Vérification
Emprunt de 4000000.»»
Intérêt d'un an. .' 50000.»»
Dette à la fin de la première année 4050000.»»
Premier payement 497016.90
Reste dû au bout d'un an 852983.10
Intérêt d'un an 42649.45
Dette à la fin de la deuxième année. .... 895632.25 Deuxième payement 4 97016.90
Reste dû au bout de deux ans 698615.35
Intérêt d'un an 34930.75
Dette à la fin de la troisième année 733546.10
Troisième payement 197016.90
Reste dû au bout de trois ans 536529.20
Intérêt d'un an 26826.45
Dette à la fin de la quatrième année 563355.65
Quatrième payement 497016.90
Reste dû au bout de quatre ans 366338.75
Intérêt d'un an 4 8316.95
Dette au bout de cinq ans 384655.70
Cinquième payement 197016.90
Reste dû au bout de cinq ans 4 87638.80
Intérêt d'un an 9381.95
Dette au bout de six ans 4 97020.75
Sixième payement. . 497016.90
Reste dû encore 3.85
Cette différence doit être attribuée à l'accumulation des erreurs qui proriennent des décimales négligées.
Rentes viagères.
48. Les rentes viagères sont celles qui s'éteignent avec la vie du bénéficiaire. Les calculs sur ces sortes de rentes reposent encore sur la théorie des intérêts composés et des annuités, avec cette différence pourtant que le temps pendant lequel on doit servir la rente ne peut être fixé et qu'il n'est que probable. Le calcul des rentes viagères, sous ce rapport, est donc un calcul de probabilité. Ce calcul de probabilité se fait au moyen d'une table de mortalité.
La table suivante indique, année par année, le nombre probable des survivants sur un million de naissances.
Table de mortalité.
AGE
SURVIVANTS
AGE
SURVIVANTS
AGE
SURVIVANTS
AGE
SURVIVANTS
On voit par cette table que sur 4000000 d'enfants nés à la même époque, il n'en reste plus que 767525 à un an, 554122 à 40 ans, 502246 à 20 ans, etc.
49. Pour connaître le nombre probable des individus qui meurent pendant une année déterminée, il faut prendre la différence entre le nombre inscrit à côté de cette année et celui qui est inscrit à côté de l'année suivante.
410. Combien meurt-il de personnes âgées de 30 ans dans l'année courante?
A 30 ans A 34 ans
Différence
4384 83 survivants 434398 —
4 41. Si l'on voulait savoir dans quel rapport les personnes âgées de 30 ans meurent dans le courant de Tannée, on ferait la proportion suivante :
Le nombre des morts de Tannée courante est à celui des survivants comme 1 mort est à 64 ; c'est-à-dire qu'il mourra probablement une personne sur 64.
50. Pour connaître le nombre probable d'années qu'un individu peut espérer de vivre, il faut prendre la moitié du nombre correspondant à son âge et chercher à quel âge correspond à peu près cette moitié : l'âge correspondant indiquera le nombre des années auquel il peut espérer de vivre ; la différence entre ces deux âges donnera le nombre probable cherché.
112. Combien un individu âgé de 30 ans peut-il encore espérer de vivre? Le nombre des survivants de 30 ans est 438183 dont la moitié est 219091 ;
ce nombre correspond approximativement à 59 ans ; donc la personne pourra vivre 59 — 30 ou 29 ans, et même 30 ans. La raison pour laquelle on prend la moitié des survivants de chaque âge est que la mort est aussi probable que la vie.
113. Quel est l'âge auquel on a l'espoir de vivre encore le plus grand nombre d'années possible, et quel est ce nombre ?
Il s'agit de trouver dans la table quel est le nombre qui est le plus éloigné de sa moitié. Après quelques tâtonnements on reconnaît que de 4 à 6 ans, c'est-à-dire vers 5 ans, on peut espérer vivre encore un peu plus de 45 ans; avant 4 ans et au delà de 6, ce nombre diminue.
114. A quel âge a-t-on la possibilité de vivre encore autant, ou d'être à la moitié de sa vie ?
Il s'agit de trouver dans la table un nombre de survivants qui se trouve à un rang également éloigné de sa moitié et de 1000000. Le nombre 438183, qui correspond à 30, satisfait à cette condition : car la moitié 219091 correspond à peu près à 60.
51. Les rentes viagères sont des sommes payées annuellement pour les intérêts des capitaux placés à fonds perdus, c'est-à-dire qui deviennent, à la mort des prêteurs, la propriété des emprunteurs. L'intérêt est en raison de l'âge du prêteur.
Il y a toujours peu de sûreté à faire ces placements chez des particuliers qui se trouvent directement intéressés à la mort du rentier. Il n'en est pas de même d'une société anonyme qui, contractant des engagements avec un grand nombre d'individus, trouve une compensation par la vie des uns qui s'abrège d'autant que celle des autres se prolonge.
115. Une personne de 45 ans, qui possède une fortune de 30000 fr., veut la placer en rente viagère, c'est-à-dire la donner à une personne ou à une société qui lui fournira en retour une annuité calculée sur le temps probable qu'elle a à vivre. On demande quel est ce nombre d'années et quelle est l'annuité ou rente viagère qui, à sa mort, aura été l'équivalent des 30000 fr., le taux de l'intérêt étant fixé à 5 % par an.
Cherchons d'abord la durée probable de la vie de cette personne, âgée de 45 ans. A cet âge, la table de mortalité doune 334072 survivants dont la moitié est 167036 correspondant à peu près à 65 ans ; cette personne peut donc espérer de vivre encore 20 ans. Il s'agit maintenant de calculer l'annuité qui en 20 ans produit une somme équivalente aux 30000 fr. placés à 5 % et à intérêts composés pendant le même temps.
Capital à amortir dans 20 ans :
30000 X ÏTÔ520 = 30000 X 2.653298 = fr. 79598.95
Le taux de l'amortissement pour amortir cette somme en 20 ans est 0.030243. (Table E.)
L'emprunteur des 30000 fr. devra donc servir à cette personne sa vie durant
79598.95 X 0.030243= fr. 2407.30
Si la personne meurt avant les 20 ans révolus, il y aura bénéfice pour la compagnie ; il y aura au contraire perte si la personne vit au delà de ce terme.
Les compagnies ne donnent pas précisément l'annuité calculée précédemment, puisqu'elles n'y gagneraient rien. Elles donnent donc moins, comme les 5/6, les 6/7, les 7/8.
116. Cela posé, on demande à combien se réduirait l'annuité trouvée ci-dessus, si la compagnie rabattait 12 pour 100?
La personne, dans ce cas, ne toucherait qu'une rente viagère de fr. 2118.41 au lieu de 2407.29.
117. Quel est le montant du bénéfice que fait en 20 ans une compagnie qui, sur une somme de fr. 30000 qu'elle reçoit, donne une rente viagère de fr. 2118.41 au lieu de 2407.29, l'intérêt étant calculé à 5 %?
Cherchons d'abord le produit de 19 annuités de fr. 2407.29 considérés cpmme 19 versements annuels.
D'après la table B, on a 32.065954 X 2407.29 = 77192.05 Ajoutons la vingtième annuité 2407.29
Produit total. . . fr. 79599.34
Cherchons de même le produit do 19 annuités de fr. 2118.41 ; nous aurons :
