CHAPITRE Vn

Calcul de la préetolon du retraitât dan8 le cas de

plusieurs inconnues.

41 . Nous commencerons par considérer sous un autre point de vue les Valeurs obtenues pour les inconnues par la méthode du chapitre précédent.

Si nous formons au moyen des équations (I) les produits suivants :

aA -f (ï' A' 4- a V = $

6a -i- 6' A' -f «Ta" = yi (44)

CA + c'a' -4- c'a" = X

Il est facile de voir que les équations (III), qui servent à déterminer les inconnues, ne sont autre chose que :

5 = r, = x = etc. (45)

En outre, en conservant les notations du chapitre précédent, posons :

a = a [aa] -j" & [«p] "h C [ay] -f- d [aê] -|-

a'=a'H+ ^[«Pj + (f[ay] -f d'[a^] -|- . . . . (46)

ar=aiaa] + ft^a^J -f (f fayj -f d'fa^| + . . . .

et multiplions chacune des équations (I), membre à membre, respectivement par chacune des équations (46). En ajoutant les pro-

duits ainsi obtenus, il est facile de voir que dans le second membre de l'équation résultante les coefficients des différentes inconnues seront :

pour X [a«] [aa] -4- [ab] [ap] 4- [ac\ [«y] 4- [ad] [a^] +

pour y [ab] [««J -f [b^] [aP] -4- [bc] [ay] -h [bd] [«^J -f- . . . . pour z [ac] [««] -|- [ôc] [«p] + [c*] [«y] 4- [cd] [a^] -j-

Or d'après les équations (41) la première suite est égale à l'unité, et toutes les autres à zéro. — D'ailleurs les termes des seconds membres indépendants des inconnues seront :

\aa\ [ak] -h [ap] [bk] -f- [«y] [ck]-]-

c'est-à-dire : — A, d'après les équations (VI'). Donc on aura :

(VII) «A -+. a A' -f- a"!" 4- • • • • = X—k

42. Cette équation identique à la première des équations (VI) montre comment la valeur de x obtenue par la méthode des moindres carrés, dépend des erreurs des observations. Elle montre aussi que cette valeur, trouvée par l'intermédiaire des équations (III) aurait pu être déduite immédiatement des équations (I). On voit encore que les quantités a a a. . . définies par les équations (46) sont des multiplicateurs qui jouent à l'égard des équations (I) le môme rôle que [aa], [aP], [ay]. . . à l'égard des équations (III). On en conclut donc qu'ils vérifient les relations suivantes :

aa + a a' 4- a a" -f ....== i

ab -I- a'b' -f- a'V -f =0 (47)

aC -I- «'C' 4- aY + =0

Si nous multiplions ces dernières équations respectivement par [aa], [û(P], [ay] otc, ct si uous ajoutous les produits nous aurons:

a {a [aa] -{- b [«?>] + C [ay] -f . . } -f- a ja' [aa] + ^'[«P] -^ c' [ay] + . • . } + a'{aVH- «^M-Pl + '^«y] + . . . I 4- ~ (aa)

Ce qui d'après les équations (46) se réduit à :

(VIII) . a* + a" -h a''* -h .... = [aa]

ce qui justifie la notation que nous avons admise pour ce multiplicateur au n<* 37 .

43. Si nous désignons par p, ?', p^ . . des multiplicateurs qui jouent à l'égard de y le même rôle que «, «', a". . . à l'égard de a?, en sorte que Ton ait :

^ = a [ap] -f b m + c [py] + . . . .

Nous trouverons comme plus haut :

(VII) PA -f- 1^'A' -f- [iV -f- . . . . -^ y-B

De même en posant :

y = a [ay] 4» (? Lpyl H" ^ lyy] -+-....

/=û'[«y]+6'[Py] + c'Lyy]-h.... (49)

on aura :

(VII) yA -h /A' ■+- y''A" -f • • • = -^ — C

et ainsi de même pour les autres inconnues.