Diviser en quatre parties égales une ligne verticale

— On voit au premier abord que les moyens d'exécution et de vérification sont les mêmes que ceux indiqués dans les exemples précédens.

9. Tracer des lignes parallèles et équidistantes. — La première ligue A ( fig. 4 , pl. I ) étant tracée , la distance qui doit séparer toutes les lignes étant indiquée par un intervalle A B, on tracera la seconde ligne, et, plaçant le point G , de sorte que A B soit égal à B C , on fera la troisième, et ainsi de suite : on vérifiera si ces distances sont égales , et si les lignes Sont parallèles , en mesurant avec le compas si l'espace qui les sépare en haut et en bas est partout le même. Il est important de se familiariser avec cette opération , et de l'exéduter pour des lignes horizontales et verticales de grandeurs différentes et plus ou moins rapprochées.

Quand on sera sûr de pouvoir tracer des parallèles équidistantes de même longueur, on devra s'exercer à

A LA SmrPK VUE ET A LA MAIN. II

tracer des parallèles inégales de longueur et à dislances variables.

I o. Copier une ligne oblique, — Ayant acquis le sentiment de la verticale et de l'horizontale , il sera facile de tracer une ligne quelconque , et si l'on n'a pas sous les yeux une ligne qui s'écarte à-la-fois de la verticale et de l'horizontale , on tracera au hasard sur le tableau une ligne de longueur et de direction quelconque ( fig. 5 , 6 et 7, pl. I ), et Ton cherchera à faire une copie de cette ligne , en lui donnant la même direction et la même longueur que celle du modèle.

11. Joindre deux points par une ligne droite, — Placez au hasard sur le tableau deux points A , B , (fig. 8 , pl. I ) , et tracez une ligne de l'un à l'autre ; vérifiez ensuite avec la règle si la hgne est bien droite : cet exercice est très-utile pour apprendre à tracer des droites dans toutes les directions.

12. Tracer^ par un point donné, une ligne droite parallèle à une autre. — La ligne A B ayant été tracée sur le tableau , et le point C marqué ( fig. 9 , pl. I ) , on essaiera de tracer une ligne D F, qui soit parallèle à la première , et l'on vérifiera avec le compas si l'on a bien réussi.

Le parallélisme de deux lignes peut se vérifier avec une équene et une règle ; on place l'équerre contre l'une des parallèles , on appuie la règle contre l'équerre , puis on fait glisser l'équerre , qui , dans ses différentes posir sions, indique toujours des parallèles à sa première position.

13. Tracer une ligne horizontale qui coupe a angle droit une ligne verticale. — Tracez la ligne verticale A B (fig. 10, pl. I), puis la ligne horizonale CD; si ces lignes sont tracées , comoie l'indiquent les noms qu'elles portent, les quatre angles qu'elles forment seront égaux et droits , c'est-à-dire que la ligne B A sera perpendiculaire sur la ligne C D , ce que l'on vérifiera avec le rapporteur ou avec une équerre.

X 4 . Elever une perpendiculaire sur une droite , en ur\

la DESsrir géométriqite

point donné, - — La ligne horizontale A B ( fig. 1 1, pl. I) étant tracée , marquez le point donné C sur cette ligne , et sur ce point, élevez verticalement une ligne C D : celte ligne C D sera perpendiculaire sur A B , avec lequel elle forme deux angles droits : ce qui pourra être vérifié à l'aide du rapporteur ou de l'équerre. Il est bien entendu que toute vérification faite avec l'équerre dépend de la justesse de cet instrument , et doit être contrôlée par les tracés géométriques dont nous parierons lout-à-l'henre.

15. Tracer une ligne perpendiculaire à une ligne donnée. — La ligne quelconque A B (fig. 12, pl. I) étant tracée sur le tableau , il s'agit d'en faire une autre qui coupe celle-ci perpendiculairement , et forme avec

- elle des angles droits ; on déterminera le point C du milieu de la ligne A B , puis on placera le point D dans l'endroit que l'on jugera convenable , pour qu'il se trouve à égale distance des points A et B, et joignant les points C et D par une droite , on verra , comme dans les deux exercices précédens , si les angles son! égaux et droits par conséquent.

16. Copier un angle aigu. — Un angle aigu ( fig. i3, pl. I) étant tracé sur le tableau, pour en faire un semblable , on commencera par tirer la ligne A B de même longueur que celle du modèle , puis on placera le point G à la distance convenable des points A et B , et l'on joindra A C par une droite ; on fera la vérification avec le rapporteur.

Î7, Copier un triangle. — Il fa: t d'abord établir la ligne A B( fig. 14, pi. I ) sur le milieu C de celte ligue, éievrr l^gèrenient, pour servir seulement à la construction de la figure une perpendiculaire indélerminée , sur laquelle^ on marquera le point D ; on joindra AD, DB, et on vérifiera si les deux triangles sont égaux , c'esl-à^ dire si les côtés respectifs ont même longueur; car alors toutes les parties sont égales deux a di^ux , et on pourrait superposer l'une des figures à l'autre. On copiera de même les figures i5 , r6 , 17 et 18 , planche I.

Un peut encore copier le triangle en traçant d'abord

1 LA SIMPLE VUE Et A LA MAlTf. l3

A B , et plaçant le sommet C à distance convenable des extrémités A et B de la base.

18. Copier un carré. — Tracez la ligne A B ( fig. 19, pl. I ) égale à celle du modèle; élevez au point A la perpendiculaire A C , de même longueur que la ligne A B; au point B la perpendiculaire B D de même longueur que A C et AB , puis tracez la ligne G D, en joignant les points C et D. Les quatre côtés du carré doivent avoir la même longueur , et les quatre angles doivent être droits; ce qui est facile à vérifier avec Téquerre et le compas. On copiera de même les rectangles qui ont les angles droits et les côtés égaux deux à deux, en traçant d'abord la base du rectangle , aux deux extrémités de laquelle on élèvera les perpendiculaires égales à la hauteur donnée du rectangle , et joignant les extrémités de ces perpendiculaires par une droite qui sera de même longueur que la base ( fig. 20 et 2 1, pl. I ).

19. Copier un parallélogramme ( fig. 22 , pl. I ), — On pourra commencer par tracer la ligne A E, en lui donnant exactement la même direction et la même longueur que celle du modèle ; puis on fera la ligne A C , qui formera un angle égal à celui du modèle. Déterminant le point C, on tracera G D parallèle à A B, et B D parallèle à A C , ce qui donnera le point D à l'intersection des deux lignes B D , G D.

20. Copier des angles à cotés parallèles et dont les ouvf'rlures soient dirigées dans le même sens ( fig. 23 , pl. I) — (Commencez par tracer la ligne AB; déler minez l'ouverture de l'angle en tirant la ligne A G ; placez la ligne a b parallèle à celle A B du premier ai»gle; ptiis la ligne a c , et répétez ces opérations pour les lignes a b et a f, et ainsi de suite, suivant le nombre des angles à côlés parallèles que vous voudrez obtenir. Les points d'intersection des lignes ca,ûb,etcrt,rt^, détermineront les sommels des angles a , «. 11 faudra s'exercer à copier de la mêii»e manière les figures 24 , 26 et 26 , planche I , qui représentent des angles différens les uns

l4 DESSIN GÉOMÉTRIQUE

des autres , mais toujours à côtés parallèles et à ouverture dirigée dans le même sens pour la même figure.

ai Copier un lozange (fig. 27 pl. I). Le lozange a ses quatre côtés égaux , et ses angles égaux deux à deux. Son tracé est donc le même que celui d'un parallélogramme dont les côtés sont égaux , mais on peut encore copier le lozange de la manière suivante : On tracera d'abord légèrement une ligne horizontale A R, et une perpendiculaire C D , estimant la longueur de la ligne E C. On placera le point C en haut, et le point D à la même distance en bas, puis on fera la même chose pour les points A et B ; et joignant ensuite ces quatre points par des droites, ou aura la figure demandée. On s'exercera de même sur la figure 28 , planche I.

22. Diviser en deux parties égales un angle droit ( fig. 29 , pl. I ). Soit l'angle droit ABC; on prendra sur les côtés des longueurs égales B A , B G , et on joindra , par une faible ligne les points CA; puis, marquant un point sur le milieu de cette hgne, on tirera la ligne BD, qui coupera l'angle en deux parties égales.

2 3. Diviser en deux parties égales un angle aigu ou obtus ( fig. 3o , 3i et 32 , pl. I ). — On opérera comme sur la figure 29.

24. Diviser un angle en plusieurs parties égales. — Soit l'angle A B C fig. 33 , pl. I ) à diviser en cinq parties égales. On tracera un arc de cercle , dont le sommet B de l'angle sera le centre , et on divisera cet arc en cinq parties ; des points de division on mènera des droites ai^ sommet B.

2 5. Dessiner une suite d* angles aigus égaux alternatifs et dont les sommets soient sur deux lignes parallèles ( fig. 34 , pl. I). — Tirez d'abord légèrement deux lignes parallèles B P et A R ; du point B , abaissez la perpendiculaire B C , prenez B D égal à A C , et joignez D et C ; la droite D C sera parallèle à A B ; continuez successivement cette opération pour les angles suivans : les lignes B A , C D , E F, etc. , sont parallèles et de même longueur; les distances BD, DF, etc, AC, CE, etc.,

A LA SIMPLE VUE ET A LA MAIN. l5

sont égales , ainsi que les lignes B G , E D , et par suite les angles aigus ABC, BCD,DEF, etc., etc.

26. Dessiner une suite d'angles droits. — Supposez les lignes parallèles AB et G D ( fig. 35) continuées; marquez sur la ligne AB les points i , 2,3,4, etc. , et abaissez les verticales i a , 2 b , 3c, etc. , et traçant plus fortement les parties des lignes horizontales qui doivent servir à la figure , on vérifiera son travail avec Téquerre et le compas.

Nous pourrions indiquer un plus grand nombre d'exemples pour la copie des figures composées de lignes droites ; mais nous croyons en avoir assez dit sur ce sujet. Si celui qui étudie a bien exécuté les figures que nous venons d'indiquer, s'il s'est rendu familier avec les exercices ci-dessus, il pourra facilement copier toutes les figures simples qui se présenteront devant ses yeux , en s'aidant de lignes idéales pour leur construction. Nous allons maintenant nous occuper des lignes courbes ; mais nous engageons de nouveau les élèves à ne pas quitter la première partie sans avoir acquis la précision du coup d'œil , la facilité du tracé , et la hardiesse de la main , qui seules peuvent mettre à même de dessiner avec exactitude et netteté.

Exercices. — Lignes courbes.

27. Tracer une circonférence, ■ — Il faiit beaucoiip s'attacher à cette ligne qui détermine la surface du cercle, et dont tous les points sont à égale dislance du centre du cercle ; on parviendra , par un exercice soutenu , à tracer les cercles , et à en marquer le centre avec une exactitude presque égale à celle du compas; c'est avec cet instrument que la vérification se fait ( fig. 36 , pl. I ).

28. Tracer un cercle ai>ec un rayon donné{fî^, 37 , pl. I ). — Soit le rayon A B qui doit servir à la construction du cercle demandé , on peut d'abord s'aider en traçant le prolongement de ce rayon A B , et donnant à ce nouveau rayon A G une longueur égale à celle du

premier ; élevant ensuite au point A la perpendiculaire AD, et la prolongeant en F, on obtiendra deux nouveaux rayons A D , A E , égaux aux premiers , on aura donc les points C, D , B , E , par où doit passer la circonférence du cercle , ce qui en facilitera beaucoup le tracé; on efface ensuite les lignes inutiles. Il ne faut pas toujours s'aider de ces lignes , mais parvenir à tracer le cercle d'un seul coup.

29. Marquer le centre d'un cercle, — Le cercle ( fig. 38 , pl. I ) ayant été tracé , on jugera à l'œil où doit se trouver son centre , d'où tous les rayons qui partent et aboutissent à la circonférence sont égaux; on marquera ce centre A, et, avec un compas, on s'assurera de l'exactitude de sa position.

30. Diviser un cercle et sa circonférence en huit parties égales {ù^. Sg, pl. I). — Le cercle étant décrit, on tracera deux diamètres se coupant à angle droit A B , C D. Ils diviseront déjà le cercle en quatre parties égales ; et divisant ensuite chacun des angles ou chacun des arcs AC , G B , D A en deux parties égales , le cercle et sa circonférence seront divisés en huit sections égales.

31. Décrire des cercles concentriques ( fig. 40 > pb i)» — L'un des cercles étant tracé, on décrira les autres, en commençant par poser divers points, pour marquer les distances égales qui séparent les circonférences.

32. Tracer un arc de cercle. — Soit l'arc AB ( fig. 41 y pl. I ). Pour s'assurer que cette figure fait partie d'un cercle , on joindra les points AB par une corde, sur le milieu de laquelle on élèvera une perpendiculaire C D ; joignant ensuite les points AE, EB par de nouvelles cordes, et élevant sur chacune des perpendiculaires , elles se couperont toutes les trois au point qui sera le centre, et si la figure tracée d'abord est bien un arc de cercle , les lignes F A, F B , F E seront égales.

33. Tracer un octogone régulier (fig. 42,pl. I). — Le cercle étant divisé en huit parties égales , comme nous l'avons indiqué au n° 3o, on joindra les points de division par des droites qui donneront la figure demandée*

A liA SIMPLE VUE ET A LA M\IW. 17

34. Tracer un pentagone régulier, — Un cercle étant tracé , on divisera à l'œil sa circonférence en cinq [)ar!ies, et l'on nnira les points par des droiJes ( fig. 43 , pl. I ). Il faudra que tous les côtés soient égaux entre eux.

35. Tracer un polygone régulier sans le secours du cercle, — Ayant sous les yeux une figure régulière ( fig. 44, pl. I), on s'exercera à la copier fidèlement, en jugeant approximativement la longueur des côtés et l'ouverture des angles ; on vérifiera ensuite , en l'inscrivant dans un cercle avec un compas, si la copie est exacte.

36. Tracer une ellipse ( fig. 45 , pl. I ). — Menez d'abord deux droites perpendiculaires AB , CD, qui se coupent au point E ; marquez des longueurs égales entre elles EA , EB, et deux autres longueurs aussi égales entre elles EC, ED, mais différentes des premières : faites passer une courbe régulière par ces quatre points , ce sera l'ellipse demandée. Les points A, C, B, D, étant plus ou moins rapprochés on éloignés, changeront la forme de l'ellipse. Il faut répéter souvent cet exercice , et parvenir à tracer ces figui es avec habileté et exactitude. Les contours doivent être symétriques par rapport aux droites A B , G D , qu'on appelle axes ; de telle sorte que si Ton plie la figure selon l'une ou l'autre de ces lignes , les branches de courbe des deux côtés viennent se superposer.

Toutes les figures ci-dessus doivent être dessinées par des traits purs et continus , les intersections des lignes doivent être bien précises , les traits fins et réguliers, pour éviter la confusion , surtout dans les opérations compliquées ; nous croyons inutile de donner plus de développement à la théorie du dessin de ces figures courbes; mais nous ne pouvons trop en recommander la pratique, et, à cet effet, nous engageons les élèves à copier en grand les figures 46 , 4?» 48 , 49 et 5o , et à s'y exercer jusqu'au moment où ils les exécuteront çon" yenablement,

DESSm GÉOMÉTRIQUE

Exercices. — Lignes composées.

En combinant ensemble les exercices précédens , on pourra dessiner toute espèce de figures composées de ligues droites et de lignes courbes ; nous allons en mettre quelques-unes sous îes yeux des élèves , en les invitant à ne pas s*en tenir à ce petit nombre de modèles , que le cadre de cet ouvrage nous force à restreindre et à présenter sur une petite échelle ; il faut , au contraire , dessiner tout ce qui se présente à la vue : un écusson , une boîte , une cheminée, un meuble, un vase, une porte, une croisée, un flambeau, etc. C'est en fixant notre attention sur tous les objets qui nous entourent que nous parviendrons à acquérir la faculté de voir juste , d'apprécier exactement les formes et les dimensions , d'établir des comparaisons et des rapports ; c'est en dessinant uii grand nombre de figures différentes, d'abord simples, ensuite plus compliquées , que notre main s'accoutumera à tracer librement , sans tatonnemens , et avec pureté et élégance , tout ce qu'il nous viendra à l'idée de représenter. Dans toutes les figures composées de lignes différentes, qui se suivent et se joignent ensemble alternativement , il faut avoir bien soin d'éviter le passage brusque d'uue ligne droite à une courbe, d'une courbe à une courbe différente , etc. , et toutes les brisures appelées jarretr, , parce qu'elles sont désagréables à l'œil et enne-* mies de toute grâce et de toute élégance.

37. Fragmens d'architecture (fig. 5i, 62, 53, 54 et 55). — Ces fragmens présentent des combinaisons graduées de tous les exercices précédens, et ne peuvent offrir à l'élève aucune difficulté puisque ce sont de simples applications de ce qu'il sait déjà.

Il faut tracer en grand toutes ces figures, en marquer bien légèrement les lignes auxiliaires, et indiquer par deîj ppints leur fonction et Jeur longueur.