DU PLUS GRAND DIVISEUR COMMUN

177. Pour trouver le plus grand diviseur commun (le P. G. D. C.) de deux nombres, il faut diviser le plus grand par le plus petit; ensuite, le plus petit par le reste de la division , s'il y en a un ; ce premier reste par le deuxième reste, provenant de la deuxième division; le deuxième reste par le troisième, et ainsi de suite, c'est-à-dire qu'il faut diviser le reste précédent par le dernier reste jusqu'à ce qu'on trouve un quotient exact, autrement dit zéro pour reste; le dernier reste employé comme diviseur est le nombre cherché.

Exemple : Soit proposé de trouver le P. G. D. C. des deux nombres 705 et 1692, ou, ce qui est la même chose, des deux termes de la fraction 705/1692.

Opération : 1692 | 705 | 282 | Ul

1. Nous devons prévenir qu'on ne fait pas souvent usage de cette méthode dans la pratique.

178. On divise le plus grand terme 1692 par le plus petit 705; on obtient 2 au quotient, plus un reste 282, qu'on écrit, non à sa place ordinaire, mais à droite du diviseur 705, qui devient à son tour dividende; car on le divise lui-même par le reste 282, ce qui donne 2 au quotient, plus un reste 1/jl, qu'on place à droite du diviseur 282; celui-ci devient aussi dividende à son tour, car on le divise lui-même par le reste 141 ; enfin on obtient un quotient exact 2. On en conclut que 141 est le plus grand diviseur commun des deux nombres proposés.

179. En effet, puisque 141 divise 282, il divise aussi 705, qui, ainsi qu'on Ta vu, se compose de 282 x 2 + 141; par conséquent, il divise aussi 1692, composé de 705 X 2 + 282;

Donc 141 est le plus grand diviseur commun des deux termes de la fraction 705/1692 qui, divisés par lui, donnent f2.

Lorsque deux nombres n'ont pas d'autre diviseur commun que l'unité, on les appelle des nombres premiers entre eux : tels sont les deux termes

de la fraction •— .

Une fraction, telle que —, dont les termes n'ont plus de facteurs

communs, est dite irréductible.

180. Quoique la méthode du plus grand diviseur commun soit la plus directe et la plus rigoureuse pour réduire une fraction à sa plus simple expression, on en fait peu usage dans les calculs pratiques.

On se contente des réductions successives qui s'offrent d'elles-mêmes, ou qu'on peut effectuer facilement à l'aide des nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11, etc.

Ainsi on divise d'abord les deux termes par 2 autant de fois qu'il est possible.

On tente ensuite la division par 3 ; enfin on essaye successivement la division par les autres nombres premiers 5, 7 et 11.

11 faut se souvenir alors qu'un nombre est divisible :

1° par 2, quand il est terminé par 0, 2, 4, 6, 8;

2° par 3 et par 9, si, en additionnant les chiffres de ce nombre, sans distinction de rang ou de valeur relative, leur somme est elle-même divisible par 3 ou par 9 ;

3° par 4, quand l'ensemble de ses deux derniers chiffres est divisible par 4 ;

4° Par 5, si le dernier chiffre est 5 ou 0.

Exemple : Soit donné de réduire la fraction ^ à sa plus simple expression.

Les nombres étant pairs, on les divise par 2 ; on a alors ~ ; les nombres restant pairs, on les divise encore par 2 et l'on a ~ ; continuant la division par 2, on a successivement ||; ff, iîî les nombres ne sont plus divisibles par 2, mais ils le sont par 3; faisant donc la division par 3, on obtient |, fraction qui est la plus simple expression de ~£.

On voit qu'au lieu de diviser tant de fois par 2, on pouvait diviser par 4, même par 8, et obtenir tout de suite JJ, fraction qui, divisée par ft, aurait donné plus promptement ~.

Autre exemple : Soit donnée la fraction |ff à réduire à sa plus simple expression. On a :

35 2 . Q -.26 . C) £3. O li*7 3

Jb

Tant qu'on a eu des nombres pairs, on les a divisés par 2; étant arrivé à un nombre impair, on a tenté la division par 3; elle a donné îj, On a essayé^ la division par 5 : division impossible; puis par 7 : cette dernière a réussi, et Ton a obtenu J, qui est la plus simple expression de la fraction proposée.