La preuve de la multiplication se fait par la division

En effet, puisque le multiplicateur indique combien de fois le produit contient le multiplicande, si Ton divise le produit par le multiplicande, on doit retrouver au quotient le multiplicateur.

139. Si l'on divisait le produit par le multiplicateur, on retrouverait au quotient le multiplicande.

Car, comme nous l'avons vu précédemment (83), il est indifférent de multiplier le multiplicande par le multiplicateur ou le multiplicateur par le multiplicande.

Quand on trouve au quotient un autre nombre que l'un des deux facteurs, c'est la preuve qu'il y a une erreur, soit dans la multiplication, soit dans la division; il faut recommencer ces deux opérations jusqu'à ce que l'erreur soit découverte.

Il résulte de qui précède que :

140. La preuve de la multiplication se fait en divisant le produit, soit par le multiplicande pour obtenir au quotient le multiplicateur, soit par le multiplicateur pour obtenir au quotient le multiplicande.

Ou plus brièvement : tout produit divisé par l'un de ses fadeurs donne au quotient Vautre facteur ; ou comme conséquence :

141. Tout produit est divisible exactement par chacun de ses facteurs.

142. Par conséquent, tout produit provenant de la multiplication de plusieurs nombres est divisible par chacun de ces nombres.

Par exemple, 24, produit de 2 x 3 X 4; de 12 x 2; de 8 x 3 ; de 6 X 4, est divisible par chacun des facteurs, 2, 3, Zj, 12, 8 et 6.

Donc, en général, tout produit est divisible exactement par chacun de ses facteurs.

143. Remarque. Des différentes preuves proposées pour la multiplication, la suivante est incontestablement la plus rapide.

Par exemple, en multipliant 577133

par 2625

on a trouvé 1514974125

Pour vérifier ce produit, on dira :

5 + 7 + 7 + 1 + 3+3 = 26 qui, divisé par 9, donne le reste 8 ;

2 + 6 + 2 + 5 = 15 qui, divisé par 9, donne le reste 6;

4 + 8 = 12, qui, divisé par 9, donne le reste 3.

Si l'opération a été bien faite, la somme 39 des chiffres du produit étant divisée par 9 doit également fournir le reste 3, ce qui a lieu ici.

Cette preuve, très-commode dans la pratique, a le défaut de ne point dénoncer les inversions de chiffres et les erreurs qui n'altèrent point les restes, telles que celles qui valent 9, comme 18, 27.... ou 2 fois 9, 3 fois 9, etc.; c'est pourquoi nous ne nous arrêterons point à la démontrer. Voici, d'ailleurs, la règle :

Pour faire la preuve par 9 d'une multiplication, on cherche les trois restes de la division par 9 des trois sommes que donnent les chiffres des deux facteurs et du produit. Le troisième reste doit être égal à celui que fournit le produit des deux premiers.