DE LA DIVISIBILITÉ DES NOMBRES

147. La divisibilité d'un nombre par un autre est la propriété qu'il a d'être divisé exactement par cet autre.

Ainsi 36 est dit divisible par 2, par 3, par 4, par 6, par 9, par 12 et par 18, parce que la division de 36 par chacun de ces nombres donne un quotient exact.

148. Un nombre divisible par 2 est appelé un nombre pair; dans le cas contraire, c'est un nombre impair.

Tout nombre est naturellement divisible par lui-même et par l'unité, puisque tout nombre est le produit de l'unité par lui-même.

149. Quand un nombre n'est divisible que par lui-même et par l'unité, on l'appelle un nombre premier. Ainsi, 1, 2, 3, 5, 7, 11, etc., sont des nombres premiers.

Jusqu'à 100, on compte 26 nombres premiers, qu'on obtient par une méthode appelée crible d'Ératosthène. Voici en quoi elle consiste :

Pour avoir les nombres premiers de 1 à 100, on écrit les nombres impairs à la suite les uns des autres, et dans leur ordre naturel. A partir de 3 exclusivement, on supprime tous les nombres de trois en trois.

A partir de 5 exclusivement, on supprime tous les nombres de cinq en cinq. A partir de 7 exclusivement, on supprime tous les nombres de sept en sept, etc., etc.; de sorte qu'il ne reste plus que les nombres premiers, soit 26 nombres, qui sont tous impairs, excepté 2.

On peut reconnaître à certains caractères par quel nombre un autre est divisible.

150. Tout nombre qui en divise un autre, divise également les multiples de cet autre.

En effet, un nombre est divisible par un second, parce que ce dernier est son facteur (141) ; or, lorsque le premier nombre se trouve multiplié par un troisième, le second ne cesse pas pour cela d'être facteur du premier et par conséquent du produit, qui est donc divisible par ce second nombre.

Exemple : 8 : 2 =4; 8x3 sera aussi divisible par 2, puisque le facteur 2 ne cessera pas d'exister dans 8 x 3 ; en effet, — — = 12.

151. Tout nombre divisible par un autre est divisible également par chacun des facteurs de cet autre.

En effet, un nombre est divisible par un second, parce que ce dernier est l'un de ses facteurs; or, comme à ce facteur on peut toujours substituer ses propres facteurs dans la formation du nombre divisible, il en résulte que ceux-ci deviennent ainsi facteurs directs de ce nombre, et qu'il est par conséquent divisible par eux.

Exemple : Z|8 = 4 X 12; 48 est divisible non-seulement par ses facteurs 4 et 12, mais aussi par les facteurs de 12, qui sont 3 x4; car, dans la formation de 48, on peut toujours substituer à 12 l'expression 3 x 4, et Ton obtient 48 = 4 X 3 x 4; donc 3 et 4 sont ainsi les facteurs directs de 4 8, et par conséquent 48 est divisible par eux.

152. Pour obtenir le plus petit nombre divisible par des nombres donnés, il faut: i° supprimer ceux des nombres qui se trouvent répétés; car il suffît qu'un nombre entre une fois comme facteur dans la composition du produit pour que ce produit soit divisible par lui autant de fois qu'on voudra; 2° supprimer ceux qui, contenus exactement dans un autre, en sont un facteur; car le produit, divisible par le plus grand nombre, le sera également par son facteur (151); 3° décomposer les autres nombres en leurs facteurs simples, pour supprimer ces facteurs partout, excepté dans le nombre oit chacun d'eux se trouve le plus de fois facteur; 4° enfin, de tout ce qui reste de facteurs, former le produit, qui est le plus petit nombre possible, divisible par les nombres donnés.

Exemple: Chercher le plus petit nombre divisible par 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 et 27. Si l'on fait le produit de ces nombres, on obtient 272097792, qui est divisible par eux; mais si, d'après la règle précédente, on supprime tous les facteurs qui se répètent ou qui sont contenus dans d'autres, il ne reste que 36 et 27, qui, décomposés en leurs facteurs simples, donnent :

supprimant 3 dans le nombre où il est le moins de fois facteur, il ne reste plus que 2x2x3x3x3, ou 4 à multiplier par 27, ce qui produit 108, qui est le plus petit nombre divisible par les nombres donnés.