RÉDUCTIONS DE FRACTIONS EN ENTIERS ET D'ENTIERS EN FRACTIONS

190. Une fraction n'est qu'une division indiquée dont le dividende était trop petit pour contenir le diviseur; donc les fractions où le numérateur se trouve plus fort que le dénominateur, ce qui arrive souvent après les opérations sur les fractions, ne sont plus des fractions proprement dites, mais des nombres fractionnaires qui contiennent des entiers. Extraire les entiers contenus dans un nombre fractionnaire s'appelle réduire une fraction en entiers.

Pour réduire une fraction en entiers, on divise le numérateur par le dénominateur.

Ainsi les fractions y et f, réduites, donnent 4 f et 2 f.

191. En effet, le dénominateur indique combien il faut des parties composant la fraction pour faire un entier; donc, autant de fois le numérateur contient son dénominateur, autant il y a d'entiers dans la fraction; quant au reste, s'il y en a un, il conserve son dénominateur, de même que, dans une division, le reste a pour dénominateur le diviseur.

192. Il résulte encore de ce qu'une fraction n'est qu'une division indiquée, ou de ce que le dénominateur indique combien il faut des parties formant la fraction pour recomposer un entier, que, toutes les fois que le numérateur est égal au dénominateur, la fraction est ou contient un entier ; car, en opérant la division indiquée, on obtient l'unité.

193. D'où il suit encore que l'unité peut s'exprimer en fractions différentes, d'une infinité de manières, pourvu que les deux termes en soient

égaux; ainsi 7, \, §, f, f, f, \, \, \, etc., ne sont autre chose que l'unité exprimée sous la forme de fractions diverses.

19/j. Pour réduire une fraction ordinaire en décimales, il faut prendre le numérateur pour dividende, le dénominateur pour diviseur et opérer comme (127) pour réduire le reste d'une division en parties décimales.

Par exemple, pour réduire en décimales ^, on divise 182 par 232 et l'on obtient 0,784, c'est-à-dire le quotient de 182 par 232 à un millième près (128;.

Si l'on prolongeait la division, on pourrait rencontrer des fractions périodiques.

195. Pour réduwe des décimales en fraction ordinaire, il suffît de prendre les chiffres significatifs des décimales pour numérateur d'une fraction à laquelle on donne pour dénominateur 10, 100, 1000, etc., selon que le dernier chiffre de droite des décimales indique des 10ièmes, des 100ièmes, des 1000ièmes, etc. ; car les noms des décimales ne sont que de vrais dénominateurs; ainsi 0,3 = 77; 0,21 = 7^; 0,365= ~\ donc en général :

196. Pour réduire des décimales en fraction ordinaire, il faut prendre les chiffres significatifs de ces décimales pour numérateur, et leur donner pour dénominateur V unité suivie d'autant de zéros qu'il y avait de décimales.

197. Pour réduire un nombre entier en fraction, on donne simplement à cet entier l'unité pour dénominateur : ainsi 8, réduit en fraction, devient ~.

198. Pour réduire un entier en fraction d'un dénominateur donné, il faut, après avoir changé cet entier en fraction ayant l'unité pour dénominateur, multiplier ses deux termes par le dénominateur donné; ainsi, pour réduire 8 en septièmes, on multiplie f par 7 et l'on a ~; par conséquent :

199. Lorsqu'un entier est accompagné d'une fraction, pour le réduire en cette fraction, il faut le multiplier par le dénominateur de la fraction, ajouter le produit au numérateur et donner a la somme le dénominateur de la fraction.

EXERCICES

Changer 8 en neuvièmes, 7 en douzièmes, 5 en onzièmes, 9 en treizièmes. Réponses : ^, ff, If, W-