DES VOLUMES
^40. Le volume ou solidité d'un corps se mesure à l'aide d'une unité cubique dont le côté est connu, et l'on exprime ce volume en disant combien de fois il contient cette unité. Ce nombre de fois s'obtient généralement en multipliant entre elles les trois dimensions, longueur, largeur et épaisseur (appelée hauteur ou profondeur selon la nature des corps).
On nomme polyèdre un corps solide à plusieurs faces planes. Pour avoir Yaire ou la surface d'un polyèdre, il faut faire la somme des aires ou surfaces de ses faces, ce qui n'offre aucune difficulté, après ce qui vient d'être dit pour les surfaces.
441. Il est important de distinguer la surface convexe d'un solide de sa surface totale. La surface convexe est la surface enveloppante, non compris la surface des bases; la surface totale est la surface de toutes les faces, y compris la surface des bases.
442. Le cube est un solide à six faces carrées égales (ex. : fig. 10). La surface totale du cube s'obtient en multipliant par 6 la surface de
l'une de ses faces; et la swface convexe, en multipliant par 4 la surface de l'une de ses faces.
La solidité ou le volume du cube s'obtient en multipliant la valeur linéaire d'un de ses côtés deux fois par elle-même.
Exemple : Soit un cube (fig. 10) dont le côté est de 4 décimètres; la surface d'une face sera 4 X 4 ou 16; celle des six faces, 16 x C
Ad.
Fig. 10.
= 96 décimètres carrés ; c'est-à-dire que, si l'on développait ces 6 faces sur une surface plane, elles occuperaient une superficie de 96 décimètres carrés. La surface convexe ne serait que quatre fois la surface d'une face, savoir : 16 x 4 = 64 décimètres carrés. La solidité de cecube sera 4 x 4 X 4 = 64 décimètres cubes; ce qui signifie que ce cube contiendra 64 fois un cube tel que modnsvu, qui aurait un décimètre de côté.
443. Le parallélipipède est un solide terminé par six parallélogrammes ou six rectangles égaux et parallèles deux à deux. (Exemple fig. 11.)
Le parallélipipède terminé par des rectangles est dit rectangulaire. Exemple : un wagon.
La surface convexe du parallélipipède est égale au produit du périmètre de la base par la hauteur; le volume est égal au produit de la surface de la base par la hauteur, c'est-à-dire au produit de ses trois dimensions.
Soit un parallélipipède rectangulaire (fig. 11), dont les dimensions sont : longueur, 5,n,30; largeur, 0n\42; hauteur, 0,T\40. Sa surface convexe sera (5,30 xH 0,42 X 2) x 0,40 = 4m<*,5760; son volume sera 5,30 X 0,42 X 0,40 = 0mc,890400.
444- Le prisme droit est un solide dont les bases opposées sont des polygones égaux et parallèles, et dont les faces latérales sont des rectangles. (Exemple, fig. 12.)
La surface convexe du prisme droit est égale au produit du périmètre de la base par la hauteur.
Le volume du prisme droit égale le produit de la surface de la base par la hauteur.
Exemple : soit un prisme à base triangulaire (fig. 12) dont les dimensions sont : côté CD de la base, 5 mètres ; côté FD, 4 mètres; côté CF, 2 mètres; hauteur D13, 8 mètres ; la surface convexe sera :
Fis. 11.
5+4 + 2 ou 11 X
mètres carres.
Fig. 12.
Prenant pour base du triangle CFD, le côté CD de 5 mètres, et la hauteur de ce triangle étant supposée de
lm,80, sa surface sera — - — = 4mq,50; le volume du prisme sera :
4,50 x 8 = 36 mètres cubes.
Vi5. Le cylindre droit est un solide terminé par trois surfaces dont
deux sont des cercles égaux et parallèles et dont la troisième est convexe et circulaire. {Exemple, fig. 13.)
La surface convexe du cylindre droit est égale au produit de la circonférence de la base par la hauteur.
Le volume du cylindre droit est égal au produit de la surface de la base par la hauteur.
Exemple: soit un cylindre (fig. 13) dont le diamètre est de 0m,086 et la hauteur, de 0"\172. La circonférence • ABCD = 0,086 X 3,U15926 = 0»\2702. La surface coii vexe du cylindre est de 0,2702 x 0,172 =0^,0^7^. La surface de la base est de 0,2702 X 0,0^3 = 0-^0116186. Le volume du cylindre est 0,0116186 x 0,172 = 0-c,001, c'est-à-dire un décimètre cube (c'est le litre).
4£i6. La pyramide régulière est un solide qui a pour base un polygone régulier et dont la surface latérale est formée de triangles ayant un sommet commun situé sur la perpendiculaire élevée au milieu de la base. {Exemple, fig. H.)
La surface convexe de la pyramide régulière égale le produit du per% mètre de la base par la moitié de la hauteur de l'un des triangles.
Le volume de la pyramide régulière égale le produit de la surface de la base par le tiers de la hauteur, ou perpendiculaire abaissée du sommet
sur la base. . ■ , ,
Exemple : soit une pyramide (fig. H), qui a pour base ™ carre dl
Fis. 13.
UM
Fig. 14.
Fis. 15.
2 mètres de côté; pour hauteur de l'un des triangles, 5 mètres; pou hauteur perpendiculaire, h mètres. La surface convexe sera :
2 + 2+2 + 2 ou 8x|= 20 mètres carrés.
Le volume sera égal à 2 X 2 x - = 5 mètres cubes 1/3.
hkl. Le cône droit est un solide dont la base est un cercle et qui
terminé en pointe. Le sommet du cône droit est situé sur la perpendiculaire qui passe par le centre de la base. (Exemple : fig. 15.)
La surface convexe du cône droit est égale au produit de la circonférence de la base par la moitié de la longueur de V arête (côté).
Le volume du cône droit égale le produit de la surface de la base par le tiers de la hauteur.
Soit un cône (fig. 15) dont les dimensions sont : diamètre AB de la
base, 4 mètres; arête AC, 6 mètres; hauteur DC, 5n\70. La surface
convexe sera : (3,1416 X 4) X 6/2 = 37mi,6992. Le volume sera :
[(3,1416 x A) X 1] X -V =23 mètres cubes 876160 centimètres cubes.
448. Le cône tronqué est la partie inférieure du cône dont on a séparé la partie supérieure par un plan parallèle à la base. (Exemple : BÀNxM,ûg. 15.)
La surface convexe du cône tronqué est égale à la longueur de l'arête multipliée par la demi-somme des circonférences des deux bases.
Le volume du cône tronqué s'obtient en multipliant 3,1416 par le tiers de la hauteur, puis ce produit par la somme des carrés des deux rayons augmentée du produit de ces mêmes rayons.
Exemple : soit un cône tronqué (fig. 15), dont les dimensions sont :
diamètre AB de la base inférieure, 4 mètres; diamètre M N de la base
supérieure, lm,50; arête AN, 3,n,66; hauteur Do, 3m,50.
12 5664 + h 7194 La surface convexe sera 3,66 X — ! § — : — ~ = 31m<ï,620204
= 31 mètres carrés 620204 millimètres carrés.
Le volume sera :
3 50 (3,1416 X-V-) X [22 + 0,752 + (2 X 0,75)] =22mc,220275, o
soit 22 mètres cubes 220275 centimètres cubes.
449. La sphère est un solide dans lequel toutes les lignes menées du centre à la surface sont égales. On entend par grands cercles ceux qui ont pour centre celui de la sphère (Exemple : GGDH fig. 16) :
La surface de la sphère est égale au produit de la circonférence d'un grand cercle par le diamètre, ou encore à 4 fois la surface d'un grand cercle.
Le volume de la sphère égale le produit de sa surface par le tiers du rayon.
Exemple : soit une sphère ayant 7 mètres de diamètre; la circonférence d'un grand cercle sera: 3,1416 x 7 = 21m, 991 2; la surface convexe de la sphère, 21,9912 x 7 = 153m(i, 9384; le volume, 153,9384 X 7/6-=179mc-,5948, soit 179 mètres cubes 594800 centimètres cubes.
450. Lorsqu'on coupe une sphère par un plan, il en résulte une portion que Ton nomme segment sphèrique à une base.
La surface d'an segment sphèrique à une base égale a la hauteur multipliée par la circonférence d'un grand cercle.
Le volume d'un segment sphèrique à une base est égal a la hauteur multipliée par la moitié de la surface de la base, plus le volume d une sphère avant cette hauteur pour diamètre.
Exemple ; supposons la sphère (fig. 16) dont nous venons de parler coupée en deux parties égales; les dimensions de chaque segment seront: diamètre de la base, 7 mètres; hauteur, 3-.50, c'est-a-dire la moitié da diamètre ou le rayon. La surface de chaque partie sera : 21,9912 x 3 50 = 76 mètres carrés 9692 centimètres carrés, ce qui est effectivement m moitié de la surface totale trouvée plus haut (450).
Pour trouver le volume du même segment sphèrique, il laut chercher d'abord le volume d'une sphère ayant pour diamètre la hauteur de ce segment, soit S-,50; le volume de cette sphère sera égal au produit de sa surface par le tiers du rayon. Or, le diamètre étant 3-50 la circonférence sera 3,1416 X 3,50 - 10">,995b; la ■ face, 10,9956 X 3,50 = 38 mètres carrés, 4846 centimètres carres; le volume, 38,4846 X^ = 22-,44935, soit 22 mètres cubes 449350 cen-
timètres cubes. . , , ,,
Le diamètre de la base du segment étant de 7 mètres, la circonférence de cette base sera 21»,9912; sa surface 21-.9912 X ^= 38 mètre;
carrés 4846 centimètres carrés. .".'.;", P T\ wM
Multipliant la hauteur 3,50, par la moitié de la surface de la base soit 19— i 2423, on a 67mc,348050, qui, ajoutés à 22-449350, donnan pour le' volume du segment sphèrique proposé 89 mètres cube* 797400 centimètres cubes. t
Si l'on connaissait la surface, soit 77 mètres carres, on la multiplie rait par 7/6, et l'on aurait 89-83 pour la solidité demandée.
451 Ne pouvant ni ne voulant d'ailleurs donner que les volumes d< corps qu'il est indispensable de connaître pour évaluer la capacité d; mesures usitées dans le commerce, nous en resterons la; mais, ava de quitter ce sujet, nous donnerons, à titre de résume, les formules * surfaces et des volumes dont nous avons parlé.
