DÉFINITIONS

La GÉOMÉTRIE a pour objet la mesure de Télendue.

V étendue a trois dimensions : longueur, largeur, el épaisseur ou hauteur.

On appelle solide ou corps ce qui réunit les trois dimensions de l'étendue.

Surface , est ce qui a la longueur et largeur san5 épaisseur : une glace , un mur bien uni , un panneau de boiserie , une feuille de papier peuvent donner l'idée d'une surface , parce que l'on n'a pas besoin de fairé mention de leur épaisseur pour se rendre compte de ce5 objets.

On nomme ligne ce qui n'a qu'une longueur sans lar*

(i) 11 est de la plus urgente nécessité de bien se familiariser ave# tes mesures décimales ; la note qui se trouve à l'article illf^/rc âtl Vocabulaire suffira pour donner cette connaissance.

A LA. RÈGLE ET AU COMPAS. q3

gélir. On peut se faire une idée de la ligne géométrique, eu considérant les bords d'une feuille de papier , mais on ne peut tracer une ligne sur un tableau sans qu'elle ait une certaine largeur nécessaire pour que les yeux voient îa ligne. Ces définitions de la ligne et des points sont des abstractions mathématiques , que l'on ne peut rendre sensibles par une exécution pratique , mais que l'on comprendra d'autant mieux que les lignes que l'on trace seront plus nettes et plus fines.

La ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre. Toute ligne qui n'est ni droite, ni composée de lignes droites , est une ligne courbe.

Points , les extrémités d'une ligne ; le point n'a pas d'éteùdue.

Le plan est une surface sur laquelle prenant deux points à volonté , et les joignant par une ligne droite , cette ligne est toute entière dans la surface. On voit, par cette définition , combien il est difficile d'obtenir une surface entièrement plane, puisque la glace la mieux polie est cependant criblée d'une foule d'aspérités que décèle le microscope. Dans la pratique, on dit que la surface est plane, quand elle est suffisamment dressée pour qu'en y appliquant une règle en différens sens , on ne voie pas de jour entre la règle et la surface.

Toute surface qui n'est ni plane ni composée de surfaces planes est une surface courbe.

Exercices. — Lignes tracées sur des surfaces planes.

I4 Ligne droite ( fig. i , pl. Il), plus court chemin d'un point à un autre. — Pour tirer une ligne droite , on se sert d'une règle sur le bord de laquelle on fait glisser un crayon , une plume ou un tire -ligne, etc. ; l'instrument doit suivre le bord de la règle sans en être écarté , car, dans le cas contraire , ia ligne serait tortueuse et tremblée.

On peut s'assurer de l'exactitude d'une règle en tra-

•i4 bESSlN GÉOMÉTRIQtJÉ

çant d'abord une ligne , puis retournant cette règle bout pour bout , et l'appliquant le long de la ligne ; la règle doit , si elle est bonne , coïncider juste avec ce trait.

Si la ligne que l'on veut tirer est trop longue pour qu'il soit possible d'employer une règle, ce qui arrive fréquemment dans le tracé des épures de maçonnerie, de charpente, etc., on se servira d'un cordeau frotté de craie et tendu par les deux bouts; puis pinçant le cordeau vers le milieu de sa lougueur, en l'élevant perpendiculairement, et lâchant tout à coup, la corde va frapper la surface en y laissant l'empreinte de la ligne droite demandée.

Pour les opérations du levé des plans, des alignemens, du partage des terres, etc., où l'on doit souvent déterminer de très-grandes lignes, on se sert de jalons^ ou bâtons que Ton plante en terre de manière que l'œil étant placé un peu en arrière du premier, tous les autres se trouvent cachés par ce jalon. On jalonne une ligue en plaçant d'abord deux jalons à ses extrémités, puis cheminant par des jalons intermédiaires toujours dans la ligne des deux premiers , et qui doivent les couvrir.

1. Diviser une ligne droite en un nombre de parties égales déterminées, — Si la ligne a une longueur connue, iS centimètres, par exemple, et qu'on ait à la diviser en cijiq parties égales, on [irendra sur le double décimètre une ouverture de compas de 5 centimètres, et l'on portera cetle ouverture de compas cinq fois sur la ligne (pie l'on veut diviser; les points qui en résidteront marqueront la division cherchée. Si une ligne de 42 ctntimèlres de longueur doit être divisée en trente parties, ou comnieucera par prendre sur le double déciiuè- Ire une ouverture de compas de 7 cenlimè'res, qui divisera la ligue eu six parties; il ne rest«-ra plus qu'à subdiviser chacune de ces partie s en cinq ; mais alors ronmie le eiuquième de 7 centimètres n'est pas une quantité entière , on est obligé de recourir à des divisions plus petites : 7 centimètres valent 70 millimètres dont le cinquième est i4 millimètres. Ainsi on prendra sur la règle

A LA. REGLE ET AtT COMMPAS.

une ouverture de 14 millimètres, qui sera le cinquième demandé, ou le trentième de la ligne proposé,

La division géométrique d'une longueur AB en cinq parties égales, s'exécute par le procédé suivant (fig. 2, pl. II). Par l'extrémité A, on tirera une ligne indéfinie A C dans une direction prise à volonté, sur laquelle on portera cinq parties égales quelconques, grandes ou petites; on aura les points de division i, 2, 3, 4 et 5 : joignant le point G avec l'extrémité B, puis., menant par tous les autres points des parallèles à C B, ces droites couperont A B en cinq parties égales.

Celte opération, qui est longue, et quelquefois embarrassante, n*est pas employée par celui qui a l'habitude de se servir du compas; il ouvre cet instrument d'unequanlité qu'il juge à Tœil être la fraction demandée; et, portant j)lusieurs Uiï^ successivement celte mesure, il arrive promptemenl, en la diminuant ou l'augmentant, à obtenir l'ouverture convenable.

Il faut, en général, éviter de vouloir diviser, du premier coup, une ligne et un trop grand nombre de parties. On obtiendra un résultat plus exact et une perte de tem[)s moins grande, en opérant par subdivisions, quand cela sr-ra possible, e'esl-à-dire quant b nombre de parties égales demandé sera le produit de la multiplication de d(^ux autres. Par exemple, pour partager une ligne en vingt-huit parties, comme 28 est deux fois 14, ou 2 multiplié par 7 deux fois, on la divisera d'abord en deux parties, et chacune d'elles en sept parties; puis enfin, chacune de ces sept parties en deux.

3. Tracer une ligne courbe, — Toute ligne qui n'est ni droite ni composée de lignes droites est une ligne courbe (fig. 3 pl. II).

4. Tracer une ligne brisée. — Une ligne composée de lignes droites est une ligne brisée . fig. 4).

5. Tracer une verticale et une horizontale. — La ligne verticale est celle qui a la direction du fil à plomb. \a ligne hoi izonlale ei>t perpendiculaire à la verticale.

a 6 DESSIN GÉOMETRlQtJE

6. Tracer une circonférence^ un cercle, un diamètre, uu rayon, un arc, une corde, un segment, un secteur.

La circonférence du cercle est une ligne courbe dont tous les points sont également distans d'un point intérieur nommé centre.

Le cercle est la surface enfermée par cette ligne courbe.

Diamètre, ligne droite qui traverse le cercle, de ses extrémités à la circonférence , et qui passe par le centre , AB(fig.29,pl. II).

Rayon, ligne tirée du centre à la circonférence ; c'est un demi-diamètre, CD, ou AC, ou BG (fig. 29, pl. II)*

Pour qu'une circonférence soit double ou triple d'une autre, il faut la décrire avec un rayon double ou triple de celui de la circonférence donnée ; en général, les circonférences sont dans le même rapport , que les rayons.

Arc, portion de la circonférence telle que ABC (fig. 3o, pl. II).

Corde ou sous-tendante de Tare; ligne droite A C qui joint les deux extrémités de l'arc.

Segment, surface ou portion de cercle comprise entre l'arc et la corde.

Secteur, est la partie du cercle comprise entre un arc A B et deux rayons A C et B C menés aux extrémités de l'arc (fig. 3r, pl. II).

7. Tracer une perpendiculaire sur le milieu d'une droite donnée. — Un point quelconque pris sur une perpendiculaire élevée au milieu d'une ligne, est tou* jours à une distance égale des deux extrémités de celte ligne. Celle propriété commune à tous les points de la perpendiculaire élevée sur le milieu d'une ligne, sert de base aux différens tracés de perpendiculaires que nous allons donner dans cet exercice et dans les suivans.

Soit demandé de tracer une ligne perpendiculaire sur le milieu de la ligne A B (fig. 5, pl. II). Des points A et B, pris tour à tour comme centre, et avec un même rayon AB, ou tout autre rayon plus long que la moitié de A B, on tracera deux arcs de cercle en dessus et en dessous de

A B et qui se couperont au point C au-dessus de A B et au point D (i) au-dessous de A B. Si, par les deux points C et D, on tire la droite G D, elle sera la perpendiculaire demandée , et coupera A B dans son milieu.

Ce procédé sert à trouver le milieu d'une longueur A B, c'est-à-dire à couper la droite A B par moitiés.

Les obliques A C, A D (fig. 27, pl. Il), qui sont également écartés du pied B de la perpendiculaire A B sont égales. Le point A est un point quelconque de la perpendiculaire et pour que les obliques qui partent de ce point, AC, AD, soient égales, il suffit que B C et B D soient égales.

8. Par un point donné A. hors d'une droite B C, mener une perpendiculaire à cette droite (fig. 6, pl. II). — Du point A comme centre, et d'un rayon indéterminé mais suffisamment grand , tracez un arc qui coupera la ligne B C aux deux points D et E ; de ceux-ci comme centre , et avec un rayon D E ou tout autre rayon plus grand que la moitié de D, tracez deux arcs de cercle qui se coupent en F, en dessous de la ligne B C, et la ligne A F sera la perpendiculaire demandée.

Les arcs de cercle se coupent aussi au-dessus de A, et le point A et les deux points d'intersection des arcs sont en ligne droite. Mais comme il suffit de deux points pour déterminer une ligne droite et que A est donné, l'intersection F suffit.

9. Par un point donné sur une droite, élever une ptrpendiculaire 7, pl. II). — Soit le point C donné, il

(1) Le point où deux lignes ou deux arcs se coupent s'appelle point d'intersection.

Pour que les arcs puissent se couper en dessus et en dessous de A B , il faut que leur rayon soit plus grand que la moitié de A B. Si le rayon était la moitié de A B , les arcs se toucheraient sur la ligne même A B en son point milieu ; si le rayon était plus petit que la moitié de A B , les arcs ne se rencontreraient même pas.

as DESSIN GÉOMÉTRIQUE

faut marquer de chaque côté de ce point sur la ligne A E, et à des distances égales de C, deux nouveaux points D, E, et, avec un rayon D E ou tout autre rayon plus grand que la moitié de D E, décrire deux arcs qui se coupent en F ou en G, tirer C F ou C G, qui sera la perpendiculaire demandée.

lo. Elever une perpendiculaire à V extrémité d'une ligne que ton ne peut prolonger ( fig. 8 , pl. II ), — Posez la pointe d'un compas en un point quelconque C, hors de la ligne D B; puis, ouvrant les branches de la quantité C D, décrivez la portion de circonférence D B F; menez le rayon D C qui, prolongé jusqu'à la rencontre de la circonférence, deviendra le diamètre D F et joignez F B, la droite F B sera la perpendiculaire cherchée.

L'angle DBF qui a son sommet B sur la circonférence et dont les deux côtés D B, F B s'appuient sur un diamètre, est un angle droit : il a pour mesure la moitié de la demi-circonférence, ou le quart de la circonférence.

Toutes les fois que le point donné par lequel on doit élever une perpendiculaire, n'est pas sur une extrémité que l'on ne peut prolonger, on peut se servir du tracé précédent (n** 9).

I r . Tracé des parallèles ; par un point donné mener une parallèle à une ligne donnée , mener plusieurs parallèles à une même ligne. — Deux lignes droites A B , C D (fig. g. Pl. II ), qui, coupées par une troisième E F, située dans un même plan , font , avec celle-ci des angles EGB,DHE(i), égaux dans le même sens , ne se rencontrent pas, à quelque distance qu'on les suppose prolongées ; elles sont dites parallèles.

Deux lignes droites perpendiculaires à une troisième

(i) Quand on veut désigner un angle, on indique ia lettre du sommet , entre les deux lettres qui sont placées sur les côtés. Ainsi , l'angle E G B est celui dont le sommet eal en G , et dont les côtés tout E G, GB,

A LA RÈGLE ET AU COMPAS. 2 g

sont parallèles entre elles, et des parallèles sont partout à la même distance l'une de l'autre.

Deux lignes droites , parallèles à une troisième, sont parallèles entre-eiles.

Une droite que ne rencontre jamais un plan, ou qui n'en est jamais rencontrée, est dite parallèle à ce plan.

Pour mener du point C ( fig. lo, pl. II) une ligne CD parallèle à la droite AB , on posera la pointe d'un compas sur un point quelconque N de celle-ci, on décrira un arc de cercle M C qui passe par le point donné C : on ouvrira pour cela le compas d'une quantité égale à la. distance G N; cela fait, conservant la même ouverture, et posant la pointe en C, on décrira l'arc indéfini N D : enfin, prenant la distance M C , et la portant sur l'arc N D , on obtiendra le point D , et la ligne droite C D sera la parallèle demandée.

Ou peut , dans les opérations ordinaires ; se servir de Téquerre pour tracer des lignes parallèles; cet ins= trumenl a la figure d'un triangle ( fig. ii, pl. II); on le place de manière à n'avoir besoin que d'un point pour chacune des parallèles que Ton veut tracer , et qui s^oblieut en faisant glisser ré(|uerre contre une règle. Par exemple, on veut ( fig. 12 , pl. II ) , par les points R, S et T, tractîr les lignes AR, BS, (!T parallèles à la ligne donnée DE, on ajuste le côté F G de l'équerre ( ou le côté F K suivant la longueur des lignes qu'il faut faire ) sur la ligne D E ; puis on appuie la règle H I sur un autre côté de l'équerre le long de cette règle en maintenant celle-ci fixe et en appuyant l'équerre sur son bui d. Veut-on tirer d'autres lignes au-dessous de L M , encore parallèles à D E , appuyant un peu sur la règle H I , on fera glisser l'équerre jusqu'au point par lequel ou veut faire passer la parallèle ; et s'il s'agit de la mener eu L M, on maintiendra l'équerre et on fera descecidre la règle le long de son côté , de manière à pouvoir ensuite faire descendre l'équerre le long de la règle jusqu'en L M. La pratique apprendra qu'il faut trois doigts posés sur la rè^le , le doigt du milieu , l'annulaire et i'auriculairf s

l'index sera dans le trou de l'équerre , et le pouce sur l'angle de la ligne oblique de l'équerre.

« Nous croyons devoir remarquer ici qu'on ne doit jamais se servir de l'équerre pour élever des perpendiculaires , comme on a souvent la négligence de le faire : il est vrai que ce moyen est expéditif , mais il est trèsrare qu'il soit juste ; d'ailleurs , les opérations graphiques de la perpenfîiculaire sont si promptes , qu'il n'y a que la paresse qui puisse s'en dispenser , quand le dessin demande un peu de précision.

te On donne souvent à l'équerre la forme d'un triangle isocèle , de manière que le grand côté oblique sur ceux de l'ange droit, fasse un angle juste de 5o° degrés centigrades ; et comme il est d'usage , dans les dessins graphiques , de supposer la direction des ombres à ôo®, celte équerre sert à mener les parallèles qui déterminent les ombres , l'équerre donnant ainsi à-la-fois par ses trois côtés , l'horizontale , la verticale , et l'oblique de 5o°, L'angle droit est déterminé par l'horizontale et la verticale, et chacun des autres angles de la surface de l'équerre est la moitié d'un angle droit.

On se sert aussi à!eqiierre mobile dont les angles peuvent varier, et cette équerre mobile est composée de deux morceaux de bois , l'un en forme d'équerre . et l'autre en parallélogramme ; ils sont réunis ensemble par un clou de cuivre rivé ou à vis , et par une vis et son écrou aussi en cuivre ; le clou rivé servant de pivot , la partie en forme d'équerre et de règle pourra s'obliquer plus ou moins avec celle en parallélogramme , et se fixer à telle ouverture d'angle que l'on voudra, par le moyen de la vis , que l'on pourra serrer en la tournant dans son écrou.

12. Tracé des triangles, — Il faut au moins trois lignes droites qui se coupent deux à deux pour limiter un plan de tous cotés ; ainsi le polygone de trois côtés ^st le plus simple de tous , il s'appelle triangle.

Triangle équHatéral^ celui qui a ses trpis côtés égau;^

A LA RÈGLE ET AU COMPAS. 3l

Triangle isocèle , celui qui a deux colés seulement égaux (fig. i5, pl. II).

Triangle scalène , celui dont les trois côtés sont inégaux ( fig. i6, pl. II).

Triangle rectangle , qui a un angle droit ; le côté A C ( fig. 1 7, pl. II , opposé à l'angle droit , se nomme hypotenuse.

La somme des trois angles de tout triangle est égale à deux angles droits.

Construire un triangle équilatéraL — Après avoir tiré une droite A B ( fig. 14 , pl. II ) , égale au côté du triangle demandé ; des deux extrémités. A et B comme centre , et d'un rayon égal à ce même côté A B , décrivez deux arcs de cercle qui se couperont en C , tirez A C , B C , et le triangle équilatéral sera construit.

Construire un triangle rectangle isocèle. — Après avoir tracé un angle droit , à l'aide de deux droites perpendiculaires Tune sur l'autre , on prend des parties égales sur les côtés perpendiculaires l'un à l'autre , et on tire par les extrémités ainsi définies la ligne qui ferme le triangle. ( Voyez fig. 29, pl. I.)

Construire un triangle scalène (fig. 18 , pl. II). — Soit le triangle A B C à copier ; tracez une ligne droite A G égale au côté A G du triangle donné ; du point A comme centre , et d'une ouverture de compas égale à A B, tracez un arc de cercle ; puis du point C comme centre , et d'une ouverture de compas égale à CB , tracez un arc de cercle, le point d'intersection de ces deux arcs sera le sommet B cherché.

i3. Tracé des quadrilatères. — Le quadrilatère est une figure ayant quatre côtés et quatre angles.

Le carré a les côtés égaux et les angles droits ( fig. 19 ,

Le rectangle a les angles droits sans avoir les côté^ égaux (fig. 20, pl. II).

Le parallélogramme a les côtés opposés égôMX et P*!?;

}'MUèiçs(;fig,5ii,pi. II), ' '

3!i DESSIir GÉOMÉTRIQUE

Le losange ( fig. 22 , pl. II ) est un parallélogramme dont les quatre côtés sont égaux.

Le fra^^^e a seulement deux côtés parallèles ( fig. 23,

pl. II).

On appelle ^//a^o?2a/e, une ligue qui, dans un quadrilatère, joint les sommets de deux ang'es opposés.

Les deux diagonales d'un rectangle sont égales.

Construire un carré 19, pl. II). Tracez un angle droit, prenez ses côtés égaux, et achevez le carré par deux parallèles qui seront égales.

Les diagonales du carré sont égales et se coupent à angles droits.

Pour obtenir le carré A B C D (fig. 24, pl. II), tracez une ligne droite indéfinie A B, élevez au point A une perpendiculaire A C de longueur indéterminée, marquez sur A B et sur A C la longueur que devront avoir les côtés du carré; par chacun des deux points ainsi déterminés, on tirera une parallèle au côté opposé. Le carré sera bien tracé si k'S quatre côtés sont égaux; si les diagonales sont égales et se coupent à angles droits.

On peut encore tracer une ligne A B (fig. 2 5, pl. II) sur le milieu de laquelle on élèvera une perpendiculaire C D; prenant une ouverture de compas égale à la moitié de la longueur que doit avoir un des rôlés du carré, et du point d'intersection E comme centre, on décrira quatre arcs, de cercle F, G, H, I; de ces points et avec la même ouverture de compas, on tracera de nouveaux arcs qui se couperont aux intersections K, L, M, N, et joignant par des droites ces quatre points on aura trèsexactement la figure demandée qui se trouvera même divisée en quatre autres carrés égaux, dont chacun sera le quart du carré total.

On obtiendra encore un carré en traçant une circonférence de cercle, et deux diamètres perpendiculaires (fig. '-ï6, pl. II); les cordes qui joindront les extrémités àe ces droites forment le carré.

Çpnstruire un rectangle fig. 20, pl. H)).— Tracez deux

lignes parallèles indéfinies A B, C D, abaissez une perpendiculaire en A C et sa parallèle B D, et le rectangle sera fait. On peut s'assurer, lorsqu'on a exécuté celle construction, si les angles sont droits et les côtés parallèles, en mesurant les deux diagonales A D, C B qui doivent être égales.

Diviser un rectangle en parties égales. — - Il suffit d'en diviser la base en autant de longueurs égales, et d'élever des perpendiculaires à chaque point de division.

Construire un parallélogramme. — On tire deux lignes parallèles, puis, dans une autre direction, deux outres parallèles. La base est l'un quelconque des côtés déterminés par les sections de ces quatre ligues ; une perpendiculaire à cette base donne la hauteur.

Construire un losange (fig. iol, pl. II). — Tracez deux droites perpendiculaires A B, C D, marquez les parties E C, E D égales, puis E A, E B égales entre elles ; joignez par des droites les quatre points A, C, B, D, ainsi arrêtés, les quatre côtés seront égaux et parallèles deux à deux. Les diagonale? du losange se coupent à angles droits.

Construire un trapèze dont les hases et la hauteur soient données (fig. 28, pl. II). — Soit la ligne A B la hauteur du trapèze, par les points A et B menez les horizontales C D et E F égales en longueur aux bases données et de manière que les points A et B en soient le milieu, vous déterminerez aussi les quatre extrémités des bases G, H, I, J, et enjoignant G I et H J, G H IJ sera le trapèze demandé.

i4. Tracé des polygones — Nous avons tracé le triangle, (polygone de trois côtés) le quadrilatère (polygone des quatre côtés); tout polygone peut se décomposer à l'aide des diagonales partant d'un même sommet, en un certain nombre de triangles, et les tracés donnés pour les triangles suffisent pour le tracé d'un polygone quelconque.

Polygone équilatéral, celui dont tous les côtés sont égaux.

Polygone équiangle ^ celui dont tons les angles sont égaux.

Tout polygone qui est à-la-fois équiangle et équilaléral s'appelle polygone régulier.

Les polygones réguliers se tracent à l'aide d'une circonférence que l'on divise en parties égales. Le pentagone régulier est celui formé par les cordes de cinq arcs égaux d'une même circonférence; Thexagone régulier est formé par les cordes de six aies égaux d'une même circonférence. Il sera bon de s'exercer aux tracés des po'ygones de toute espèce, et pour ces tracés, les exercices précédens suffisent dans tous les cas.

i5. Tracé des figures inscrites et circonscrites au cercle.

Angle inscrit au cercle ^ celui dont le sommet est à la circonférence, et qui est formé par deux cordes ABC (fig. 33, pl. II).

Triangle Inscrit, celui dont les trois angles ont leurs sommets à la circonférence ABC (fig. 34, pl. II).

En général, une figure inscrite est celle dont tous les angles ont leurs sommets à la circonférence; en même temps on dit que le cercle est circonscrit à cette figure.

Sécante, ligne qui coupe la circonférence en deux points A, B fig. 35, pl. II).

Tangente, ligne qui n'a qu'un point de commun avec la circonférence : telles sont C D (fig. 2 5, pl. II) et A B (fig. 36, pl. II) : le point commun s'appelle point de contact. La tangente est perpendiculaire au rayon mené par le point de contact.

Un polygone est circonscrit à un cercle, lorsque tous ses côtés sont des tangentes à la circonférence; dans le même cas, on dit que le cercle est inscrit dans le polygone.

Dans le même cercle ou dans des cercles égaux , les arcs servent de mesure aux angles qui ont leur sommet au centre, c'est-à-dire que lorsqu'un angle est double ou triple d'un autre, l'arc compris entre les côtés du premier

est double ou triple de l'arc compris entre les côtés du second : dans des cercles quelconques, les angles sont mesurés par les arcs compris entre leurs côtés, parce que ces arcs sont toujours dans le même rapport que les angles.

Ainsi l'angle au centre A C D (fig. 29, pl. II ) a pour mesure l'arc A D : c'est-à-dire le nombre de degrés, minutes et secondes contenus dans cet arc , et l'angle inscrit ABC (fig. 33, pl. II) a pour mesure la moitié de l'arc A C, c'est-à-dire la moitié du nombre de degrés, minutes et secondes contenus dans cet arc.

On a divisé la circonférence du cercle en quatre cents parties égales appelées degrés, le degré en 100 minutes, et la minute en loo secondes. Avant l'adoption du système décimal, la circonférence était divisée en 36o degrés, le degré en 60 minutes, la minute en 60 secondes; un angle droit avait donc 90 degrés ou le quart de la circonférence ; cette division est encore employée dans beaucoup de cas, et la routine la fait toujours servir à des usages que l'adoption de la nouvelle division simplifierait beaucoup.

Tout angle qui a son sommet à la circonférence a pour mesure la moitié de l'arc compris entre ses côtés; ainsi l'arc ABC formé par deux sécantes (fig. 33, pl. II) a pour mesure la moitié de l'arc A C et l'angle C B A formé par une tangente A B , et par une sécante C B, qui se coupent sur la circonférence, a pour mesure la moitié de l'arc B C renfermé dans l'angle (fig. 36.

pl. II).

16. Vérifier au compas le tracé d'un cercle. — On se sert d'un compas armé d'un tire-ligne ou d'un crayon, et posant la pointe sèche de ce compas sur le point qui doit être le centre du cercle demandé, on fait tourner l'autre branche , sans secousses, également, et sans appuyer ; la ligne tracée par le lire-ligne où le crayon doit se confondre entièrement avec la circonférence, si le cercle est bien tracé.