DE L INTERET COMPOSE
382. Dans les questions d'intérêt composé, il entre toujours quatre éléments : le capital primitif, le taux annuel, la durée du placement et le capital définitif; or, trois de ces quantités étant connues, on peut se proposer de déterminer la quatrième.
1er Exemple : Combien 1 franc placé à 6 % vaudra-t-il au bout de 4 ans, si les intérêts sont capitalisés à la fin de chaque année?
Un franc, pendant un an, rapporte 0f,06; au bout d'un an un franc vaut lf,06; on obtient donc la valeur acquise, au bout d'un an, par un capital placé à 6 %, en multipliant ce capital pour 1,06. Donc :
lf au bout d'un an, vaut lf,06
1,00 — valent 1, 06 xlf,06 ou ÏW2
T7Ô62 — — Î7Ô62 x l,06ouTÔ63
V0/3 u 7~ , ( CT63xl,06ouï764
ou 1 fr. au bout de 4 ans — )
De même, 1 franc placé à 5 % vaudrait
1,05 M52 ITÔ53 I7Ô54 ÎTÔ55 Au bout de 1 2 3 4 5 ans.
2e Exemple : Combien 30000 francs vaudront-ils après 5 ans, si le taux est de 6 % par an, et que les intérêts soient capitalisés tous les ans ?
Valeur de 1 fr. au bout de 5 ans = 1,065
Valeur de 30000 fr. au bout de 5 ans = ! 3000° x ^^
) ou 40146 fr. 76
La partie laborieuse de l'opération est de calculer les accroissements annuels du capital 1 franc avec les intérêts composés. Le tableau de la page 787 donne les 50 puissances de 1,03, 1,04, 1,05, 1,06, 1,075, 1,09.
3e Exemple : Combien 8794 fr. placés à h % pendant 12 ans rapporteraient-ils eu égard seulement aux intérêts des intérêts?
Suivant la table, 1 franc, au bout de 12 ans, vaut lf,601 03222; par suite, la valeur de 8794 francs, au bout de 12 ans, est de 1,60103222 X 8794 = 14079f,47.
L'intérêt composé de 8794 fr. = 14079,47 — 8794 = 5285f,47
L'intérêt simple de 8794 fr. donnerait 4221,12
Différence en faveur de l'intérêt composé \ 064, 35
4e Exemple : Quel serait le capital définitif produit par une somme de 9780 fr. placée pendanÊ 14 ans 8 mois 20 jours à 5 '/t à intérêt composé?
Valeur de 9780 fr. au bout de 14 ans :
9780 X ÏTÔ514 = 9780 X 1,97993160 = 19363f,73.
A cette somme il faut ajouter son intérêt pour 8 mois 12 0 jours,
. 19365,78 X 5 X2Ô0 cnAfo, j
soit — = 699f,24; nous avons donc :
Valeur de 9780 fr. au bout de 14 ans = 19363 fr. 73 Int. de 19363 fr. 73 à 5 % p. 8 m. 20 j. = 699 24
Valeurde9780fr.auboutdel4a.8m.20j. = 20062fr. 97
5e Exemple : Quel capital faudrait-il placer à 5 % à intérêt composé, pour en retirer au bout de 20 ans un capital définitif de 40000 francs?
D'après la table, 1 franc placé à 5% vaut, après 20 ans, 2f,65329771.
Donc : 2,65329771 : 1 : ! 40000 : x = 15075 fr. 57
6e Exemple : Quel capital faudrait-il placer à 5 % à intérêt composé, pour en retirer au bout de 15 ans 7 mois 20 jours un capital définitif de 36280 fr.?
D'après la table :
1 fr. placé à5% vaut, à la fin delà 15e année, 2f,07892818 L'int. de cette somme pour 7 m. 20 j. est de 0, 06641020
Valeur de 1 fr. au bout de 15 a. 7 m. 20 j. 2, 14533838
Donc : 2,14533838 : 1 :*. 36280 : x = 16911 fr. 08.
DES ANNUITÉS
383. On appelle annuités, des payements égaux faits année par année, pour rembourser un capital avec ses intérêts composés pendant toute la durée du prêt.
Ces payements sont appelés annuités parce qu'ils se font d'ordinaire par année; mais ils peuvent avoir lieu par semestre, par trimestre et par mois.
L'annuité est composée de deux parts : l'une est un à-compte sur le capital; l'autre, un intérêt échu. Le capital doit aller sans cesse en décroissant, à raison des à-compte successifs ; les à-compte doivent aller, au contraire, en augmentant; et il faut qu'au bout d'un laps de temps fixé d'avance, l'emprunteur se soit acquitté de sa dette en capital et intérêts, en payant seulement une rente constante pendant ce temps.
Ce mode de libération d'un emprunt, par les avantages qu'il offre au prêteur et à l'emprunteur, mérite qu'on l'emploie plus souvent. Lorsque le fondateur d'un établissement quelconque emprunte une somme, il la doit toujours s'il se borne à en payer l'intérêt simple aux échéancesconvenues ; mais s'il peut prélever sur ses bénéfices une somme constante, il formera une annuité au moyen de laquelle il se libérera à une époque déterminée. Le prêteur et l'emprunteur sont également intéressés à faire une telle opération; car le premier peut toujours placer
chaque à-compte à intérêts composés, et retrouver son capital au terme fixé, sans cesser de recevoir les intérêts qu'on lui doit. De son côté, l'emprunteur a l'avantage de s'acquitter peu à peu de sa dette, et d'en être libéré au terme convenu. L'emprunteur n'a pas même besoin du consentement du prêteur pour convertir son emprunt en annuité; car il peut placer lui-même d'un aut^e côté l'excédant qu'il consacre à ce mode de libération sur les intérêts qu'il doit, et joindre à ces placements successifs leurs propres intérêts.
38Zi. Voici la règle à suivre pour calculer les annuités :
Prendre le centième du percentage convenu pour V intervalle de temps qui sépare les versements successifs, y ajouter 1 et élever le total à la puissance marquée par le nombre des versements ;
Le produit moins un sera pris pour diviseur ;
Ce même produit, multiplié par le centième du percentage et par le capital emprunté, sera pris pour dividende;
Le quotient obtenu en divisant ces deux termes Vun par Vautre, sera la rente ou annuité demandée.
Exemple : Pour acheter un immeuble, on emprunte 100000 francs remboursables en six annuités avec les intérêts composés à 5 % par an. Quel est le montant de l'annuité?
Le centième du percentage = 0f,05;
Le centième du percentage plus un = lf,05;
Cette quantité élevée à la sixième puissance = lf,3401.
Ce produit moins un = 0f,3401 : c'est le diviseur,
1,3401 X 0,05 X 100000 = 6700f,5 : c'est le dividende.
Donc ^— = 19701f,558 = 19701f,56, annuité ou rente constante
qu'il faut payer chaque année, pendant six ans, pour être libéré, c'est-àdire pour avoir remboursé tout, capital et intérêts.
