et de /;»-h7»=i

p^ a} Mil

on tir^

p = --ir= et ^ =

Ici nous prenons négativement la valeur de ^, parce qu'en vertn

de la relation - = ^ p et g doivent être de signes contraires.

U suit de là que

Par conséquent réquation (i) de la courbe est simplement

Telle est celle que nous avions en vue de trouver. Si Thyperbole était équilatère , son équation serait évidemment

€t Tangle des asymptotes serait droit.

Théorème. — Si par un point M' quelconque de cette courbe on

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. i4i

mène une sécante M* N" (fig. 42), ies deux parties Af N\ M** N" de cette droite 9 comprises entre chaque branche de V hyperbole et son asymptote, seront égales.

Prenons pour axes des coordonnées les asymptotes AN'% AW et désignons par x^y^ x" y" les coordonnées obliques des points M^ M'^ de rhyperbole par lesquelles passe la sécante N' N'\ L'équation de cette droite, en tant qu'elle contient le point M^ sera de la forme

pour la même raison , on aura relativement au point M'%

{a) I et y par suite,

D'un autre côté, Phyperbole rapportée à ses asymptotes fournira, par ce qui précède , ces deux relations

lesquelles étant soustraites Tune de l'autre donnent celle-ci ,

a/ y — x" y" = o , qui peut se mettre sous cette forme ,

et qui, en vertu de la deuxième équation (a), se change en cette autre ,

Ax' (4/ — ar") -4- /' (x" - x") = o, ou

(o/— x^)(7"4-Ax') = o.

Or le premier facteur de cette équation ne pouvant être nul, il s'ensuit que ^^ -(- Ax' = o , et que , par conséquent ,

A ' c'est là l'expression de Q'N'.

Faisant ensuite/ s= o dans la première équation (a) , afin d'avoir l'abscisse x du point ^" oà la sécante rencontre l'axe AN'% on aura

"""*"= A ' c'est-à-dire la valeur de P" N''.

Donc Q'N' = P''N''; donc les deux triangles Q' M' N', P'^N'^M' sont égaux ; donc enfin N'M' = N'^ M^, ce qui est la propriété énoncée.

Il suit de là un moyen très-simple de mener une tangente à l'hyperbole rapportée à ses asymptotes , lorsque le point par lequel cette droite doit passer est donné sur cette courbe. En effet, soit m le point de contact donné {fig, 4^9 ^^* ^^)^ menez mp parallèle à l'asymptote AJ et prenez pn = A/>, la droite nmn' sera la tangente demandée.

Cela est de toute évidence d'après ce qui vient d'être démontré.

XOTIOM8 IHB OlMIMilTJUE A T&OX8 SZlIISimOini.

Bm poinUv des lîcnet et det nirfaoM don* l'eipaoe.

La position d'un point dans un plan est déterminée, lorsqu'on connaît les projections de ce point sur deux droites situées dans ce plan.

La position d'un point quelconque m {fig, 44 > ^^* ^^) ^^ Tespace esC également déterminée quand on donne les projections de ce point snr trois droites connues Xx^ Yy, Zz et qui passent par un même point A. En effet , lorsqu'un point m est donné, les pieds ^, q , n des perpendiculaires menées de ce point snr les trois droites, sont les projections de ce point snr ces droites. Réciproquement , quand les projections p^ 7» n du point m sont données, ce point est facile à construire, car en conduisant par ces projections des plans perpendiculaires aux droites Xx, Tj^, Zz, ces plans se coupent au point /it demandé. Les droites A/?, A^, A/t sont les coordonnées x, /, z du point m, les coordonnées positives sont comptées sur les axes Ax, Aj^, Az, et les coordonnées négatives sont portées en sens contraire sur leurs prolongements AX , AT, AZ. Les huit combinaisons de signes qui en résultent pour les coordonnées x^ y^ z fixent entièrement la position du point demandé.

Par exemple, pour construire le point dont les coordonnées sont

a: = i, jr=2,z = 3, on prend kp = i > A^ = 2 , A/i' =: 3 ;

on mène par les points /?, 9, n\ des plans respectivement perpendiculaires aux axes Xj:, T^, Zz; ces plans se coupent au point M demandé. Ou bien, pour simplifier cette construction, on prend A/7 = I , on tire une parallèle /?B à Taxe des^, on prend /^P =: 2, on conduit la parallèle PK à Taxe des z négatifs , on prend PM = 3, ce qui détermine le point M demandé.

Les plans des axes Xx , Y y est le plan des x, / ; le plan x Az est celui dex, z , et le plan j'Az est le plan des y , z. Lorsqu^on mène par un point quelconque m de l'espace des plans respectivement parallèles aux trois plans coordonnés, on forme un parai lélipipcde rectangle dont les côtés A/y, A7, kn sont les coordonnées x, y^ z du point m. Or ces côtés sont respectivement égaux et parallèles aux perpendiculaires /»R, mQ, /nP, menées du point m sur les plans coordonnés. Par conséquent, les coordonnées x, y^ z d'un point expriment ses distances aux plans^A z , x A z , x A^.

L'équation x zsz a détermine tous les points d*on plan indéfini mQp'P parallèle au plan zAj, ear ces points sont à la distance Ap = a du plan zAy, et aucun autre point de Tespace n'est à la distance a du plan zA^. .

L'équation y ^=^ b convient à tous les points d^in plan //tP^R parallèle au plan xAz , et z = c donne tous les points d'un plan m Q aR parallèle au ]>Ian xAy, Le système x = a , yz=z b^ détermine donc tous les points d'intersection HK des plans mQ/^P, mPçR; et l'en* semble des équations x z=z a^y^s bjZ=zc donne le point m où la droite HK rencontre le plan m Q a R.

Les équations qui déterminent tous les points d'une ligne ou d'une surface, sont les équations de cette ligne ou de cette surface; ainsi chacune des relations x = a, y ^ b, z = c est l'équation d'un plan parallèle à fun des plans coordonnés /Az, xAz, xAy : les combinaisons deux à deux de ces trois relations donnent les équations des parallèles aux axes menées par le point x, j, z, et le système x = a, yz=zby z = c donne le point m dlntersection des trois plans ntPpy

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. i43

mPq^ mQ/i. Les équations des plans s Aj^ xAzy x A/ sont

X=0, jr = 0, Z = O,

Les équations de )*axe des x sont

^ = 0, z = o; celles de Taxe des jr sont

et celles de Taxe des s, sont

Enfin , le système «=Oy/ = o, z=o détermine l'origine A des coordonnées.

Les pieds P, Q, R des perpendiculaires menées d*un point quelconque /n de l'espace y sur les plans coordonnés , sont les projections de ce poin^ sur ces plans. Deux de ces trois projections sussent pour déterminer le point m. En effet, si les projections Q, R du point /n , sur les plans xAzy y Kz sont données, les perpendiculaires QG, RF à ces plans se couperont au point m demandé ; le pied P de la perpendiculaire menée du point m sur le plan xky sera la projection du point m sur le plan des x^ Xy ^^ sorte que, connaissant deux des trois projections d'un point sur les plans coordonnés, on peut toujours en déduire la projection de ce point sur le troisième plan. Cela doit être, car les projections Q, R étant données, on connaît les coordonnées x =: kp = aj s = A/z = c, du point Q, et les coordonnées z =:: A/2 =Ct ^ = Aç=:6 du point R; les coordonnées Ay ùf c du point m sont donc connues; ce point est donc complètement déterminé, et les équations x= « , y =r ^déterminent la troisième projection P. Nous adopterons toujours ce dernier système de projections.

Les trois plans rectangulaires zKy, xAz, -^Aj^, dont les axe» X, y^ z sont les intersections, étant prolongés dans tous les sens forment évidemment huit angles tricdres égaux. Lorsque le point de l'espace est dans la région zky^t ses coordonnées sont positives. Il sera facile de déterminer le signe de chaque coordonnée , si Ton fait attention que Taxe AX prolongé au delà de l'origine A est négatif, et qu'il on est de même des autres axes AY, AZ.

équation de la ligne droite.

On détermine l'équation d'une droite par ses projections sur deux des trois plans coordonnés. Si par tons les points de cette droite, on mène des parallèles à Taxe des^ [fig' 4^» ^^' ^^)9 ^^^^^ seront dans un même plan , et leurs pieds sur le plan Zx seront en ligne droite. C'est cette ligne droite qui est la projection sur le plan de Zx de la droite dont il s*agit : sa projection sur le plan de jZ est aussi une ligne droite ^ donc, si Ton veut déterminer une ligne droite par ces deux projections, on pourra présenter ses équations sous la forme

(i) x = rtZ-Ha, x=bZ'i-f^.

Quand les coordonnées sont rectangulaires, a et ^ seront les tangente» des angles formés avec Taxe des z par les deux projections ; mais , en général , ces coefficients seront des rapports de sinus.

i44 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

' Il n'est pas inutile de rappeler ici que ces équations, considérées chacune séparément avec toute sa généralité, ne représentent pas seulement les projections de la droite , maisdenx plans respectivement parallèles aux^* et aux x. Ils sont les plans projetants de la droite ; et c'est parce qu'ils contiennent cette droite que le système des équations (i) la détermine. Il est évident d'ailleurs qu'il ne détermine qu'elle; car tous les points communs aux deux plans appartiennent à la droite.

En éliminant Z entre les équations (i), il vient

Cette équation est celle d'un plan parallèle aux z qui contient la droite. Elle représente donc le troisième plan projetant, ou, si l'on veut, la projection de la droite sur le plan de xy .

Cas partiouiiarf . ~ Si la droite passe par l'origine, ses projections y passent aussi et ses équations sont simplement

Si elle passe par un point situé sur l'un des axes, sur celui des y par exemple , il n'y a que sa projection sur le plan de xz qui passera par l'origine. Les équations de la droite sont alors

X =z az^ jr = ^z -4- p.

Quand one droite est parallèle à l'un des plans coordonnés , à celui de xy par exemple, les plans qui la projettent sur les deux autres se confondent, et ils ont pour équation unique Z = ^, tétant une constante. Il faut alors recourir à la troisième projection , et prendre pour la droite les équations

Z=^, yz=cx"hf' »

Quand la droite est parallèle à l'un des axes, à celui des z par exemple, ses équations sont

x= a, X = P* Elles sont

x = a, Z = 7, ou bien y=Pj Z =7,

selon que la droite est parallèle aux y ou aux x.

Si des équations (i) on veut déduire l'intersection de la droite avec le plan de deux coordonnées , on remarquera que dans ce plan la troisième coordonnée est zéro. De cette manière,

a = 0, x = ay 7 = P

pour l'intersection avec le plan xy ;

fi a6

pour l'intersection avec celui de xz ;

pour l'intersection avec celui deyz.

GÉOMÉTRIE ANALYtlQUE. i45

Pfoblèmeft lur la ligne droite dan* Pespaee.

Paoblkmb I. — Trouver les équations d'une droite qui passe pat deux points donnés.

Soient x', y\ z' et x", x'\ z'* les coordontiées de deux points; les équations demandées doivent être de la forme (i) jp = iï2-+-a, ^=Ô2-T-p.

Pour que la droite passe par le premier point, il faut que ces éqnations soient satisfaites en y mettant x', y\ z' au lieu de x,^-, z\ donc on doit avoir

En retranchant ces équations des précédentes » « et ^ seront éliminés et Ton aura

{i) X — x' = fl(z — z'), >• — ^'==*(i — »').

La droite représentée par ces équations remplit déjà la condition de passer par le premier point. Pour qu'elle passe aussi par le second , il faut que ces équations soient vérifiées en y remplaçant x, j , a par x", j*', «", ce qui donne

(3) x"-x' = «(a"-z')» jr--^'=i(z"-.2'); d'où

En substituant au lieu de a et de 6 ces valeurs , on obtient les équations cherchées, savoir,

on en déduit

PaoBLiMfi IL —- Trouver les équations d'une droite qui passe par un point donné et qui est parallèle à une droite donnée. Soient les équations de la droite donnée

x = flz-f-a, 7 = 62-+-P; et soient x',y, z' les coordonnées du point donné. Puisque la droite cherchée doit passer par ce point, ses équations peuvent se mettre sous la forme

a* et b' étant encore inconnus.

Quand deux droites sont parallèles, les plans menés par ces droites, parallèlement à Taxe des j, sont parallèles entre eux, et par suite leurs intersections avec le plan de xz sont aussi parallèles. Or ces intersections sont les projections des ^ux droites sur le plan de xz\ donc les coefficients de z doivent être égaux dans les équations de ces deux projections. 11 en est de même des projections sur le plan des/*; donc , pour que les droites soient parallèles, on doit avoir les condi-

i46 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

lions

a' = Oj b' = bf

par conséquent, les équations de la parallèle demandée seropc

Si le point donné est à Torigine, elles se réduisent à celles-ci ,

X = aZf jr =. bz.

PaoBx,iMR 111. — Calculer la distance entre deux points M et Ti donnes.

Soient x, r , z les coordonnées du point M , et x\ y\ z* celles du point N, la distance de ces deux points sera (P/. llyjîg, Ifi)

R = ij{x — xj ^(x ^ x'Y -\- {z^ z')\ En effet , dans le trapèze rectangle M'/i?/iI^' on a

M'N'^ = mn' +- (M'm — N'//)» = {x' — xf -{-{y — /)'. De même, dans le trapèze rectangle M'MKN' on a

m'n = m'N'V (nn' — mi'Y = (x — xj -»- (j —y)' + (z— z')%

donc

R» = (a: — or' y -+. (j — j' )' 4- (3 — z'y.

Si Ton suppose que R soit constant, et que x' ^ y\ z' soient les coordonnées du centre d'une sphère du rayon R , cette dernière équation sera celle de cette sphère, et J7, / , s seront les coordonnées d*un point quelconque de la surface.

Fremîer pnnoîpe. — Lorsqu'une droite est située dans Tespace, elle est donnée de position par ses deux projections sur deux plans coordonnés.

Soit, par exemple, MN celle droite; Téquation de sa projection horizontale M'N' sera de cette forme (j%. 46 , PI, II)

X = ax -ha^

et réqtiation de sa projection verticale sera de noéme

2 = bx -{- p.

Or> si Ton voulait avoir la projection de celte même droite sur le planc^i^, ou desyz, il faudrait éliminer x entre ces deux équations ,. car cette troisième projection est donftée par les deux autres.

Si la droite proposée devait passer par un point ayant x\ 7', a' pour coordonnées , les équations de ses projections seraient

jr--jr'=za{x'^x')y

dans lesquelles x , jr^ z appartiendraient à un point quelconque de cette droite.

Si , en outre , on Tassujeltissait à passer par un second point ayant x^\ y'\ z" pour coordonnées , on aurait évidemment

y"^y^a[x''^x'), d'oà

4l'où

x"—x" «t alors les équations précédentes deviendraient

Il faut remarquer que les valeurs ci-dessus de a et de ^ sont celles des tangentes trîgonométriques des angles que les projections de MN sur les plans xy^ xz font respectivement avec Taxe des j: , et que les constantes a, ^ seraient nécessairement nulles, si la droite passait par l'origine des coordonnées.

Bevaâème priAoîpe. — Lorsque deux droites sont parallèles dans l'espace 9 leurs projections sur chaque plan coordonné sont ellesmêmes parallèles.

Soient donc

y z=r ax '^- a, zrrftx-f-p

les équations d'une droite ; celles d'une autre droite parallèle à celle- •ci seront

^ = /ijc -h a' , z = ftj: -f- p',

a' et p' restant indéterminées , puisqu'il y a une infinité de droites qui peuvent être parallèles à la proposée ; mais elles cesseraient de l'être, si cette seconde droite devait passer par un point donné.

PROBLiME IV. — Déterminer le point d'intersection de deux droites dont on connaît les équations.

En général, deux lignes dans l'espace ne se rencontrent pas; il faut, pour que cela arrive, qu'il y ait des valeurs de x, /, z qui satisfassent à leurs quatre équations. Or il est évident qu'en éliminant les trois coordonnées j:, j, s entre les quatre équations , il restera une équation qui exprimera la condition sans laquelle les deux lignes ne peuvent avoir aucun point commun. Soient les équations de deux droites

(i) jr = /ïz-ha,

(4) r = A'z4-p'4 de(i) et de (3) on tire

de (2) et (4) on tire

Pour que les quatre équations soient vérifiées par les mémos coordonnées, il faut que les deux valeurs trouvées pour z soient égales, et

i48 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE:-

il est clair que cette conditioD suffit. Ainsi on doit avoir

a — a'^b^b'^ ou Bien

(a'a)(6 5')-(p.'-p)(«fl') = o.

Telle est la relation qui doit exister pour que- deux droites secoupenV. Quand elle a lieu, le point d'intersection est déterminé par les for^ mules (5) et (6).

Lorsque les droites sont parallèles, on a

tf' = «, b' = b,

Alors l'équation de condition est vérifiée ^ et les valeurs de x ^ y y z sont infinies.

Problème V. — Trouver Vangle de deux droites situées dans l'es» pacc et données de position par rapport à trois axes rectangles {fig» 4y » PL II).

Supposons que ces deux droites partent de Forigine a des coordonnées rectangles, et considérons a M comme Tune d^elles : cette droite sera donnée de position dans l'espace , si les angles VLaby Mac y M A// qu'elle fait avec les axes x, j, z sont connus. Pareillement, une autre droite aN serait doirnée de position , si les angles^ ^ahfîiaCyVad étaient connus.

Soient alors

Uab = X, ^ctb = %\ Macz=Yy Nflc=rY', Uad=Z, NVirf=rZ'.

Puis prenons /iKl = /zN; faisons aM = r, désignons par x, /, z les coordonnées du point M, et par x', jr\ z^ celles du point TV. Cela ])osc^ on aura

Mais d^ns le triangle aM/r, rectangle en /», on a , ei» faisait le rao^o» des Tables égal à l'unité,

an =z X ^ r CG*X ;

Je même, dans le triangle rectangle aMn\ on a

an' T=iy -=r r cos Y ; fnfin, dans le tinangle rectangle «M//", on a

an" =r 5 -= /cosZ.

Substituant cos valent^ dans la première équation ( m) , on obtient cette relation

( fl) I = cos- X H- cos' Y 4- cos-Z.

I/R seconde équation (/i/) dofinerait de même

[b) I = cos' X' 4- cos' Y' -f- cos» Z^

Ainsi la somme des carrés des cosintis îles angles qu'une droite fait avec trois axes rectangles est égal h l'unité ou an carré du rayon des Talles.

Le Irianglc aMN donne

MN'=tfMVârï'— auMXûNXcosV;

V désignant fangle des deux droites <i M , aN , on a , dans riiypolhùse actuelle ,

(x — x')» 4- (r — /)* -4- (« — »')'= a*^— ar'cos Y.

Developfiant et réduisant à Taide des formules (m), on trouve

xx' 4- y/ -^zz' :=zr^ cos V.

Enfin substituant pour x^ jr^ s, etc., leurs valeurs d-dessus> on a définitivement

(«) cos V= cos X cosX' -h cos Y cos Y' 4- «os Z cosZ',

c*est-à*dire que le cosinus de Pangle de deux droites situées dans Tcspace est égal à la somme faite des produits des cosinus des angles qu'elles forment respectivement avec chacun des axes rectangulaires , ie rajon des Tables étant toutefois pris pour unité.

On peut donner à ce résultat ime tout autre forme qu'il importe de connaître. D^abord remarquons que la projection sur le plan dos xy de la droite a M , est a M', laquelle a pour équation

y = fang(M'/i^)x=oj:.

Mais

/*,, .x M'n y cos Y

Ung(M'a^)= = - = =; =a.

"^ ' an X cosX

Par la même raison , puisque la projection verticale de ^ M est /iM", et que l'équation de cette projection est

Z=lang(M"/i^)a:= àx, on a

et il est évident que pour la seconde droite aN, dont les équations des projections sont

j^sTrt'a", z = b'xy on a pareillement

delà

cos'Y =fl»cos'X, cos'Z = A'cos'X,

cos' Y' = 41" cos» X' , cos» Z' = b'^ cos» X'. Mettant ces valeurs dans les relations a et ^ , on obtient

COSX=-7===r, cosX'=.

et, parce que Téquation (/i) peut être mise sous cette forme

„ / . cosYcosr . cosZcosZ'X . ^,

cos V = ( I H rt rn H :r^ v7 ) cosXcosX',

\ cosXcosX cosXcosX'/

il est évident qu'elle peut être changée en celle-ci ,

cos V = (i -hna'-h 6^') cos X cos X',

i5a GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE,

ou 6n cette autre ,

(/f ) cosV =

V^i + a' + b^ ^ i -i- a'^ -{- b'^ Si l*aBgle des deux droites proposées était droit , on aurait

C0SV= o,

et, par suite,