CHAPITRE IV

Des Fractions.

153. Les fractions sont des nombres qui expriment des quantités plus petites que l'unité.

Lorsqu'on divise un entier en plusieurs parties, on appelle fraction l'une ou plusieurs de ces parties.

Supposons qu'on partage une pomme en cinq parties; 1, 2, 3, 4 de ces parties forment une fraction qu'on écrit ainsi : ~, |, f, J.

154. Une fraction est exprimée par deux nombres; ces deux nombres, appelés les deux termes de la fraction, sont séparés par un trait; le nombre placé au-dessus est nommé numérateur, parce qu'il numéro la quantité de parties contenues dans la fraction; le nombre placé au-dessous s'appelle dénominateur , parce qu'il dénomme ou donne le nom de ces parties.

Ainsi, dans la fraction f , le numérateur 2 exprime que cette fraction contient deux parties, et le dénominateur 5 indique que les deux parties sont des cinquièmes, dont il faudrait cinq pour faire un entier1.

155. Pour énoncer une fraction, on prononce d'abord le numérateur et ensuite le dénominateur, ainsi qu'on le ferait pour tout nombre entier; seulement, comme pour les décimales (29), on est convenu d'ajouter au dénominateur la terminaison ième;les fractions \% * s'énoncent donc : un sixième, deux septièmes.

156. Il n'y a d'exception que pour les fractions dont le dénominateur est 2, 3 ou 4, qu'on prononce moitié ou demi, tiers et quart.

157. Pour se former une idée exacte de l'origine des fractions, de leur nature et de leur utilité, il convient de considérer toute fraction comme une division indiquée qui n'a pu s'effectuer parce que le dividende était trop petit pour contenir le diviseur.

158. On a déjà vu (110) qu'ayant à diviser par 5 le reste 1 d'une division, nous avons indiqué cette division par l'expression £, qui signifie 1 a diviser par 5, expression que nous nous sommes contentés d'appeler alors une division indiquée, mais que nous nommerons à l'avenir une fraction, en ajoutant que cette fraction exprime le quotient exact de la division qu'elle indique : ce qu'il s'agit de démontrer.

159. Supposons que l'entier 1 soit un gâteau à diviser entre 5 personnes. Quelle fraction du gâteau revient-il à chacune ? Évidemment f. Supposons encore qu'au lieu de 1 gâteau on en ait 3 à partager entre 5 personnes, que reviendrait-il à chacune? autant de fois |, part d'un gâteau, qu'il y a de gâteaux à partager : or il y en a 3 ; donc il reviendrait à chacune évidemment §.

160. On conçoit que la part revenant à chaque personne sera toujours déterminée par deux nombres, celui des gâteaux à partager et celui des partageants; en un mot, que le quotient sera toujours la fraction, formée avec les deux termes de la division proposée.

161. Ainsi le quotient d'une division dont le dividende se trouve trop petit pour contenir son diviseur est exprimé par la fraction que forme le dividende devenu numérateur, et le diviseur devenu dénominateur.

D'où l'on peut conclure que :

162. Toute fraction peut être considérée comme une division indiquée

1. Car il est évident que toutes les parties d'un entier étant réunies recomposent cet entier; ainsi $, -«, f, en un mot toute fraction dont le numérateur est semblable au dénominateur exprime l'unité sous forme de fraction.

dont le numérateur est le dividende; le dénominateur, le diviseur; et la fraction elle-même, le quotient.

De cette analogie reconnue entre une fraction et la division il résulte que ce qui a été démontré pour la division se trouve démontré pour les fractions; ce que nous allons reconnaître.

CHANGEMENTS APPORTÉS A LA VALEUR D'UNE FRACTION EN OPÉRANT SUR SES TERMES.

163. Une fraction subit les mêmes changements que ceux qui sont opérés sur son numérateur; elle éprouve des changements inverses de ceux qui sont opérés sur son dénominateur; par conséquent :

1° Une fraction est multipliée ou divisée quand on multiplie ou qu'on divise son numérateur.

2° Une fraction est divisée si l'on multiplie son dénominateur ; elle est multipliée si Ton divise son dénominateur.

3° Si Ton multiplie ou qu'on divise ses deux termes par un même nombre, la fraction ne change pas de valeur.

Ces propositions ayant été démontrées pour les deux termes de la division, il ne reste plus qu'à en reconnaître l'exactitude, lorsqu'on les applique aux fractions considérées indépendamment de leur origine.

1° En opérant sur le numérateur d'une fractionner exemple, si l'on multiplie le numérateur par 2, la nouvelle fraction § est deux fois plus grande. En effet, au lieu d'exprimer 2 cinquièmes, elle en exprime h, ce qui est le double.

Si l'on divise le numérateur d'une fraction, |, par exemple, par h, la nouvelle fraction - est évidemment quatre fois plus petite; en effet, au' lieu d'exprimer k cinquièmes, elle n'exprime plus que 1 cinquième, ce qui est k fois moins.

2° En opérant sur le dénominateur d'une fraction, §, par exemple, si, sans toucher au numérateur, on multiplie le dénominateur par 2, la que nouvelle fraction ~ est deux fois plus petite que la précédente; en effet, elle exprime bien le même nombre de parties, 2, mais ces parties sont deuK fois plus petites, puisqu'il en faut deux fois plus pour faire un entier.

Au contraire, si, par exemple, sans toucher au numérateur, on divise le dénominateur de la fraction -6 par 2, la nouvelle fraction f se trouve deux fois plus grande ou multipliée par 2 ; en effet, on a le même nombre de parties, mais elles sont deux fois plus grandes, puisqu'il en faut deux fois moins pour faire un entier.

3° Si l'on multiplie ou qu'on divise par un même nombre les deux termes d'une fraction, sa valeur reste la même.

En effet, les deux termes de la fraction |, par exemple, multipliés chacun par 2, produisent £, fraction de même valeur que la précédente ;

car, si l'on a des parties deux fois plus petites, on en a deux fois plus; ce qui se compense.

Au contraire, si l'on divise les deux termes de la fraction ] par 3, on a f, fraction de la même valeur; car, si Ton a des parties trois fois plus grandes, on en a trois fois moins ; ce qui se compense.

On peut donc résumer comme il suit les propositions précédentes.