RÉDUCTIONS DE FRACTIONS A DE PLUS SIMPLES EXPRESSIONS

173. Puisque multiplier ou diviser les deux termes d'une fraction par un même nombre n'en change pas la valeur, il en résulte qu'on peut exprimer, par les fractions, une même quantité d'une infinité de manières ; ce qui n'a pas lieu pour les nombres entiers, dans lesquels une quantité n'est susceptible que d'une seule expression.

Par exemple, si l'on multiplie les deux termes de la fraction J successivement par 2, 3, h, 5, 6, 7, 8, et ainsi de suite jusqu'à l'infini, elle se trouve changée en une infinité de fractions de même valeur, telles que les suivantes :

h, etc.

qui toutes représentent, en effet, sous des formes diverses, la moitié de l'unité : car, sur 16 parties en avoir 8, sur U en avoir 7, sur 10 en avoir 5, c'est bien toujours avoir en différentes parties la moitié de l'unité.

174. Ces fractions de même valeur, quoique sous différentes formes, sont appelées des fractions équivalentes.

Mais de toutes ces fractions, celle qu'il faut préférer est la plus simple, f, parce qu'elle exprime plus clairement, c'est-à-dire, en termes plus petits, la valeur de la fraction ; donc,

175. Pour réduire une fraction à une plus simple expression, il faut diviser les deux termes de cette fraction par un même nombre.

On obtient ainsi deux termes plus petits, qui expriment la fraction plus simplement.

176. Pour réduire une fraction a son expression la plus simple, il faut en diviser les deux termes par un nombre qui soit leur plus grand diviseur commun.

En effet, si Ton divise les deux termes par le plus grand diviseur commun qu'on puisse obtenir, il est clair qu'on aura les plus petits quotients possibles, et par conséquent l'expression la plus simple de la fraction proposée :

Voici la règle pour découvrir le plus grand diviseur commun (par abréviation : le P. G. D. G.)1.