, u dépendra de celle qu'on attribuera à l'abscisse ou à l'ordonnée de cette nouvelle origine ; donc Féquation de la parabole rapporter à ses diamètres conjugués est

donc enfin , les carrés des ordonnées de cette courbe sont proportionnels nax abscisses correspondantes , quel que soie l'angle des coordonnées.

Quand deux lignes qui ne se rencontrent qu'à l'infini se rap • prochent indéfiniment Tune de l'autre, de manière que leur distance peut devenir moindre que toute quantité donnée, on dit que ces deux lignes sont asymptotes Tune de l'autra {Jlg. 43, PI. 11),

On sait, par ce qui précède, <|ue la tangente à l'hyperbole, menée

GÉOMÉTRIE ATiALYTIQUE. iSg

par le point M dont lescoordoonées AP,PM sontx',/', a pour équation

Or, pour déterminer la distance PT, qui se nomme la sous-Ungente, il faut d'abord faire^ = o dans cette équation, parce qu'au point T rordonnée est nuUe ; on aura donc ensuite

AT ou X = — 9 delà

PT = AP — AT = x' : =

rt» x"—^/»

Il est remarquable que la valeur de AT décroîtra d'autant plus que Tabscisse AP sera plus grande, mais que Ton n'aura jamais AT =r o,

puisque le numérateur de la fraction -^ est une quantité constante;

cependant cette valeur pourra être prise aussi petite qu'on voudra. Ainsi le point A est la limite près de laquelle le point T s'approche sans cesse. Dans la même circonstance, l'angle MTP diminue de plus en plus , et comme on a

tangMTP = -^y = — en remarquant que l'équation de la courbe donne

on peut écrire

h tang MTP =

D'où l'on voit qu'à mesure que la fraction -;: diminue, la valeur de

tang MTP tend à devenir égale à ~ • I^Iais si au sommet B de l'hyperbole on élève au demi-axe AB la perpendiculaire BK =r ^ et que l'on mène AKI, l'angle BAK aura pour tangente trigonométriqne -; donc

cet angle est une limite que celui MTP ne saurait atteindre, mais dont il peur cependant approcher sans cesse; donc la droite AKI est eu même temps la limite de toutes les tangentes de la branche BM de rhyperbole. C'est cette droite AKI que Ton nomme asymptote; il en existe évidemment une autre klkfV située au-dessous de Taxe des x, et faisant avec cet axe le même angle que la première. Enfin, en prolongeant ces deux asymptotes du c^jté des x négatifs, elles seront en même temps celles des deux branches de Thyperbole opposée. Il est donc vrai de dire que les branches de cette courbe s'approchent sans cesse des asymptotes, sans pouvoir jamais les atteindre.

Maintenant , pour faire connaître la simplification dont Téquation de l'hyperbole est susceptible, lorsqu'on choisit ses asymptotes pour

i4o GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

axes des coordonnées, nous transformerons dans cette vue Téquatton de cette courbe à Taide des formules générales

X == mr + T'a f X z= nt-^- qu.

Cette équation, qui est

deviendra donc

(«'y*— b^p^)u''h 2 [à'nq — ^' mp) ut + [a} n"— b^m^)t'=i — à'b\

Mais , dans le cas actuel ,

-=UngBAK = - et ^=tangBAK'= ,

d'où

relations qui nous apprennent que les coefficients de m' et de i' sont nuls. On a donc , pour équation de Thyperbole ,

^ ' i[à^nq — b^mp)

Déplus, à cause de

— - = -- et de /ii^-f-«'=i,

on tire

m = ' ■ et « =

de même, à cause de