MÉTHODE ABRÉGÉE POUR REDUIRE DES FRACTIONS AU MÊME DÉNOMINATEUR

185. Puisque réduire des fractions au même dénominateur, c'est les changer en d'autres fractions de même valeur, qui aient un dénominateur commun, on peut arriver à ce but en remplaçant chaque dénominateur particulier par un dénominateur commun choisi à l'avance et en faisant subir au numérateur de chaque fraction le même changement qu'on a fait subir à son dénominateur.

Dès lors, ce n'est plus qu'une application de ce principe : une fraction ne change pas de valeur quand on multiplie ses deux termes par un même nombre.

Soit proposé de réduire au même dénominateur les fractions £, J, J, f.

Si l'on a fait choix de 12, par exemple, pour dénominateur commun, il faut rechercher combien de fois chacun des dénominateurs particuliers est devenu plus grand par ce changement, afin de faire subir le même changement à chaque numérateur.

Or, en divisant 12 par le premier dénominateur 2, on trouve que le dénominateur commun est 6 fois plus grand que le dénominateur particulier ; donc il faut multiplier le numérateur 1 par 6 ;-on obtient ainsi £, fraction équivalente à ~.

Divisant 12 parle deuxième dénominateur 3, on trouve que le dénominateur commun est 4 fois plus grand ; donc il faut multiplier le numérateur 1 de la deuxième fraction par 4 ; on obtient ainsi ~, fraction équivalente à ~.

On obtient de la même manière ^2 et ~ ; donc, règle générale :

186. Apres avoir choisi ou trouve le dénominateur commun qu'il s'agit de donner à des fractions, il faut le diviser par chaque dénominateur particulier et multiplier chaque numérateur par le quotient obtenu : les produits donneront les nouveaux numérateurs.

MANIÈRE DE TROUVER LE DÉNOMINATEUR (PAR ABRÉV. D. C.) COMMUN LE PLUS PETIT POSSIBLE.

187. Puisqu'on doit diviser le dénominateur commun par les dénominateurs particuliers, il faut qu'il soit divisible exactement par chacun d'eux. Or, pour satisfaire à cette condition, on devrait faire le produit de tous les dénominateurs (143).

Mais, pour obtenir ce produit le plus petit possible, il faut, ainsi qu'on Ta vu (152), 1° supprimer ceux des nombres qui se répètent; 2° supprimer ceux qui, contenus exactement dans un autre, en sont un facteur ; 3° après avoir décomposé les autres nombres en leurs facteurs les plus

simples, supprimer ces facteurs partout, excepté dans le nombre où chacun d'eux se trouve le plus de fois facteur; 4° de tous les facteurs qui restent après ces suppressions, former le produit, lequel est le plus petit nombre possible, divisible par les nombres donnés. Nous allons éclaircir cette règle par un exemple.

Soit proposé de trouver le D. C. des fractions suivantes :

1° On commence par biffer ou pointer les dénominateurs qui se répètent ou sont facteurs d'un autre, tels que 24 et ses facteurs 2, 3, 4, 6, 8; car il suffit que 24 entre une fois dans la composition du produit, pour que ce produit soit divisible par tous les facteurs de 24 (151).

2° Ensuite on décompose les dénominateurs qui restent, soit ici 15 et 24, en leurs facteurs les plus simples, et l'on a : 15 = 3 x 5; 24 = 2x2x2x3; on supprime les facteurs simples dans le nombre où ils sont le moins de fois facteurs, et il ne reste plus qu'à former le produit de 5x2x2x2x3, c'est-à-dire le produit de 5 par 24; on obtient ainsi 120, qui est le plus petit dénominateur possible.

Opération : 120 D.

Produits.

Quotients.

de 12C

par 2,

par 4

par 15

par 6

par 8

par 24

ainsi : -, = v

188. Comme on le voit, on place le D. C. au-dessus d'une ligne verticale à droite de laquelle on pose les quotients ; à sa gauche, vis-à-vis des anciens numérateurs, on écrit les produits, qui sont les nouveaux numérateurs que l'on cherche (186).

Pour convertir les fractions proposées en d'autres fractions équivalentes, ayant 120 pour dénominateur commun, on sait (185) qu'il faut rendre leur numérateur autant de fois plus grand que leur dénominateur Test devenu.

Or, divisant 120 par 2, le quotient 60 placé à droite de la ligne verticale, indique que le D. G. est 60 fois plus grand que le dénominateur particulier 2 de la première fraction; donc il faut multiplier le numérateur 1 par 60, pour le rendre autant de fois plus grand; on écrit à gauche de la ligne, vis-à-vis de l'ancien numérateur 1, le produit 60, qui est le nouveau numérateur.

Divisant 120 par 3, le quotient 40 indique que le D. C. est 40 fois plus grand que le dénominateur particulier 3 de la deuxième fraction ; il faut donc aussi rendre son numérateur 2, 40 fois plus grand en le mul-

tipliant par 40 : on écrit vis-à-vis de l'ancien numérateur le produit 80, qui est le nouveau numérateur cherché.

On continue à diviser ainsi jusqu'à la fin lé dénominateur commun par chacun des dénominateurs, et à multiplier leur quotient par chaque numérateur particulier, pour obtenir tous les nouveaux numérateurs, auxquels on donne le dénominateur commun, ce qui, en résumé, produit les fractions £j, £, £, &t S, Sa îSS. rà* équivalentes aux fractions proposées.