Diviser la circonférence d'un cercle en huit parties

36 DESSIN GÊOMÉTRIQtîî,.

égales. — Chacun des arcs éi^aux doit être le huitième de 400° ou 5o*'. Deux diamètres perpendiculaires divisent la l'ircout'érence en quatre parties éj^ales.

18. Faire un arc do ible d'un arc donné. — Deux arcs décrits avec le même rayon , sont égaux lorsqu'ils ont leurs cordes égales A C, I) F (^lig. 3;, pl. II) ; donc en portant l'ouverture de compas A C deux ou trois fois sur le prolongement de l'arc D F, celte ouverture donnera deux ou trois arcs égaux à l'arc D F ; et joignant le dernier point de d vision H au centre E, on aura un angle HE D double de A B C; ce procédé sert à faire un arc triple, quadruple, quintuple, etc., d'un arc donné.

19. Faire un angle double d'un angle donné. — Pour obtenir cet angle il suffit de tracer un cercle dont le sommet de l'angle suit le centre, et de prendre un arc double de celui (ju'embrasse 1 angle donné. On obtient d<' même un angle triple, quadruple, etc. , d'un angle donné.

•io. Diviser un arc par moitié (fjg. 38, pl. II). — Des extrémités B, C, conmie centres, et avec un rayon indéterminé, tracez deux arcs de cercle qui se coupent en D ; la droite A D divise l'arc C B en deux parties égales.

Le même procédé sert à diviser l'angle B A C en d^uix parties égales.

21. Mener une tangente à un cercle par un point A donné sur ce cercle (fig. 39, pl. II). — Tracez le rayon B A, el une perpendiculaire A C sur ce rayon au point A; elle sera la tangente demandée.

22. Figure circonscrite au cercle. — Il suffit de diviser la eirconférence en autant de parties que la ligne a de côtés el de mener des tangentes à chaque poiul de division. On circonscrit un triangle avec troi^ tangentes, un quadril itère avec quatre tangentes, un pentagone aveccincj tangentes, etc.; quand les divisions de la circonférence sont égales entre elles, la figure ciiconscrile est régulière, c'est-à-dire que les angles sont égaux entre eux et les côtés é$aux entre eux.

2 3. Mener une tangente au cercle par un point pris au-dehors du cercle. — Soit A (fig. 40, pi- II) le point donné : i' fant tirer la droite A C qui joint ce point A au centre, et sur cette longueur A C comme diamètre, tracer la circonférence B A D qui coupe la circonférence donnée en deux points B et D : tirez A B et A D qui seront toutes les deux des tangentes menées par le point A au cercle C. La corde B D est perpendiculaire au diamètre A C et l'arc B I D est coupé en deux parties égales au point I.

24. Construire un hexagone régulier. — Il ne s'agit que de diviser la circonférence d'un cercle en six parties égales, et pour cela il faut porter le rayon du cercle six fois sur la circonférence, la sixième fois la pointe du compas retombera exactement sur le point de départ (fîg. 41, pl. II). Les cordes de ces six arcs formeront la figure demandée.

Si l'on joint les points que l'on vient d'obtenir seulement de deux en deux, on aura un triangle équilatéral (fig. 41, pl. 11).

On fera bien de s'exercer au tracé du pentagone régulier, de l'octogone, du décagone etc., tracés qui n'ont rien de difficile si l'on a bien compris et si l'on sait exécuter tous les tracés précédens.

25. Décrire des cercles tangens lun à l'antre. — Ayant tracé une circonférence , ou mène un diamètre que l'on prolonge indéfiniment en deboi s du cercle. Ce diamètre coupe la circonférence en deux points et tous les cercles qui auront leurs centres sur le diamètre prolongé et qui passeront par l'un de ces points, seront des cercles tangens au premier cercle tracé. On voit qu'en menant plusieurs diamètres on peut avoir plusie»u^s systèmes de cercles tangens l'un à l'autre.

Deux cercle* sont tangens quand la distance des centres est égale à la somme des rayons.

Deux cercles se coupent quand la distance des cen^ très est moindre que la somme des rayons,

Deux cercles ne se touchent pas quand la distance des centres est plus c;rande que la somme des rayons.

26. Inscrire un cercle dans un triangle donné ÀBC ( fîg. 42, pl. II). — Coupez par moitié deux angles du triangle par des droites; AD pour A, CE pour G; le point F où se couperont ces lignes sera le centre du cercle cherché ; la perpendiculaire F G sera le rayon , comme aussi F E et F D. Le centre F et le rayon F G étant connus, on décrira le cercle qui sera tangent aux trois côtés. Si Ton joint B F, cette droite divisera l'angle B en deux parties égales.

27. Faire passer une circonférence de cercle par trois points donnés ABC (fig. 43, pl. II). — Il faut tirer les lignes droites AB, BC, snr le milieu de ces lignes, élever les perpendiculaires D E el FG, le point H où elles seront coupées sera le centre du cercle demandé. Les distances de ce points H aux points donnés A, B, C, seront égales entre elles, el constitueront le rayon de celte circonférence.

Celte opération sert aussi à circonscrire un cercle à un triangle, ou même à un polygone régulier quelconque.

On peut trouver par le même moyen le centre d'un arc donné; il faut y marquer trois points, et se proposer d'y marquer la circonférence qui les unil.

28 Tracer une droite tangente à deux cercles qui ne se coupent pas. ( fig. 44 5 pl« H)- — Tracez une ligne droiie ABC qui joindra les centres A et B de deux circonférences : menez deux rayons parallèles quelconques AD et BE, et la ligne DE qui passe j)ar leurs extrémités; cette ligne D E prolongée coupera la droile A C en un point F; si par le point F on mène une tangente F G à l'une des circonférences, elle le sera nécessairement à l'autre. Si par le point de tangence T on mène TT' j^erpendiculaire à AC, et que l'on joigne C T', CT' sera tangente aux deux cercles.

29. Tracer une ellipse, (fig. 45, pl. II). — Tirez d'abord deux lignes perpendiculaires AB et CD sur Tes-

A LA RÈGLE ET AU COMrAS. 3 9

quelles vous marquerez la largeur B A ou le grand axe de l'ellipse proposée, et sa hauteur € D ou le petit axe; il y a trois moyens pour tracer la courbe :

1. Sur le bord d'une règle FG, (fig. 4ij,) ou même d'une bande de papier fort, on portera les longueurs des demi-axes F H, F I à partir du bout F, c'esl-à dire F H égal à E x\ , et F I égal à E C ; on aura donc sur la règle les points H et I.

Présentez le bord delà règle de manière que le point I tombe quelque part sur le grand axe A E en môme temps que le point H sera sur Tun des points du petit axe CD : l'extrémité F de la règle sera sur l'eîiipse ; en lournant la règle de toutes les manières possibles , sans cesser de satisfaire à la condition énoncée , et marquant le bout F sur le plan de la figure , on aura autant de points qu'on voudra, qui, joints par un trait continu, formeront l'ellipse.

2. Après avoir tracé , comme ci-dessus , les deux axes AB, CD (fig. 46 , pl. II ) , on décrira , du centre E , deux cercles concentriques EF, EG , qui aient ces axes pour diamètre : c'est entre ces deux courbes qu'est enfermée l'ellipse qu'on veut tracer. Menez un rayon EU et une perpendiculaire IH sur l'axe AB; ces lignes passant en un point quelconque H de la circonlérence extérieure , puis par le point K , où ce rayon rencontre le petit cercle, menez K L parallèle à l'axe A i', vous aurez le point L de l'ellipse. La même opération donnera autant de points qu'on voudra de cette courbe.

3. De l'exlrémilè du petit axe ( fig. 47 , pl. II) , prise pour centre , el avec le demi-grand axe AE , pour rayon , tracez l'arc FF', les poins F et F' sont nommés fojers ; puis prejant un fi] ou un cordeau , dont la longueur soit AI), fixez-en les deux bouts , l'un en F, l'autre en F', en tendant le fil avec une pointe pour lui faire prendre la figure d'un angle F' G F, le point G appartiendra à l'ellipse.

Ce dernier procédé est particulièrement applicable aux grands tracés, |)our le jardinage ou les décoralious.

3o Tracer une courbe dite anse de panier.. — Après avoir tiré deux perpendiculaires AB , C D , ( fig. 48 , pl. II ) , il faut joindre A C , C B , et porter E G en E F et E G; A F fera la différence des demi-axes, que l'on prendra en CH et C I; au milieu de Hx^ et de IB on élèvera des perperdiculairesK L , M L, qui se couperont en un point L sur la ligne C D. Ce point L sera le centre de l'arc de cercle NCO : les points P et Q seront les centres des deux arcs A N et OB, qui se raccorderont avec le premier arc NCO.

Nous aurions pu multiplier les exemples de tracés géométriques, mais ceux que nous venons de présenter nous paraissent suffisans pour exercer la main et l'œil à ces sortes d'opérations, et pour mettre à même de construire toutes sortes de figures tracées sur des surfaces planes ; l'exercice seul peut aprrendre à construire toute espèce de figure géométrique avec facilité et précision , et ce n'est que par cet exercice , que nous conseillons de pratiquer souvent et de répéter , soit avec la règle et le compas , soit à la simple vue , que l'on peut parvenir à des tracés corrects , dans lesquels les lignes de crayon ou d'encre, soient nettes et précises, et les points d'intersection positivement arrêtés.