L’équation générale

Aj’4- Ba:/-|- Cx’-h Dj4ü^ -h F = o (i)

renferme six coefficients; mais, côrira^ort'peut diviser tous les termes par le coefficient d’un quclccmWRWentre eux (^our\ u que ce coefficient ne soit pas nul ), il rest^^U^ement cinq coefficients

arbitmires. Par exemple, toutes les lignes du second ordre qui ne passent pas par l’origine peuvent être représentées par l’équation

A/’4- Bxj+ C.r’+ Dj+ Éj; + I = O. (2)

Pour déterminer complètement une conique, on devra évidemment se donner, entre les cinq coefficients arbitraires de son équation, cinq équations distinctes; autrement dit, une connjue est généralement déterminée par cinq conditions.

364. Remarque. — Dans le cas de la parabole, les cqefficients A, B, G satisfont à la relation B’ — 4 AC = o; donc quatre coef- (icienls seulement sont arbitraires, c’ést-à-dire qu’«w parabole est généralement déterminée par qimtre conditions.

365. Comme application de ce qui précède, cherchons l'équation de la courbe du second ordre passant par cinq fjoints donnés A, B, C, D, E. Afin de simplifier les calculs, prenons pour axes les côtés opposés du quadrilatère formé par quatre de ces points. En même temps, représentons par fl, è, r, d les distances OA, OB, OC, OD.

La courbe cherchée ne passe évidemment pas par l’origine; donc son équation aurala-forme (2).

Si l’on fait j = o , on obtient l’équation

dont les racines doivent être a et b. On a donc, identiquement, . Cx^-t- E.r-l-i = C(.r — u)[x — ô),

d’où C =

De même, Aj’ + Dj-t-i = A(7— Z») (j^ — r/),

Au moyen de ces relations, l’équation {2) devient * ^

(j- a){x-b)-i + Bxjr = o,

OU , en chassant les dénominateurs et en représentant par > le

■produit Bflftcrf,

ab\y — r) ( J — rf) + i — abcd = o. (3)

Telle est la forme simple sous laquelle on peut mettre Véquation des lignes du second ordre qui passent par quatre points donnés.

3()6. Si la courbe doit passer par un cinquième point E , dont les coordonnées soient a, p, on aura, pour déterminer le paramètre 7, l’équation

ab{^ — <^) ( P — d]-\-cd(u — o) (a — b) — abcd = o. (4)

Tant que a et p seront différents de zéro, c’est-à-dire quand le point E ne sera situé ni sur AB ni sur CD, cette dernière équation donnera pour i un valeur finie et déterminée; en la substituant dansla relation (3), on aura l’équation de la courbe cherchée.

367. Au lieu de déterminer cette courbe par la connaissance de cinq de ses points, on peut se donner des points ou des droites remarquables situés dans son plan, tels qu’un centre, un sommet, un foyer, une tangente , un axe , une directrice , etc. Il faudra, bien entendu, que ces points ou ces droites donnent lieu à cinq équations de condition , sans quoi la courbe ne serait pas déterminée. A ce sujet, nous ferons les remarques suivantes :

1°. Un point, non situé sur la courbe, est déterminé par ses deux coordonnées; par conséquent, la connaissance d'un point remarquable équivaut à deux conditions.

2® Si une droite, donnée par son équation , doit être tangente à la courbe cherchée , on élimine l’une des coordonnées x, j, entre les équations de ces lignes , et l’on exprime que l’équation résultante a ses deux racines égales. Par suite , la connaissance d'une tangente équivaut à une condition.

3®. On voit, avec la même facilité, que la connaissance d'un axe, ou d'une directrice, ou d'une asymptote , équivaut à deux conditions.

368. Dans chaque cas particulier, on pourra mettre l’équation' de la courbe sous une forme propre à mettre en évidence la droite ou le point remarquable donné. Si , par exemple , « , p sont les coordonnées rectangulaires d’un foyer ou d’un centre connu , on représentera la courbe par l’équation

(.r — a)’-+- (j— p)*= {my + nx + pY

dans le premier cas , et par

dans le second. De même , %\ y = ax-\- b est l’équation d’une tangente donnée, on pourra prendre,, pour équation de la courbe,

( Aj-|-B.r-f-C)’4-(j — fl-c — ^) (j — — y) — O (‘);

A, B, C, /;, 7 étant des coefficients inconnus, dont un seul est arbitraire. Il est évident , en effet , que ces deux équations donnent lui seul système de valeurs de x et de j; donc la droite est tangente à la courbe.

Enfin , %\ y = ex -\-d représente une asymptote donnée , l’équation de la courbe pourra être mise sous la forme *

{y — ex — (A:r-1-B) [y — ex — d) 0. = o,

A, B, C étant trois coefficients inconnus.

En effet, la combinaison de cette équation avec

conduit à

(7 X -4- ^)’4- (Ax -t- B) (70: 4- ^ ) 4- C = O, équation dont les deux racines croissent au delà de toute limite quand les variables 7 et 5 tendent vers zéro.

ZJeux géométriques.

369. Quand, au lieu de cinq conditions, on en donnera seulement quatre, il y aura une infinité de courbes satisfaisant à la question. Si l’on suppose qu’elles se succèdent d’une manière continue, chacun de leurs points remarquables (centre, foyer, sommet, etc.) décrira un certain lieu géométrique dont on pourra chercher l’équation.

370. Premier exemple. — Trouver le lieu des centres de toutes les coniques passant par quatre points donnés. Si nous appliquons à l’équation (2), qui les représente toutes, la règle ordinaire, nous aurons , pour les équations du centre ,

cd{%x — a — è)4->j-=o, (5) ab [iy — c — rf)4-^-ï^==o. (6)

(*) y = px q représente une seconde tangente quelconque; et -t- Bx -h C = O est l’équation de la corde de contact.

ANALYTIQUE. 47g

Quand on aura donné une valeur arbitraire au paramètre À , les équations (5) et (6) détermineront les coordonnées du centre de la courbe correspondante. Par conséquent , pour trouver l’équation du lieu cherché , il sufht d’éliminer ). entre ces deux équations. On obtient ainsi

ab(‘iy — c — rl)y — cr/(2j: — a — b)x = o. (7)

a pour coordonnées

Le lieu est donc une conique. On reconnaît aisément , en discutant l’équation (7), que cette courbe passe : 1° par les points de concours O, E, F des droites qui joignent deux a deux les quatre points donnés; 1° jxir les milieux G, H , I , K , L , M rfc ce.ç dernières droites. En outre , le centre

et , par conséquent , le centre est situé au milieu commun des droites GH, IK, LM qui^oïghent les milieux des côtés opposés ou les milieux des diagonales du quadrilatère ABCD formé par les quatre points donnés, etc.

371 . Second exemple. — Lieu des foyers des ellipses tangentes à deux droites rectangulaires données, et dont le centre est un point donné.

En prenant pour axes les deux tangentes données , on pourra représenter toutes ces courbes par

[x — ay -Jr [y — = {my -\- nx pY . (1)

Les équations du centre sont

X — a. = n[my nx

J — P = m{piy -!r nx ->r p)’

Si donc «, b sont les coordonnées de ce point, on aura a — a. = n [mb na p) , (2)

b — P = /M [mb y- na p). ( 3 )

L’axe des abscisses étant une tangente , il faut que l’équation obtenue en faisant y = o dans la relation (i) ail ses racines

48o GÉOMÉTRIE

égales. Cette condition est exprimée par

De même, l’axe des ordonnées étant une tangente, on a

{mp-fr^Y= (w’- I) (5)

Si, entre les équations (2), (3), (4), (5), on élimine les paramètres TO, «, /J, on trouvera une équation entre a et [5, qui repré» sentera le lieu des foyers.

Cette élimination peut être faite comme il suit :

Les équations (4) et (5), développées, deviennent

Mais , si l’on représente par \ la quantité mb H- na -|- p, on a, par les équations ( 2 ) et ( 3 ) ,

Cette proportion donne d’abord

mb

na-\-p = \ = -i ^ '■ -+- P,

ou ‘ y? — p\ — [è (fc — P) + a(rt — a)] = o; et ensuite, au lieu des équations (4') et (5'),

(// — ^’)X’-l-2«/?(« — a)XH-(a’4- — a)*= O,

[p'‘ — a^)y? + %^p[b — + (a’ + fi’) (6 — py = O.

D’ailleurs, les trois dernières équations , dans lesquelles ^ est l'inconnue, doivent être identiques; donc

ou

et

L’élimination de p‘‘ entre ces deux dernières équations donne enfin

P’ — — 2&P + 2aa = O.

Le lieu demandé est donc une hyperbole équilatère qui passe par l’origine, et dont les axes sont parallèles aux tangentes données. Cette hyperbole a pour centre le centre donné , etc.

372. La méthode précédente est générale, mais elle conduit ordinairement à des calculs compliqués. Dans la plupart des cas , on lui substitue avec avantage un autre mode de solution, que l’on peut formuler ainsi ; Aux quatre éléments donnés, ajoutez-en un cinquième, propre à déterminer commodément le point remarquable dont on demande le lieu , et faites ensuite varier ce cinquième élément.

373. Pour éclaircir cet énoncé, reprenons la question précédente. Soient Ox, Oj les deux tangentes et C le centre commun à toutes les ellipses. Si nous nous rappelons que le lieu des projections du foyer sur les tangentes à une ellipse , est la circonférence décrite

sur le grand axe comme diamètre, nous conclurons que, pour obtenir le foyer F d’une quelconque des courbes satisfaisant aux quatre conditions données, il suffit de décrire, du point C comme centre, une circonférence rencontrant 0.r en G, O y en H , et d’achever le rectangle OGHF. Le rayon \ de cette circonférence est le cinquième élément vajiable.

Il est actuellement bien facile de former l’équation du lieu des points F donnés par la construction précédente. En effet, la circonférence IIG est représentée par

{x — «)’+ {y — bf = ■/’.

Par suite , les coordonnées du point F vérifient les deux équations (x — (r—

Égalant ces deux valeurs de on a donc, pour l’équ^ion du lieu,

y‘‘ .t’ — 7.by lax = o.

EXERCICES

I. Lieu des seconds foyers des ellipses qui ont un premier foyer donné, et qui passent par deux points donnés. (Une hyperbole ayant pour foyer les deux points donnés. )

II. Lieu des foyers des paraboles qui ont même directrice et un ' point commun. (Une circonférence passant par le point donné. )

III. Lieu des foyers des paraboles tangentes à trois droites données. (La circonférence circonscrite au triangle formé par les trois tangentes. )

IV. Lieu des centres des hyperboles équilatères passant par trois points donnés. {Le •cercle des neuf points.)

V. Une infinité d’hyperboles ont un sommet réel donné et un sommet imaginaire donné. Trouver : i° le lieu des centres; 2° le lieu des Seconds sommets réels ; 3“ le lieu des seconds sommets imaginaires; 4“ le lieu des foyers de toutes ces courbes.