DE IA DIVISION DES DECIMALES

126. Pour opérer la division des nombres décimaux, la règle est la même que pour les nombres entiers.

Seulement, avant d'opérer la division, il faut compléter avec des zéros le nombre des décimales dans celui des deux termes qui en a le moins et supprimer la virgule ; ce qui ne changera rien au quotient, car les zéros ajoutés à la droite d'un nombre décimal ne changent rien à sa valeur (48) ; de plus, supprimer la virgule dans les deux termes, c'est les multiplier chacun par un même nombre (123).

Soit proposé de diviser 57,5 par 2,32.

On complète les décimales de celui des termes qui en a le moins; on ajoute donc un zéro à 57,5 et l'on a 57,50 ; puis, supprimant les virgules, on divise 5750 par 232 ; exemple :

On obtient au quotient 24 entiers et un reste 182, qui, étant trop petit pour contenir le diviseur 232, oblige à placer comme quotient cette expression Jff, qui est une division indiquée, autrement dit une fraction (ll£i).

127. Mais si l'on veut éviter l'emploi des fractions ordinaires, il faut avoir recours aux décimales, qui donnent rarement un quotient exact, mais qui servent à en approcher le plus près possible.

En conséquence, au lieu d'écrire sous la forme d'une fraction le

reste à diviser, on continue la division comme suit, par le moyen des

décimaleS* 5750 23^

Après avoir obtenu le reste 182 de la division des entiers par 232, comme dans l'opération précédente, on change le reste 182 en dixièmes, en ajoutant un zéro à ce reste et en divisant 1820 dixièmes par le diviseur 232 ; on écrit au quotient 7 dixièmes, après avoir placé une virgule pour séparer les entiers, 24, des dixièmes. Il reste 196 dixièmes, que l'on change en centièmes, en ajoutant un zéro; on obtient 8 au quotient, et il reste 104 centièmes, que Ton change en millièmes en ajoutant un zéro; 1040 divisé par 232 donne 4 au quotient et un reste de 112 millièmes; on pourrait changer ce reste en dix-millièmes, le reste suivant en cent-millièmes, par l'addition d'un, de deux zéros et ainsi de suite; mais ici on néglige ce reste de millièmes.

128. C'est là ce qu'on appelle obtenir le quotient d'une division à un millième près ; on l'obtiendrait de la même manière, à un dix-millième, à un cent-millième, à un millionième près, en ajoutant successivement aux restes un zéro, deux zéros, trois zéros de plus.

Ces zéros peuvent être considérés comme abaissés du dividende.

Par exemple : On demande le quotient de 13 par 19 à un dix-millième près.

On écrit quatre zéros à la droite du dividende et l'on opère la division ainsi :

abandonnant le reste 2, on a pour quotient 0,6842.

Le diviseur n'étant pas contenu dans le dividende 13, on a écrit un zéro au quotient pour indiquer qu'il n'y a pas d'entier.

D'où l'on peut conclure la règle suivante :

129. Pour trouver le quotient d'une division à un degré d' approximation donne, on écrit a la droite du dividende autant de zéros que Von veut avoir de décimales au quotient et, la division terminée, on sépare à la droite du quotient par une virgule autant de chiffres que Von a écrit de zéros à la droite du dividende.

L'application de cette règle suppose que les deux termes de la division sont entiers ou qu'on les a préliminairement ramenés à cette forme.

130. Lorsque Ton pousse la division, on n'obtient pas toujours un quotient exact; ainsi :

Le premier quotient est exact. Dans les deux derniers cas, il a fallu abandonner les restes. Le groupe de chiffres qui se reproduisent à l'infini s'appelle période. Un quotient est dit périodique simple quand sa période commence à partir de la virgule. Il est périodique mixte lorsque la période ne commence point à partir de la virgule.

131. Si l'on veut compléter la partie entière du quotient par une fraction ordinaire, voici comment on procède :

1° Soit 0,375 à transformer en fraction ordinaire; nous avons immédiatement (154) :

0,375=^ ou £-g-j

Ainsi, lorsque la partie décimale dun quotient est d'un nombre limité de chiffres, elle équivaut a une fraction ordinaire ayant pour numérateur la partie décimale, et pour dénominateur l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y a de chiffres décimaux.

132. 2° Soit à transformer. en fraction ordinaire la partie décimale du nombre 76,272727

Nous avons

100 fois la partie décimale = 27,2727

et 99 — — =27

par suite, la partie décimale vaut 99 fois moins, c'est-à-dire ~ ou £;

donc 76,272727 = 76 f

d'où la règle suivante :

Toute fraction décimale périodique simple est équivalente à une fraction ordinaire ayant pour numérateur la période et pour dénominateur un nombre composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période.

133. 3° Soit à transformer en fraction ordinaire la partie décimale du nombre 236,14772727272.

Ce cas ne se présentant que fort rarement dans la pratique, nous nous contenterons de dire que, portant la virgule à la droite de la partie non périodique, on obtient le nombre 235147, 727272 qui est 1000 fois plus grand que le nombre proposé. La partie décimale 0,727272. . . =f§ ?»J; donc 235147 f est 1000 fois plus grand que 235,147727272, ce dont il faut tenir compte.