Manuel des candidats a l'école polytechnique (volume 2)

Eugène Catalan

Texte issu de la numérisation d’un exemplaire ancien, non relu : quelques coquilles sont possibles. Mots reconnus : 94 %.

De quoi ça parle

Essais, discours, manifestes, pour penser et débattre. 10 h 30 (42 quarts d'heure) de lecture.

Premières lignes

Ancien Élire de PÉcole Poljlechniqne, ex-Répélltour de Céométrie detcrIpKve à eeUe École, Docteur is Sciences, Afrésc do l’UnlVersIlé, ox-Profc8»eur de Malhématlques snpérleures au l.ycéo Salnl Louis, Membre de la SoiiiÂété Plillomalhique, Correspondant des Académies des Scteacos de Teulouae, Lille, UégC^et de la SoclélA iTAgrlcuUuro de la Marne.…

Plan de lecture : 42 quarts d'heure, soit 42 jours à un quart d'heure par jour. Le site retient la page où vous vous êtes arrêté. Fichiers : EPUB.

Chapitres

• MANUEL15 min
• AVERTISSEMENT15 min
• CHAPITRE m. — Motions sur les nombres incommensurables15 min
• CHAPITRE XX — Applications de la formule du binôme15 min
• CHAPITRE XI. — Applioatioa» de» logarithme15 min
• CHAPITRE XV. — Séries logarithmiques et circulaires... i15 min
• CHAPITRE H. — Recherche des valeur» des lîgnei trlgonométrique» ■î15 min
• CHAPITRE Z*"'. — Notions préliminaires 3g15 min
• CHAPITRE XIV. — Théorie des asymptotes . ■ . Syq15 min
• Soit à diviser par Ils'agitde trouver15 min
• Problème. — K,ifectucr la division du polynôme15 min
• DEGRÉ15 min
• Le déterminant A des quantités15 min
• I. Étant donné le système15 min
• NOTIONS SUR LES NOMBRES INCOMMENSURABLES15 min
• DEGRÉ15 min
• L’équation15 min
• Si, par exemple, p — — 5, y = 6, on aura15 min
• Applications. — i". Soit jc= V 5 ± 2 \/6. On aura15 min
• X -i- x'+jr = a, xx'ry=b15 min
• Remorque. — On arrive plus rapidement à ce résultat en15 min
• III. Réduire, à un radical double, l’expression15 min
• IX. Résoudre les équations15 min
• PUISSANCES ET RACINES15 min
• rt15 min
• Division des rtidicuux de même indice. — Do l’ideiitité15 min
• De = \/y/A (5), on conclut, en remplaçant A par A15 min
• L’identité [a h) (a — b) = — // peut souvent servir15 min
• Soit proposé de réduire15 min
• IV. Simplifier la quantité15 min
• NOTIONS SUR LES SÉRIES15 min
• I .•! .1.. ® — ha15 min
• Considérons d’abord la série15 min
• III15 min
• III15 min
• ARRANGEMENTS ET COMBINAISONS15 min
• FORMULE DU BINOME15 min
• II. Le développement contient m -t- i termes15 min
• Formation des termes. — La formule {2) donne15 min
• ré ,r‘ 4- 84 ré .r* 4- 36 ré x‘‘ 4- 9 té x 4- té15 min
• APPLICATIONS DE LA FORMULE DU BINOME15 min
• Les termes du développement de ’ évidemment15 min
• S/ÎP-4-//^p'-'. j15 min
• THÉORIE DES LOGARITHMES15 min
• Dans l’équation exponentielle supposons d’abord15 min
• Si,dansr = «*, on suppose la constante rr positive et15 min
• Premier exemple15 min
• TuolSlKlili FAEMH.K15 min
• CiiNQUiKHE EXEMPLE : Bésoiulrc l'inégalité15 min
• III. Au bout de combien d’années aura-t-on amorti un capital15 min
• Si , dans l’équation à deux variables15 min
• Dérivée d’une constante. — Elle est évidemment zéro15 min
• Dérivée (P un produit de deux facteurs. — Soit15 min
• Dérivée ifun i/itolient. — De15 min
• II. Plus généralement, soit15 min
• IV. y/.r»+i + .r y/x^-.r15 min
• Dérivée de (f. — Soit y = <f15 min
• Si J = tr', on aura15 min
• Dérivée de tangx. — De r — tangx15 min
• COS15 min
• IV. r = (i 4- . En posant m = i 4- e = t15 min
• Dérivées successives d’un polynôme entier. — Soit15 min
• VJ15 min
• Former les dérivées des fonctions15 min
• V. Étant données les équations15 min
• APPLICATION DES DÉRIVÉES A LA DISCUSSION DES FONCTIONS15 min
• Discuter j = x* , la variable x étant positive15 min
• III. Discuter y = j:/ la variable x étant positive15 min
• Étant donnée une fonction on peut se proposer de15 min
• Remarques. — I. La formule (A) est en défaut dans le15 min
• SÉRIES LOGARITHMIQUES ET CIRCULAIRES15 min
• OU E15 min
• Remarque. — On a , rigoureusement15 min
• U I — XY15 min
• I -+■ tang4 a15 min
• PRINCIPES SUR LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES15 min
• Remarque. — Si quelques-uns des facteurs æ— w15 min
• Théorème. — Dans toute équation de la forme15 min
• Problème I. — Étant donné un jmlynômc15 min
• II. Un polynôme A,x"‘-1- + -|-A^, de degré pair15 min
• Application. — Soit15 min
• Problème IL — Étant donné un polynôme15 min
• RACINES15 min
• Remarques. — I. En comparant les développements (i15 min
• Applications15 min
• I.a première méthode donne15 min
• I. Transformer l’équation15 min
• TiiÉonÈHE. — i°. Toute racine entière tt une équation15 min
• CG15 min
• VI. Décomposer le nombre en quatre parties telles, que le15 min
• CHAPITRE XIX15 min
• Remarques. — 1. Si l'on arrive à un reste numérique15 min
• r"-l-8.r’+ JT- 3 F3 (.r15 min
• THÉORIE DES RACINES ÉGALES15 min
• Application15 min
• KÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU TROISIÈME DEGRÉ15 min
• D'après cela15 min
• Soit d’abord l’équation15 min
• Ckînsidérons à présent l’équation15 min
• ApjAicdlion. — A - (15, B = — On a d'abord15 min
• Troisième cas .' B < o, ou 27 y’ < o. Les binômes15 min
• NOTIONS SUR LE CALCUL DES DIFFÉRENCES15 min
• AO15 min
• DE L’INTERPOLATION15 min
• X... VI15 min
• Théorème. — Deux polruômex (,r), tiu. degré m15 min
• Azz„ = o,ooi15 min
• RECHERCHE DES RACINES INCOMMENSURABLES15 min
• CT15 min
• Al^CibbUL15 min
• DT15 min
• IM15 min
• III. ioo.r‘-l- — 59x4-ii=ro15 min
• I. Cakuler los racines do l'équalion15 min
• IV. Calcuier les racines de l’étjuation15 min
• RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS TRANSCENDANTES15 min
• Exemple I. — Hésmulrr PéqmUion15 min
• XX — / = O15 min
• Exemple III. — Kcsainlrr rth/tuitin/i15 min
• X = . . . — 3 TT15 min
• DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES15 min
• Application. — Soit15 min
• Troisième méthode. — Dans15 min
• JpplU •ation. — Décomposer —r— — — r-^ en frac15 min
• aA, (x — i)4-AJ(x’ + x) + etc. J15 min
• J 4“ Nj ) X 4- Mj ( x’ 4" • ) 4“ M15 min
• Quand on veut trouver la fonction primitive (230) d’une15 min
• Exemple II. On a vu que15 min
• DISCUSSION DES FORMULES15 min
• Soit d’abord sin x = L15 min
• Quand on cherche à exprimer le sinus ou le cosinus d’un15 min
• Problème. — Trouver sin- c/ cos - x, conuai.smut sin x15 min
• Problème. — Tnmvcr tang - x, connaissant tang x15 min
• CHAPITRE IL15 min
• AE “ BE15 min
• CO “ A15 min
• COS 6o15 min
• Application: — Si l’on suppose15 min
• Problème III. — Trouver tang^jr, connaissant tang.r15 min
• Remarque. — Si la tangente donnée /, (Pabord supposée15 min
• Soit l’équation px ->r q15 min
• Applications. — I. Soit l’équation15 min
• Quand l’équation15 min
• Application. — 2x — 5 = o15 min
• I. Résoudre (sin x — cosx) sinx15 min
• VIII. Vers quelle limite tend le rapport15 min
• X. Résoudre les équations15 min
• RELATIONS ENTRE LES ÉLÉMENTS D’UN TRL4NGLE SPHÉRIQUE15 min
• BC = FC' + (CC'- BB15 min
• HÉSOLOTION DES TRIANGLES RECTANGLES15 min
• RÉSOLUTION DES TRIANGLES OBLIQUANGLES15 min
• I . /sinwsintw — a15 min
• Deuxième cas. — On connaît les trois angles A, B, C15 min
• I -f- tang Ÿ A tang -j B15 min
• Formules de Dclambrc. — Ges formules , beaucoup moins15 min
• I. Dans tout triangle sphérique équilatéi'al15 min
• NOTIONS PRÉLIMINAIRES15 min
• CM15 min
• CN“FG15 min
• CONSTRUCTION DES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES15 min
• Monômes fractionnaires. — i“. x = — > x = ~ • De ces15 min
• Fractions à termes polynômes15 min
• Les plus simples sont15 min
• i“. X = b’’’ — c'i X = yj — f/’, etc15 min
• Soit X =: W "ï| En observant que15 min
• Soit d’abord l’équation 4- + </ = o. En supposant tou15 min
• PROBLÈMES DÉTERMINÉS15 min
• C AB15 min
• Prenons, pour fixer les idées, XO = b = -a\ supposons le15 min
• Admettons enfin que, par inadvertance, on ait supposé le15 min
• THÉORIE DES COORDONNÉES15 min
• RECHERCHE DES ÉQUATIONS DE QUELQUES LIEUX GÉOMÉTRIQUES15 min
• DE ~AE15 min
• Remarque. — A un même cosinus correspondent une infi15 min
• CO - R “ R15 min
• Premier exemple, y15 min
• Deuxième exemple15 min
• Troisième exemple. x15 min
• Quatrième exemple. y‘ = x15 min
• THÉORIE DES PROJECTIONS15 min
• AB + BC 4- . . . 4- LM + MA = O15 min
• Théorème. — Si l’on projette15 min
• TRANSFORMATION DES COORDONNÉES15 min
• OA + AP -+- PO = O15 min
• GÉNÉRALITÉS SUR LES COURBES15 min
• Soient15 min
• THÉORIE DE LA LIGNE DROITE15 min
• cos 9 I + fl cos15 min
• I -1- aa! = O15 min
• I-|-«COS0 a + COS15 min
• I -H a<2 cos15 min
• I. Dans tout triangle rectiligne15 min
• CHAPITRE XL15 min
• AC = O15 min
• Deuxième cas : B’ — 4 AC > o15 min
• I. :ii15 min
• DX -|- U15 min
• L /4AC-B’J15 min
• THÉORIE DU CERCLE15 min
• Si les axes sont rectangulaires, cos0 = o, et15 min
• Nous avons 01 = a’-i-p’-4-2apcosO = rf’ (HT); donc15 min
• CB15 min
• THÉORIE DES TANGENTES15 min
• De la formule tangV15 min
• Application au second ordre. — Dans le cas où15 min
• Sens de la convexité ou de la concavité. — Quand une15 min
• Rappelons d’abord que15 min
• II. Trouver le maximum ou le minimum de z15 min
• THÉORIE DES ASYMPTOTES15 min
• Soit l’équation à une seule inconnue15 min
• Zrt condition A = o n’est pas suffisante15 min
• Soit actuellement15 min
• Pour obtenir les branches infinies aux deux axes15 min
• peut se présenter différents cas15 min
• Soit l’équation générale15 min
• AC 2 AE15 min
• On peut vérifier que les deux droites représentées par15 min
• Remarquons d’abord que, si une branche infinie ARC a15 min
• Soit F(x,j) = o, (i15 min
• En partant des équations15 min
• Si, dans l’équation générale des diamètres15 min
• L’équation (i) donne, en général15 min
• THÉORIE DU CENTRE15 min
• Il résulte de là que si l'équation de la ne •change15 min
• Soit15 min
• B’ -4 AC ’ B>-4AC15 min
• X -I- kb’ -\-'&ab + C«’I15 min
• RÉDUCTION DE L’ÉQUATION GÉNÉRALE DU SECOND DEGRÉ15 min
• C cos’ a15 min
• B’ -4 AC15 min
• M + N)’-(M-N)’=. 4MN-4AC-B15 min
• L’équation transformée est, en supprimant les accents15 min
• MS15 min
• THÉORIE DE L’ELLIPSE15 min
• Détermination des sommets et des axes15 min
• A'P.AP15 min
• M'P OM15 min
• II. On conclut, des valeurs de ^ et 5', donc15 min
• Directrice. — Cette droite étant généralement repré15 min
• MF^MF15 min
• Le coefficient angulaire de la tangente est15 min
• Si le point M est sur le grand axe, on a p ; donc15 min
• MT et MT' étant toujours les deux15 min
• FP MF15 min
• V. La somme de ces côtés œt constante15 min
• Posant r. — = m’, nous aurons mm' = cette re15 min
• Ellipse rapportée à des diamètres conjugués. — Soit15 min
• OC15 min
• OH -1-^ HE = GD + ^ OG15 min
• CG = -OH, BH = -OG15 min
• II. Théorème.'— Le parallélogramme construit sur deux dia15 min
• Conditions nécessaires pour que l’équation Nx’= P15 min
• La règle du n° 168 donne, pour équation des asymptotes15 min
• Troisième méthode. — On15 min
• A'E-|-AE> F F15 min
• Pour que le point G existe, il faut que l’on ait15 min
• Considérons une hyperbole rapportée à un système de15 min
• Appelons y l’ordonnée El et y' l’ordonnée E'I. Nous15 min
• Seconde méthode. — Partons de l’équation15 min
• THEORIE DE LA PARABOLE15 min
• PM = PN = OC = OD15 min
• De cette valeur de la sous-normale, il résulte que15 min
• QUADRATURE DES COURRES PLANES15 min
• III. Si l’on prend y = sinx, on obtient15 min
• ÉQUATIONS DES COURBES DU SECOND ORDRE, EN COORDONNÉES POLAIRES15 min
• A cause de15 min
• SECTIONS CONIQUES ET CYLIOTJUQÜES15 min
• COS P15 min
• GP PH " PF15 min
• L’équation générale15 min
• VI. Lieu des sommets des hyperboles qui ont même asymptote15 min
• INTERSECTION DE DEUX CONIQUES15 min
• Application. — Soient les deux équations15 min
• I. Soient, comme ci-dessus15 min
• II. Comme second exemple, prenons15 min
• CONSTRUCTION DES RACINES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES15 min
• II. ( 4 — 3 x’ ) sin X — 4 cos x = o15 min
• OB15 min
• Exemple I. 7^ = i ± x \Zx + i15 min
• Exemple n. j= dz (i 4- x) y/P* (i15 min
• Exemple III. (7^ — x’)^— 9x(x — i)^ = o. (i15 min
• Points d’inflexion. — La branche AC coupant son asymp15 min
• Exemple IV. y -t- .r' -t- 8 x’ — 2000 j — 8000 = o15 min
• Exemple V. / = -; — (i15 min
• Exemple VI. y15 min
• I — COS15 min
• La branche ABE présente évidemment un point d’in15 min
• PP15 min
• GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE15 min

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