PRÉCÉDENTES

57986532 95445532 De la Division.

403. La division a pour objet de chercher combien de fois un nombre en contient un autre.

Ainsi, diviser 24 par 6, c'est chercher combien de fois le nombre 24 contient le nombre 6.

104- Le nombre à diviser s'appelle dividende, celui par lequel on divise, diviseur, et le résultat de l'opération, quotient; ce résultat exprime combien de fois (quoties), le dividende contient le diviseur.

Le diviseur et le dividende se nomment aussi les termes de la division.

Avant de passer outre, il y a lieu de faire cette remarque essentielle : diviser un nombre par un autre, c'est chercher le nombre de fois que le dividende contient le diviseur; il s'ensuit que si l'on répète le diviseur ce même nombre de fois, on recomposera le dividende; donc en général :

105. Dans toute division, le diviseur, multiplié par le quotient, reproduit le dividende.

106. Mais si le diviseur multiplié par le quotient reproduit le dividende, on peut considérer tout dividende comme un produit, et le diviseur et le quotient comme les deux facteurs de ce produit.

Donc il existe entre la division et la multiplication une analogie que l'on peut entrevoir dès à présent : l'une est inverse de l'autre; la division décompose ce que la multiplication a composé. La division doit donc suivre une marche analogue à celle de la multiplication, mais en sens inverse.

DIVISION D'UN NOMBRE D'UN OU DE DEUX CHIFFRES PAR UN NOMBRE D'UN SEUL CHIFFRE.

107. Lorsque le dividende n'a qu'un ou deux chiffres et le diviseur un seul, c'est la mémoire qui doit fournir immédiatement le quotient; car si, par la table de multiplication, qu'il est, comme nous l'avons déjà dit, indispensable d'apprendre, on sait, par exemple, que 4 fois 6 font 24,

ton sait aussi par là, que 24 contient 6, 4 fois, ou contient 4, 6 fois; et i encore que 27 contient 6, 4 fois, ou 4, 6 fois plus un reste 3.

Mais supposons qu'on ignore cette table ; on pourra toujours sousi traire successivement le diviseur du dividende, et ces soustractions répétas feront, par leur nombre, connaître le quotient :

Soit à diviser 26 par 8.

Si de 26 on soustrait 8, il reste 18.

Si de eu reste 18 — 8 — 10.

d'où il résulte évidemment que 26 contient 8, 3 fois avec un reste, ou, in d'auires toi mes, que le quotient de 26 par 8 est 3, plus le reste 2; d'où

1 l'on psut déduire cette règle :

Pour trouver par la soustraction le quotient de la division de deux

nombres, il faut retrancher du dividende, le diviseur autant de fois qu'il sera possible : le nombre de ces soustractions indiquera le quotient.

On comprend que cette manière de procéder devient impraticable dès que le quotient doit se composer d'un grand nombre de chiffres, et qu'il a fallu imaginer un mode d'opération plus rapide : c'est la division, qui n'est, à vrai dire, qu'une soustraction abrégée, et dont nous allons traiter, en supposant qu'on est familier avec la table de multiplication, ou bien encore qu'on a celle de Pythagore sous les yeux.

Par la table de multiplication, ainsi que nous l'avons vu, on obtient les quotients de la division d'un et de deux chiffres par un seul ; passons à la division d'un plus grand nombre de chiffres par un seul, et ensuite nous ramènerons les divisions les plus compliquées à ces simples divisions.

DIVISION D'UN NOMBRE DE PLUSIEURS CHIFFRES PAR UN NOMBRE D'UN SEUL CHIFFRE.

108. Pour diviser un nombre de plusieurs chiffres, comme 1976, par un seul chiffre, 5, par exemple, on commence par écrire le dividende, et à sa droite le diviseur, dont on le sépare par un trait ; on tire au-dessous du diviseur un second trait horizontal pour le séparer du quotient, qu'on écrit au-dessous, ainsi :

dividende. 19.76 5 diviseur.

395 et 1/5 quotient.

kl

Reste.

Ensuite on sépare par un point le premier chiffre à gauche du dividende i ; si ce chiffre ne contient pas le diviseur, on en prend deux, comme dans le présent exemple, et l'on a 19 : c'est le premier dividende partiel, composé de centaines; on cherche combien de fois le diviseur 5 est contenu dans ce dividende , en disant : en 19 combien de fois 5? 3 fois2; on écrit donc au quotient, sous le diviseur, le chiffre 3 qui est celui des centaines du quotient.

Pour vérifier si 3 est exactement le quotient et obtenir le reste, s'il y en a, on multiplie le diviseur 5 par le quotient trouvé, 3, ce qui reproduirait le dividende (105) si ce quotient était exact; on place au-dessous

1. Dans la division, opération inverse de la multiplication, on commence par où la multiplication a fini, par la gauche.

2. Car on sait de mémoire, par la table de multiplication, que 3X5 font 15; donc 19 contient 5,3 fois, plus un reste 4.

du dividende partiel 19, le produit obtenu 15, qu'on souligne d'un trait. On retranche ce produit du dividende 19, pour obtenir le reste h, qu'on écrit au-dessous.

On convertit ce reste de centaines en unités inférieures dix fois plus petites, en plaçant un zéro à sa droite : c'est le multiplier par 10 (51) ; on ajoute le chiffre suivant du dividende général, 7 ; on obtient ainsi hl dizaines.

La double opération de décupler le reste et d'y ajouter le chiffre du dividende s'opère simplement en abaissant ce chiffre à côté du reste.

109. Ce deuxième dividende partiel de dizaines étant obtenu, il faut le diviser, de la même manière, par le diviseur 5, en disant : en kl combien de fois 5? 9 fois ; on écrit donc 9 au quotient, à la droite du chiffre qui s'y trouve déjà, puisque les 9 nouvelles unités sont de l'ordre inférieur ; on multiplie le diviseur 5 par 9, et l'on place leur produit sous le deuxième dividende partiel Zi7, dont on soustrait ce produit souligné ; on obtient ainsi un reste, 2, que l'on écrit au-dessous.

On convertit pareillement ce reste de dizaines en unités inférieures dix fois plus petites, en abaissant le chiffre suivant du dividende, 6, à côté du reste (51) ; ce qui donne un troisième dividende partiel d'unités, 26, qu'on divise par 5, de la manière accoutumée, en disant : en 26 combien de fois 5? 5 fois; on écrit donc 5 au quotient, à la droite du dernier chiffre. On vérifie ce quotient en multipliant par 5 le diviseur 5, et en plaçant leur produit 25 au-dessous du dividende partiel 2B, qui, diminué de ce produit, donne 1 pour reste.

Tous les chiffres du dividende ayant été abaissés, la division est finie, et les quotients partiels forment dans leur ensemble le quotient total cherché, 395, de la division proposée.

110. Quant au reste 1, qui ne peut contenir le diviseur 5, on l'écrit à la suite du quotient en plaçant au-dessous le diviseur séparé par un trait.

Exemple : -, ce qui veut direl a diviser -par 5.

Nous nous bornerons à dire ici que cette expression est une division indiquée qu'on n'a pu faire. Plus tard, nous l'appellerons une fraction, nouvelle espèce de nombre sur laquelle il sera nécessaire de donner des explications étendues.

111. Pour indiquer une division à opérer, on place le dividende audessus d'un trait et le diviseur au-dessous. Quelquefois aussi on indique la division par deux points ; ainsi :

\ et 1 : 5 signifient 1 à diviser par 5.

112. Dans la pratique, on abrège beaucoup les divisions par un seul chiffre ; tout se fait mentalement, et l'on n'écrit que les résultats. C'est là ce qu'on appelle prendre la moitié, le tiers, le quart, le cinquième, le sixième, etc. Ce genre de calcul est d'un usage fréquent.

DIVISION D'UN NOMBRE DE PLUSIEURS CHIFFRES PAR UN NOMBRE DE PLUSIEURS CHIFFRES.

113. Pour diviser un nombre par un diviseur de plusieurs chiffres, la règle est la même que la précédente, qui consiste à partager le dividende en dividendes partiels, qu'on divise successivement par tout le diviseur, pour obtenir chiffre par chiffre des quotients partiels dont l'ensemble doit former le quotient total que Ton cherche.

Soit à diviser 15757 par 23.

On dispose les deux termes comme précédemment; exemple :

~ÏÎ7

Puis on sépare à la gauche du dividende assez de chiffres pour contenir le diviseur, soit ici trois, puisque deux ne suffiraient pas : on a donc 4 57 pour premier dividende partiel , qu'on divise par 23 , en disant : 157 centaines contiennent 23 fois 6 centaines; donc le quotient se compose de 6 centaines et d'un certain nombre d'unités.

Pour vérifier l'exactitude de ce quotient, et obtenir le reste, s'il y en a un, on multiplie le dividende 23 par 6, et l'on place leur produit 138 au-dessous du dividende partiel 157, qui, diminué de ce produit, donne le reste 19, que l'on écrit au-dessous.

Un reste de division ne peut jamais être supérieur ou même égal au diviseur ; car ce reste le contiendrait une fois de plus ; ce qui obligerait à ajouter une unité au quotient.

On met aussi quelquefois au quotient un chiffre trop fort, de manière que la soustraction ne peut avoir lieu ; il faut réparer cette erreur en ôtant une unité du quotient.

Le reste 49 est composé d'unités supérieures qu'on change en unités inférieures dix fois plus petites, en abaissant le chiffre suivant du dividende total, 5 ; ce qui l'ajoute au reste et décuple ce reste en même temps (51); on a ainsi le deuxième dividende partiel, 195 dizaines, à diviser par 23 ; on écrit 8 au quotient, à la droite du chiffre de l'ordre supérieur qui s'y trouve déjà; on retranche du dividende partiel 195, le produit 4 84 du diviseur par le quotient, pour obtenir, par la soustraction, le reste 11, qu'on écrit.

Enfin, abaissant le chiffre suivant du dividende 7, à côté du reste 11 , on a le troisième dividende partiel 117 qui, divisé par 23, donne au

quotient 5; multipliant le diviseur par 5, le produit 115, retranché du dividende partiel 117, donne pour reste 2 unités.

La division est achevée, puisque tous les chiffres du dividende ont été successivement abaissés, et le quotient de la division est bien 685 ; mais il y a de plus le reste 2 à diviser par 23.

114. Ce reste étant trop petit pour contenir le diviseur, on se contente d'indiquer la division par signe (110), ainsi : £, ce qui veut dire 2 divisé par 23 et s'énonce deux vingt-troisièmes ; on nomme cette expression une division indiquée, ou une fraction (110).

115. Lorsque, dans le cours d'une division, le diviseur ne peut être contenu dans le dividende partiel, on place zéro au quotient, pour marquer que ce dividende ne contient aucune fois le diviseur, et pour que tous les autres chiffres du quotient soient à leur place; ensuite il faut considérer ce dividende partiel comme un reste, à côté duquel on abaisse le chiffre suivant du dividende et continuer l'opération.

116. Enfin, si en abaissant successivement plusieurs chiffres, le dividende partiel ne contenait pas le diviseur, il faudrait écrire un zéro au quotient pour chaque chiffre abaissé.

Exemple : soit proposé de diviser 370800 par 12. On opère ainsi :

En 37 combien de fois 12? 3 fois : on écrit 3; 3 fois 12 font 36, qu'on écrit; 36 retranché de 37, il reste I. Abaissant le chiffre suivant, on a 10, qui ne contient pas 12; on écrit 0 au quotient. On abaisse le chiffre suivant du dividende, 8; en 108 combien de fois 12? 9 fois; on poseO; 9 fois 12 font 108; on écrit 108; 108 retranché de 108, il reste 0. On abaisse le chiffre suivant 0 ; on a des 0 pour le dividende partiel, dans lequel 12 n'est pas contenu; on écrit un zéro au quotient; on abaisse encore un zéro; on obtient une suite de zéros qui ne contient pas le diviseur; on place donc zéro au quotient, et la division est achevée, puisqu'il n'y a plus de chiffre à abaisser.

De tout ce qui précède sur la division, on peut résumer la règle générale suivante :

117. Pour diviser un nombre par un autre, on place le dividende à gauche et le diviseur à droite, séparés par un trait ; on tire au-dessous du diviseur un second trait horizontal, sous lequel on placera le quotient.

On prend sur la gauche du dividende assez de chiffres pour contenir le diviseur; on cherche combien de fois le premier chiffre du diviseur est contenu dans le premier ouïes deux premier sxhiffr es du dividende partiel ; on écrit le chiffre trouvé sous le diviseur ; on multiplie le diviseur par ce pre-

mier quotient partiel, et l'on place leur produit au-dessous du premier dividende partiel, dont il faut le soustraire. Si ce produit était trop fort, on ôterait un au quotient; à côté du reste, qui doit toujours être plus petit que le diviseur, on abaisse le chiffre suivant du dividende.

On cherche, comme précédemment, combien de fois le deuxième dividende partiel contient le diviseur; on écrit le deuxième quotient partiel trouvé, à la droite du premier; on mult'qolie le diviseur par le deuxième quotient partiel et Von place leur produit sous le deuxième dividende partiel, dont on le soustrait; à côté du reste, on abaisse le chiffre suivant du dividende, et Von continue ainsi jusqu'à ce qu'on ait abaissé tous les chiffres du dividende proposé.

Lorsqu'on rencontre un dividende partiel qui ne contient pas le diviseur, on met un zéro au quotient avant d'abaisser un nouveau chiffre du dividende ; enfin, s'il y a un reste, on indique la division en plaçant le dividende au-dessus d'un trait et le diviseur au-dessous.

118. C'est pour faciliter l'intelligence de la règle que nous avons prescrit d'écrire au-dessous des dividendes partiels les produits partiels qu'on doit en retrancher; mais, dans la pratique, on abrège cette opération en faisant de mémoire la soustraction à mesure qu'on obtient chaque chiffre du produit, et il n'y a plus à écrire que les restes.

Exemple : Soit proposé de diviser 15757 par 23.

dividende, . 157.57 I 23 diviseur

195 I685I5 quotient.

reste. ... 002

Après avoir trouvé que le dividende partiel 157 contient 6 fois le diviseur 23 S on multiplie le diviseur par le quotient 6, et, commençant par les unités, on dit : 6 fois 3 font 18, qu'on retranche de suite des unités, 7, du quotient partiel, auxquelles il faut nécessairement ajouter, par emprunt, un nombre suffisant d'unités supérieures, pour que la soustraction puisse avoir lieu ; par exemple, ici, on en ajoute 2 valant 20 unités inférieures, ce qui fait 27, dont pouvant retrancher 48, il reste 9, qu'on écrit, et l'on retient les 2 dizaines empruntées, pour les ajouter dans la soustraction suivante au nombre à soustraire.

On fait le produit des dizaines en continuant à dire : 6 fois 2 font 12, plus les 2 dizaines retenues font 14, qu'on retranche de mémoire des dizaines du dividende, 5, augmentées par emprunt d'une unité valant 10, ce qui en fait 15; 14 retranché de 15, il reste 1 dizaine, qu'on écrit à la gauche du précédent reste 9, pour former le reste 19 du dividende partiel 157.

1. On compare seulement les premiers chiffres du dividende et du diviseur, en disant, par exemple, comme ci-dessus : en 15 combien de fois 2? il y est 7 fois; mais le chiffre qui suit 2 étant assez élevé, on apprécie que 23 n'est contenu que 6 fois dans 157.

On opère de la même manière sur le deuxième dividende partiel 195, qui contient 23, 8 fois, en disant : 8 fois 3 font 24; 24 retranché de 5, augmenté de 2 dizaines empruntées valant 20, ce qui fait 25, il reste 1 qu'on écrit, et Ton retient les 2 dizaines empruntées. Puis 8 fois 2 font 16, plus 2 dizaines retenues font 18, à retrancher de 19; il reste 1, qu'on écrit à la gauche du reste précédent, ce qui fait 11 pour reste total.

On opère encore de la même manière pour le troisième dividende partiel 117, dont le quotient est 5, en disant : 5 fois 3 font 15, à retrancher de 17, il reste 2, qu'on écrit, et l'on retient 1 emprunté; puis, 5 fois 2 font 10, plus 1 retenu font 11, qui, retranché de 11, il reste zéro, qu'on écrit; pour le reste 2, on indique la division ainsi : ^ (110).

On voit suffisamment, par cet exemple, comment il faudrait opérer pour une division plus compliquée.

CHANGEMENTS APPORTES AU QUOTIENT EN OPÉRANT SUR LES TERMES D'UNE DIVISION.

119. Si l'on rend un dividende un certain nombre de fois plus grand ou plus petit, le quotient sera autant de fois plus grand ou plus petit.

En effet, puisque diviser c'est chercher combien de fois le dividende contient le diviseur, il est clair qu'en rendant le dividende 2, 3, 100 fois plus grand, le diviseur, qui reste le même, y sera contenu, 2, 3, 100 fois plus; et que, semblablement, il y serait contenu 2, 3, 100 fois moins, si, au contraire, on rendait ce dividende 2, 3, 100 fois plus petit.

120. Mais si l'on touche au diviseur, le quotient sera autant de fois plus grand qu'on aura rendu le diviseur plus petit et autant de fois plus petit qu'on aura rendu le diviseur plus grand.

En effet, puisque diviser c'est chercher combien de fois le dividende contient le diviseur, il est évident que, si l'on augmente le diviseur, il sera contenu moins de fois dans le dividende resté le même, et qu'au contraire, si l'on diminue le diviseur, il y sera contenu plus de fois.

Par exemple, ayant à diviser 24 par 6, ce qui donne k pour quotient, si l'on double le diviseur 6, on a 12, qui, diviseur de 2k, donne le quotient 2, moitié de k; si l'on rend, au contraire, le diviseur 6 trois fois plus petit, on a 2, qui, divisant 24, donne 12 pour quotient, trois fois plus grand que le quotient précédent 4; donc, en général :

121 . Le quotient subit les mêmes changements que ceux que l'on opère sur le dividende; si l'on multiplie ou que l'on divise le dividende par un nombre, le quotient se trouve multiplie ou divisé par ce nombre.

122. Le quotient éprouve des changements inverses de ceux que Von opère sur le diviseur : si l'on multiplie le diviseur par un nombre, le quotient est divisé par ce nombre, et, réciproquement, si l'on divise le diviseur par un nombre, le quotient est multiplié par ce nombre.

123. Si l'on multiplie ou que l'on divise les deux termes d'une division par un même nombre, le quotient ne change pas.

Car, si la multiplication du dividende rend le quotient plus grand (121), celle du diviseur rend le quotient autant de fois plus petit (122) : il y a compensation ; donc le quotient ne change pas.

De même, si la division opérée sur le dividende rend le quotient plus petit (121), la division opérée sur le diviseur rend le quotient autant de fois plus grand (122). Il y a donc compensation.

Soit, par exemple, 24 à diviser par 6 ; si Ton double les deux termes, on a 48 à diviser par 12; dans les deux cas, le quotient est 4.

Si l'on prend, au contraire, le tiers des deux termes, on a 8 à diviser par 2, ce qui donne également 4 pour quotient.

124. Conséquemment, si le dividende et le diviseur sont suivis de zéros, on peut en supprimer un égal nombre sur chaque terme, et le quotient reste le même ; car la suppression de ces zéros rend les deux termes autant de fois plus petits.

125. Si le dividende et le diviseur sont suivis chacun d'un même nombre de décimales, on peut supprimer la virgule dans les deux termes; cette suppression rend également l'un et l'autre 10, 100, 1000 fois plus grands (52) ; donc le quotient reste le même (123).